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2022-2023学年广东省茂名市电白区八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省茂名市电白区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省茂名市电白区八年级（下）期中数学试卷
副标题
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若a>b，则下列式子中正确的是( )
A. a2
A. B. C. D.
3. 如图，BM是△ABC的角平分线，AB=AC，∠A=36°，则图中有等腰三角形．( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 无法确定
4. 已知实数a，b满足 15−a+2(b−8)2=0，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A. 15 或 8 B. 31 C. 38 D. 31 或 38
5. 不等式组x+1>06−2x≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转55°后得到△OCD，此时CD//OB，若∠AOB=20°，则∠A的度数是( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
7. 如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为( )
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若△DBE的周长是5厘米，那么AB长为( )
A. 5厘米
B. 6厘米
C. 7 厘米
D. 8厘米
9. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点(2,0)，点(0,3)，有下列结论：①当x<0时，y<3；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④关于x的方程kx+b=0的解为x=2；其中正确的是( )
A. ①②③
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②④
10. 如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. a与2的差不大于5，用不等式表示为______ ．
12. 等腰三角形的顶角是80°，则它的底角的度数为______度．
13. 如图，函数y=ax+4和y=2x的图象相交于点A(m,3)，则不等式ax+4≥2x的解集为 ．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′=CB′，则∠C′的度数为______．
15. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=BD，BF=AC，有下列结论：①△ADC≌△BDF；②BE⊥AC；③连接DE，则∠AED=135°.其中正确的结论有______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：2(2x−1)≤3x+13x−85
17. (本小题8.0分)
如图，
(1)将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出△ABC平移后的图形△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形△AB2C2，并写出点C2的坐标．
18. (本小题8.0分)
使用直尺与圆规完成下面作图.(不写作法，保留作图痕迹)
(1)在AB上找一点P，使得P到AC和BC的距离相等；
(2)在射线CP上找一点Q，使得QB=QC．
19. (本小题9.0分)
如图，△ABC为等边三角形，点P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，∠APD=82°，求∠DPC的度数．
20. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：DE=DF．
(2)若AD=2 3,∠DAC=30°，求AC的长．
21. (本小题9.0分)
已知方程组x+y=−9−ax−y=−1+3a的解x、y都小于1．
(1)求a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当a为何整数时，关于x的不等式(2a+3)x>2a+3的解集为x<1．
22. (本小题12.0分)
如图，△ABC和△EFC为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，已知点E在AB上，连结BF．
(I)求证：△AEC≌△BFC；
(2)若AE=1，∠AEC=105°，求BE的长．
23. (本小题12.0分)
某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不等式a>b的两边同时除以2，不等式仍成立，即a2>b2，故本选项不符合题意；
B、不等式a>b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a−3>b−3，故本选项不符合题意；
C、不等式a>b的两边同时乘−3，不等式仍成立，即−3a<−3b，故本选项符合题意；
D、不等式a>b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a−b>0，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据不等式的性质进行判断．
本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
D、是中心对称图形，所以符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．
本题主要考查了中心对称图形的定义，难度不大，认真分析即可．
3.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=180°−36°2=72°，
∵BM是△ABC的角平分线，
∴∠ABM=∠CBM=36°，
∴∠A=∠ABM，
∴△ABM是等腰三角形，
∵∠CBM=36°，∠C=72°，
∴∠BMC=72°，
∴△BMC是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ABC、△ABM、△BMC，共3个等腰三角形．
故答案为：C．
先根据AB=AC，得出△ABC是等腰三角形；然后根据∠A=36°，BM是△ABC的角平分线，求出∠A=∠ABM，得出△ABM是等腰三角形；最后根据∠CBM=36°，∠C=72°，求出∠BMC=72°，得出△BMC是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定定理，牢记等腰三角形的判定定理是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵ 15−a+2(b−8)2=0，
