【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.1.2 弧度制（第2课时）（课时教学设计）

课题：5.1.2 弧度制（第2课时）

（一）教学内容

弧度制

（二）教学目标

1.通过圆中的圆心角引入弧度制的概念，使学生理解1弧度的角及弧度的定义，领会弧度制定义的合理性及角的集合与实数集之间的一一对应关系，发展数学抽象素养.

2.通过特例（），掌握角度制与弧度制的换算，发展数学运算素养..

3.通过弧度制下推导与应用扇形的弧长与面积公式，感悟弧度制的简洁美，发展逻辑推理与数学运算素养.

（三）教学重点

弧度制的概念；角度与弧度的相互转换；扇形的弧长、面积公式的应用.

（四）教学难点

弧度制概念的理解

（五）教学过程

问题1由弧长公式可知：当半径固定时，圆心角越大弧长越长；当圆心角固定时，弧长又如何变化呢？请同学们小组合作，讨论交流，并完成下面两个表格：

（1）角度为的圆心角，当半径时，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比，并将结果填入表1。

（2）角度为的圆心角，当半径时，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比，并将结果填入表2.

师生活动：

（1）学生经过思考，作出解答.

（2）教师针对学生的答案作出适时评价.

（3）教师追问：通过表1和表2，你发现了什么规律？

（4）学生快速作答：当圆心角固定不变时，不论半径如何变化，弧长与半径的比值始终不变.

（5）教师作出评价后适时引出本节课题——弧度制.

把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作，读作1弧度.

用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.

设计意图：

让学生通过已有知识发现规律：只与圆心角的大小有关，角的大小可以用来描述，从而引出1弧度的角及弧度制的概念， 在帮助学生理解1弧度的角及弧度制含义的同时，培养学生数学抽象素养.

问题2  若半径为的圆的圆心角所对的弧长为,那么,角的弧度数是多少? 如果半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么角的弧度数如何计算呢？

师生活动：

　　（1）学生思考，作出解答.

（2）教师引导学生分析得出：，并说明用弧度制表示角度的大小时，只要不引起误解，可以省略单位，并且有正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0，进而得出公式：.

设计意图：

从具体的1弧度，2弧度的角出发研究角的弧度数，再结合角的旋转方向有正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.

问题3  我们知道平角是，那么以弧度为单位度量是多少弧度？那么等于多少弧度？等于多少度呢？

　　师生活动：

（1）学生先独立思考，讨论交流后回答问题.

（2）教师引导学生得出公式：

及                          与                    

（3）追问1：你能把下列弧度化为度吗？

（1）                   （2）2.5

       追问2：你能把下列角度化为弧度吗？

（1）                 （2）-

追问3：你能写出下列特殊角的角度和弧度吗？

（4）教师总结：角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与之相对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.

设计意图：通过以上问题的研究，加深学生对弧度制的理解，并掌握角度制与弧度制的互化，提升学生逻辑推理与数学运算素养.

问题4  你能推导出在弧度制下的扇形的弧长与面积公式吗？（设圆的半径为，圆心角为，扇形的弧长为，扇形的面积为）

师生活动：

（1）学生先独立思考，然后分组讨论在分享.

（2）教师适度点评小组分享，概括思路：弧长公式直接由推得为，扇形面积公式从圆的面积公式（先考虑的情形）出发推导，再讲化为弧度，从而得到,又由就有.

（3）让学生观察角度制下与弧度制下的扇形的弧长与面积公式，体会弧度制下公式形式简单，说明这就是弧度制带来的便利.

（4）追问： 有了形式简单的这三个公式，如果知道一个扇形的周长为，圆心角为，你能求扇形面积吗？

设计意图：让学生进一步熟练掌握角度制与弧度制的互化，提升逻辑推理素养，同时让学生感受弧度制下扇形的弧长与面积公式形式简单（弧度制带来的便利）.

问题5  你能总结一下本节课所学内容吗？

师生活动：

学生独立思考、讨论交流，根据学生交流情况，教师补充完善、提炼总结.

设计意图：

让学生反思、总结本节的学习，加深对弧度制的理解与认识.

　　（六）目标检测设计

　　1.课堂目标检测

　（1）把下列角度化成弧度、弧度化成角度：

①           ②            ③            ④

设计意图：这是水平一的问题，检测角度与弧度互化的理解与掌握程度.

（2）写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）

 ①终边与轴正半轴重合的角______________________

②终边与轴重合的角____________________________

③终边与轴负半轴重合的角______________________

④终边落在第一象限内的角_________________________

设计意图：这是水平一的问题，检测对任意角与弧度制的理解程度.

（3）已知扇形的周长为,当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？

设计意图：这是水平二的问题，检测对弧度制下扇形的弧长与面积公式的理解程度.

2. 课后作业

教科书习题5.1第4，5，6，8，9题.

设计意图：课后巩固所学.

（七）教学反思

弧度制是一个新的定义角的概念，本节课主要是是让学生理解弧度制的意义，重点是让学生掌握弧度制与角度制互换，并理解任意角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系，关键是让学生学会类比思想，并让学生学会在弧度制下的弧长公式以及扇形面积公式。

学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻，可能是因为新的概念，所以大部分还不是很熟悉，上课讲课时，原先准备用网络画板给学生观看1弧度角的产生过程，让学生更加直观理解弧度制，由于多媒体临时出现问题，说明自己的准备还是不够充分；在目标检测中有部分同学做题还是难以适应过来，学生基础不扎实，要根据学生具体情况具体分析，在课后布置作业时，要由易到难，循序渐进，给学生一个适应的过程，提高学生学数学的成就感，从而激发学生的兴趣，体会数学之美，充分发挥学生的主观能动性，让学生主动的去学。