∴15−a=0，b−8=0，
∴a=15，b=8，
①若a=15是腰长，则底边为8，三角形的三边分别为15、15、8，
∴等腰三角形的周长是38，
②若b=8是腰长，则底边为15，三角形的三边分别为8、8、15，
周长=8+8+15=31．
故选：D．
先根据非负数的性质列式求出a、b，再分情况讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．
5.【答案】A
【解析】解：解不等式x+1>0，得：x>−1，
解不等式6−2x≤0，得：x≥3，
故选：A．
解不等式得出两个不等式的解集，再根据“小于向左，大于向右”及“边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式组和不等式解集在数轴上的表示，解题的关键是准确求出不等式的解集及“小于向左，大于向右”及“边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”．
6.【答案】D
【解析】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转55°后得到△OCD，
∴∠AOC=55°，∠A=∠C，
∵∠AOB=20°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=55°−20°=35°，
∵CD//OB，
∴∠BOC=∠C=35°，
∴∠A=35°，
故选：D．
由旋转的性质得出∠AOC=55°，∠A=∠C，根据平行线的性质得出∠BOC=∠C=35°，则可得出答案．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，求出∠BOC的度数是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为4．
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16．
故选B．
根据平移的性质易得AD=BE=2，那么四边形ABFD的周长即可求得．
本题考查平移的性质，用到的知识点为：平移前后对应线段相等；关键是找到所求四边形的各边长．
8.【答案】A
【解析】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED=90°
在Rt△ACD与Rt△AED中，
CD=EDAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
又∵AC=BC，
∴AC=BC=AE，
∴△DBE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AE+EB=AB，
∴AB=5cm．
故选：A．
根据角平分线的定义和性质可得DE=CD，∠CAD=∠EAD，推出Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，从而得到AC=BC=AE，然后求出AB=△DBE的周长，代入数据即可得解．
本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由图象得：
①当x<0时，y>3，错误；
②关于x的方程kx+b=3的解为x=0，正确；
③当x>2时，y<0，正确；
④关于x的方程kx+b=0的解为x=2，正确；
故选：C．
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，
故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×AD=18，解得AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，
∴MC+DM=MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长的最小值为
AD+12BC=6+12×6=6+3=9．
故选：C．
11.【答案】a−2≤5
【解析】解：根据题意可得：a−2≤5．
故答案为：a−2≤5．
直接根据题意可得a−2小于等于5，即可得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．
12.【答案】50
【解析】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为12(180°−80°)=50°．
故答案为50．
根据等腰三角形两底角相等即可得解．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．
13.【答案】x≤32
【解析】
【分析】
本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图象，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合．
先求得m的值，再根据直线y=ax+4落在直线y=2x上方的部分对应的x的取值范围即为所求，即可解答本题．
【解答】
解：∵函数y=ax+4和y=2x的图象相交于点A(m,3)，
∴3=2m，解得m=32，
∴点A(32,3)，
∵函数y=ax+4和y=2x的图象相交于点A，
∴不等式ax+4≥2x解集为x≤32．
故答案为：x≤32．
14.【答案】24°
【解析】解：∵AB′=CB′，
∴∠C=∠CAB′，
∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C=∠C′，AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°−108°，
∴∠C=24°，
∴∠C′=∠C=24°，
故答案为：24°．
由旋转的性质可得∠C=∠C′，AB=AB′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB′，∠B=∠AB′B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
15.【答案】①②③
【解析】解：∵在Rt△ADC与Rt△BDF中，AD=BD，BF=AC，
∴Rt△ADC≌Rt△BDF(HL)故①正确；
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC故②正确；
如图，连接DE，过点D作DG⊥BE，过点D作DH⊥AC，
∵Rt△ADC≌Rt△BDF(HL)，
∴S△ADC=S△BDF，
∵S△ADC=12AC⋅DH，S△BDF=12BF⋅DG，BF=AC，
∴DG=DH，
∵DG⊥BE，DH⊥AC，DG=DH，
∴DE是∠BEC的角平分线，
∵∠BEC=90°，
∴∠BED=45°，
∴∠AED=90°+45°=135°故③正确；
故答案为：①②③．
①根据HL证明△ADC≌△BDF；②由△ADC≌△BDF，得到角相等，从而推出BE⊥AC；③连接DE，过点D作DG⊥BE，过点D作DH⊥AC，根据角平分线的性质，即可判断．
本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
16.【答案】解：2(2x−1)≤3x+1①3x−85
解不等式②得：x>−4，
∴不等式组的解集为：−4
【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解不等式组的方法．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
其中C1(1,−3)；
(2)如图，△AB2C2即为所求．
其中C2(−1,4)．
【解析】(1)根据平移的性质，画出图形，即可得到坐标；
(2)根据旋转的性质，找出顶点的位置，画出图形，即可得到坐标．
本题主要考查了作—平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，作出∠C的角平分线，交AB于P点，点P到AC和BC的距离相等；
(2)如图，作出BC的垂直平分线，交CP于点Q，标出点Q，即QB=QC．
【解析】(1)作出∠C的角平分线，交AB于P点，点P到AC和BC的距离相等；
(2)作出BC的垂直平分线，交CP于点Q，QB=QC．
本题考查了作图——基本作图，掌握五种基本作图的方法，熟悉角平分线和线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD=82°，
∵∠ADP=∠C+∠DPC，
∴∠DPC=∠ADP−∠C=22°．
【解析】由△ABC是等边三角形，得到∠C=60°，由AD=AP，得到∠ADP=∠APD=82°，由三角形外角的性质求出∠DPC=∠ADP−∠C=22°．
本题考查等边三角形、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质得到∠DPC=∠ADP−∠C．
20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，DB=DC，
∴平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
(2)解：∵AB=AC，DB=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAC=30°，
∴AC=2CD，
∴AD2+CD2=AC2，
∴(2 3)2+CD2=4CD2
∴CD=2(负根已经舍去)，
∴AC=4．
【解析】(1)根据等腰三角形三线合一得出AD平分∠BAC，根据平行线的性质，即可证明结论；
(2)根据等腰三角形三线合一得出AD⊥DC，根据30°角所对的直角边等腰斜边的一半得出DC=12AC，根据勾股定理得出AD2+CD2=AC2，即(2 3)2+(12AC)2=AC2，求出AC的长即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．
21.【答案】解：(1)由x+y=−9−ax−y=−1+3a，
解得：x=a−5y=−2a−4，
由题意得a−5<1−2a−4<1，
解得：−52
∴2a+3<0且−52
∴a=−2，
∴在(1)的条件下，当a为−2时，关于x的不等式(2a+3)x>2a+3的解集为x<1．
【解析】(1)先解方程组，根据解都小于1，得出a的取值范围；
(2)根据(2a+3)x>2a+3解集为x<1，得出2a+3<0，再在(1)的条件下，求出a的范围，即可得到a的值．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵△ABC和△EFC为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，
∴AC=BC，EC=FC，∠ACE=∠BCF=90°−∠BCE，
在△AEC和△BFC中
AC=BC∠ACE=∠BCFEC=FC，
∴△AEC≌△BFC(SAS)．
(2)解：作EG⊥AC于点G，则∠AGE=∠CGE=90°，
∵∠AEC=105°，∠A=∠CBA=45°，
∴∠GEA=∠A=45°，∠GCE=180°−∠AEC−∠A=30°，
∴AG=EG，CE=2EG，
∵AG2+EG2=AE2，AE=1，
∴2AG2=EG2=12，
∴AG=EG= 22，
∴CE=2× 22= 2，
∴CG= CE2−EG2= ( 2)2−( 22)2= 62，
∴AC=AG+CG= 22+ 62，
∴AB= AC2+BC2= 2AC2= 2AC= 2×( 22+ 62)=1+ 3，
∴BE=AB−AE=1+ 3−1= 3，
∴BE的长是 3．
【解析】(1)由△ABC和△EFC为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，得AC=BC，EC=FC，∠ACE=∠BCF=90°−∠BCE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AEC≌△BFC；
(2)作EG⊥AC于点G，则∠GEA=∠A=45°，∠GCE=180°−∠AEC−∠A=30°，所以AG=EG，CE=2EG，根据勾股定理求得AG=EG= 22，则CE= 2，再由勾股定理求得CG= CE2−EG2= 62，则AC= 22+ 62，所以AB= 2AC= 2×( 22+ 62)=1+ 3，则BE=AB−AE= 3．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，
由题意可得：150m+100n=1450200m+50n=1100，
解得m=3n=10，
答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；
(2)①购买普通练习本x个，则购买精装练习本(500−x)个，
由题意可得：W=(3−2)x+(10−7)(500−x)=−2x+1500，
∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
∴x≥3(500−x)，
解得x≥375，
即W关于x的函数关系式是；W=−2x+1500(375≤x≤500)；
②∵W=−2x+1500，
∴W随x的增大而减小，
∵375≤x≤500，
∴当x=375时，W取得最大值，此时W=750，500−x=125，
答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．
【解析】(1)设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额+100精装练习本销售额=1450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额=1100元，列出方程组，求出即可；
(2)①购买普通练习本x个，则购买精装练习本(500−x)个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式，然后再求出自变量x的取值范围即可；
②根据一次函数的性质和x的取值范围，可以得到商店应如何进货才能使销售总利润最大，并求出最大利润．
本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．
2022-2023学年广东省茂名市电白区八年级（下）期中数学试卷
副标题
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若a>b，则下列式子中正确的是( )
A. a2
A. B. C. D.
3. 如图，BM是△ABC的角平分线，AB=AC，∠A=36°，则图中有等腰三角形．( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 无法确定
4. 已知实数a，b满足 15−a+2(b−8)2=0，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A. 15 或 8 B. 31 C. 38 D. 31 或 38
5. 不等式组x+1>06−2x≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转55°后得到△OCD，此时CD//OB，若∠AOB=20°，则∠A的度数是( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
7. 如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为( )
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若△DBE的周长是5厘米，那么AB长为( )
A. 5厘米
B. 6厘米
C. 7 厘米
D. 8厘米
9. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点(2,0)，点(0,3)，有下列结论：①当x<0时，y<3；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④关于x的方程kx+b=0的解为x=2；其中正确的是( )
A. ①②③
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②④
10. 如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. a与2的差不大于5，用不等式表示为______ ．
12. 等腰三角形的顶角是80°，则它的底角的度数为______度．
13. 如图，函数y=ax+4和y=2x的图象相交于点A(m,3)，则不等式ax+4≥2x的解集为 ．
14. 如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′=CB′，则∠C′的度数为______．
15. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=BD，BF=AC，有下列结论：①△ADC≌△BDF；②BE⊥AC；③连接DE，则∠AED=135°.其中正确的结论有______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：2(2x−1)≤3x+13x−85
17. (本小题8.0分)
如图，
(1)将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出△ABC平移后的图形△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形△AB2C2，并写出点C2的坐标．
18. (本小题8.0分)
使用直尺与圆规完成下面作图.(不写作法，保留作图痕迹)
(1)在AB上找一点P，使得P到AC和BC的距离相等；
(2)在射线CP上找一点Q，使得QB=QC．
19. (本小题9.0分)
如图，△ABC为等边三角形，点P为边BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，∠APD=82°，求∠DPC的度数．
20. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：DE=DF．
(2)若AD=2 3,∠DAC=30°，求AC的长．
21. (本小题9.0分)
已知方程组x+y=−9−ax−y=−1+3a的解x、y都小于1．
(1)求a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当a为何整数时，关于x的不等式(2a+3)x>2a+3的解集为x<1．
22. (本小题12.0分)
如图，△ABC和△EFC为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，已知点E在AB上，连结BF．
(I)求证：△AEC≌△BFC；
(2)若AE=1，∠AEC=105°，求BE的长．
23. (本小题12.0分)
某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不等式a>b的两边同时除以2，不等式仍成立，即a2>b2，故本选项不符合题意；
B、不等式a>b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a−3>b−3，故本选项不符合题意；
C、不等式a>b的两边同时乘−3，不等式仍成立，即−3a<−3b，故本选项符合题意；
D、不等式a>b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a−b>0，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据不等式的性质进行判断．
本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
D、是中心对称图形，所以符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．
本题主要考查了中心对称图形的定义，难度不大，认真分析即可．
3.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=180°−36°2=72°，
∵BM是△ABC的角平分线，
∴∠ABM=∠CBM=36°，
∴∠A=∠ABM，
∴△ABM是等腰三角形，
∵∠CBM=36°，∠C=72°，
∴∠BMC=72°，
∴△BMC是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ABC、△ABM、△BMC，共3个等腰三角形．
故答案为：C．
先根据AB=AC，得出△ABC是等腰三角形；然后根据∠A=36°，BM是△ABC的角平分线，求出∠A=∠ABM，得出△ABM是等腰三角形；最后根据∠CBM=36°，∠C=72°，求出∠BMC=72°，得出△BMC是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定定理，牢记等腰三角形的判定定理是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵ 15−a+2(b−8)2=0，
∴15−a=0，b−8=0，
∴a=15，b=8，
①若a=15是腰长，则底边为8，三角形的三边分别为15、15、8，
∴等腰三角形的周长是38，
②若b=8是腰长，则底边为15，三角形的三边分别为8、8、15，
周长=8+8+15=31．
故选：D．
先根据非负数的性质列式求出a、b，再分情况讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．
5.【答案】A
【解析】解：解不等式x+1>0，得：x>−1，
解不等式6−2x≤0，得：x≥3，
故选：A．
解不等式得出两个不等式的解集，再根据“小于向左，大于向右”及“边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式组和不等式解集在数轴上的表示，解题的关键是准确求出不等式的解集及“小于向左，大于向右”及“边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”．
6.【答案】D
【解析】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转55°后得到△OCD，
∴∠AOC=55°，∠A=∠C，
∵∠AOB=20°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=55°−20°=35°，
∵CD//OB，
∴∠BOC=∠C=35°，
∴∠A=35°，
故选：D．
由旋转的性质得出∠AOC=55°，∠A=∠C，根据平行线的性质得出∠BOC=∠C=35°，则可得出答案．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，求出∠BOC的度数是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为4．
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16．
故选B．
根据平移的性质易得AD=BE=2，那么四边形ABFD的周长即可求得．
本题考查平移的性质，用到的知识点为：平移前后对应线段相等；关键是找到所求四边形的各边长．
8.【答案】A
【解析】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED=90°
在Rt△ACD与Rt△AED中，
CD=EDAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
又∵AC=BC，
∴AC=BC=AE，
∴△DBE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AE+EB=AB，
∴AB=5cm．
故选：A．
根据角平分线的定义和性质可得DE=CD，∠CAD=∠EAD，推出Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，从而得到AC=BC=AE，然后求出AB=△DBE的周长，代入数据即可得解．
本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由图象得：
①当x<0时，y>3，错误；
②关于x的方程kx+b=3的解为x=0，正确；
③当x>2时，y<0，正确；
④关于x的方程kx+b=0的解为x=2，正确；
故选：C．
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，
故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×AD=18，解得AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，
∴MC+DM=MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长的最小值为
AD+12BC=6+12×6=6+3=9．
故选：C．
11.【答案】a−2≤5
【解析】解：根据题意可得：a−2≤5．
故答案为：a−2≤5．
直接根据题意可得a−2小于等于5，即可得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．
12.【答案】50
【解析】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为12(180°−80°)=50°．
故答案为50．
根据等腰三角形两底角相等即可得解．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．
13.【答案】x≤32
【解析】
【分析】
本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图象，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合．
先求得m的值，再根据直线y=ax+4落在直线y=2x上方的部分对应的x的取值范围即为所求，即可解答本题．
【解答】
解：∵函数y=ax+4和y=2x的图象相交于点A(m,3)，
∴3=2m，解得m=32，
∴点A(32,3)，
∵函数y=ax+4和y=2x的图象相交于点A，
∴不等式ax+4≥2x解集为x≤32．
故答案为：x≤32．
14.【答案】24°
【解析】解：∵AB′=CB′，
∴∠C=∠CAB′，
∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C=∠C′，AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°−108°，
∴∠C=24°，
∴∠C′=∠C=24°，
故答案为：24°．
由旋转的性质可得∠C=∠C′，AB=AB′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB′，∠B=∠AB′B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
15.【答案】①②③
【解析】解：∵在Rt△ADC与Rt△BDF中，AD=BD，BF=AC，
∴Rt△ADC≌Rt△BDF(HL)故①正确；
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC故②正确；
如图，连接DE，过点D作DG⊥BE，过点D作DH⊥AC，
∵Rt△ADC≌Rt△BDF(HL)，
∴S△ADC=S△BDF，
∵S△ADC=12AC⋅DH，S△BDF=12BF⋅DG，BF=AC，
∴DG=DH，
∵DG⊥BE，DH⊥AC，DG=DH，
∴DE是∠BEC的角平分线，
∵∠BEC=90°，
∴∠BED=45°，
∴∠AED=90°+45°=135°故③正确；
故答案为：①②③．
①根据HL证明△ADC≌△BDF；②由△ADC≌△BDF，得到角相等，从而推出BE⊥AC；③连接DE，过点D作DG⊥BE，过点D作DH⊥AC，根据角平分线的性质，即可判断．
本题考查几何问题，涉及到角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
16.【答案】解：2(2x−1)≤3x+1①3x−85
解不等式②得：x>−4，
∴不等式组的解集为：−4
【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解不等式组的方法．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
其中C1(1,−3)；
(2)如图，△AB2C2即为所求．
其中C2(−1,4)．
【解析】(1)根据平移的性质，画出图形，即可得到坐标；
(2)根据旋转的性质，找出顶点的位置，画出图形，即可得到坐标．
本题主要考查了作—平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，作出∠C的角平分线，交AB于P点，点P到AC和BC的距离相等；
(2)如图，作出BC的垂直平分线，交CP于点Q，标出点Q，即QB=QC．
【解析】(1)作出∠C的角平分线，交AB于P点，点P到AC和BC的距离相等；
(2)作出BC的垂直平分线，交CP于点Q，QB=QC．
本题考查了作图——基本作图，掌握五种基本作图的方法，熟悉角平分线和线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD=82°，
∵∠ADP=∠C+∠DPC，
∴∠DPC=∠ADP−∠C=22°．
【解析】由△ABC是等边三角形，得到∠C=60°，由AD=AP，得到∠ADP=∠APD=82°，由三角形外角的性质求出∠DPC=∠ADP−∠C=22°．
本题考查等边三角形、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质得到∠DPC=∠ADP−∠C．
20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，DB=DC，
∴平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
(2)解：∵AB=AC，DB=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAC=30°，
∴AC=2CD，
∴AD2+CD2=AC2，
∴(2 3)2+CD2=4CD2
∴CD=2(负根已经舍去)，
∴AC=4．
【解析】(1)根据等腰三角形三线合一得出AD平分∠BAC，根据平行线的性质，即可证明结论；
(2)根据等腰三角形三线合一得出AD⊥DC，根据30°角所对的直角边等腰斜边的一半得出DC=12AC，根据勾股定理得出AD2+CD2=AC2，即(2 3)2+(12AC)2=AC2，求出AC的长即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．
21.【答案】解：(1)由x+y=−9−ax−y=−1+3a，
解得：x=a−5y=−2a−4，
由题意得a−5<1−2a−4<1，
解得：−52
∴2a+3<0且−52
∴a=−2，
∴在(1)的条件下，当a为−2时，关于x的不等式(2a+3)x>2a+3的解集为x<1．
【解析】(1)先解方程组，根据解都小于1，得出a的取值范围；
(2)根据(2a+3)x>2a+3解集为x<1，得出2a+3<0，再在(1)的条件下，求出a的范围，即可得到a的值．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵△ABC和△EFC为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，
∴AC=BC，EC=FC，∠ACE=∠BCF=90°−∠BCE，
在△AEC和△BFC中
AC=BC∠ACE=∠BCFEC=FC，
∴△AEC≌△BFC(SAS)．
(2)解：作EG⊥AC于点G，则∠AGE=∠CGE=90°，
∵∠AEC=105°，∠A=∠CBA=45°，
∴∠GEA=∠A=45°，∠GCE=180°−∠AEC−∠A=30°，
∴AG=EG，CE=2EG，
∵AG2+EG2=AE2，AE=1，
∴2AG2=EG2=12，
∴AG=EG= 22，
∴CE=2× 22= 2，
∴CG= CE2−EG2= ( 2)2−( 22)2= 62，
∴AC=AG+CG= 22+ 62，
∴AB= AC2+BC2= 2AC2= 2AC= 2×( 22+ 62)=1+ 3，
∴BE=AB−AE=1+ 3−1= 3，
∴BE的长是 3．
【解析】(1)由△ABC和△EFC为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，得AC=BC，EC=FC，∠ACE=∠BCF=90°−∠BCE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AEC≌△BFC；
(2)作EG⊥AC于点G，则∠GEA=∠A=45°，∠GCE=180°−∠AEC−∠A=30°，所以AG=EG，CE=2EG，根据勾股定理求得AG=EG= 22，则CE= 2，再由勾股定理求得CG= CE2−EG2= 62，则AC= 22+ 62，所以AB= 2AC= 2×( 22+ 62)=1+ 3，则BE=AB−AE= 3．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，
由题意可得：150m+100n=1450200m+50n=1100，
解得m=3n=10，
答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；
(2)①购买普通练习本x个，则购买精装练习本(500−x)个，
由题意可得：W=(3−2)x+(10−7)(500−x)=−2x+1500，
∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
∴x≥3(500−x)，
解得x≥375，
即W关于x的函数关系式是；W=−2x+1500(375≤x≤500)；
②∵W=−2x+1500，
∴W随x的增大而减小，
∵375≤x≤500，
∴当x=375时，W取得最大值，此时W=750，500−x=125，
答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．
【解析】(1)设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额+100精装练习本销售额=1450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额=1100元，列出方程组，求出即可；
(2)①购买普通练习本x个，则购买精装练习本(500−x)个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式，然后再求出自变量x的取值范围即可；
②根据一次函数的性质和x的取值范围，可以得到商店应如何进货才能使销售总利润最大，并求出最大利润．
本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．
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