【同步导学案】高中数学人教A版(2019)选修第一册-- 2.4.2圆的一般方程 导学案（有答案）

2.4.2　圆的一般方程

【学习目标】

1.正确理解圆的一般方程及其特点．

2.会由圆的一般方程求其圆心、半径．

3.初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用.

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P85～88，思考并完成以下问题

1．圆的一般方程是什么？有什么特点？

2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？

3．已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？

二、课前小测

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)

A．(2,3)

B．(－2,3)

C．(－2，－3)

D．(2，－3)

2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是(　　)

A．以(a，b)为圆心的圆

B．以(－a，－b)为圆心的圆

C．点(a，b)

D．点(－a，－b)

3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.

三、新知探究

(一)圆的一般方程

1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F＞0时，该方程叫作圆的一般方程．

2．圆的一般方程下的圆心和半径：

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 .

(二) 轨迹方程

动点M的坐标(x，y)满足的关系式称为点M的轨迹方程．

四、题型突破

题型一　圆的一般方程及应用

[例1]　下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．

(1)x2＋y2－4x＝0；   (2)2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；    (3)x2＋y2＋2ax＝0(a∈R)．

反思感悟

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：

①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆；

②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．

跟踪训练

1．判断下列二元二次方程是否表示圆？如果是，请求出圆的圆心及半径．

(1)2x2－y2－7x＋5＝0；

(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；

(3)4x2＋4y2－4x＋12y＋9＝0；

(4)4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.

[例2]　若原点O(0,0)在圆x2＋y2＋2ax＋2y＋a2－2a＋1＝0外，则a的取值范围是(　　)

A．a≠1　　　　　　　　 B．a>0

C．0<a<1或a>1  D．a>1

反思感悟

判断点(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系有两种途径：

(1)点(x0，y0)与圆心的距离和半径的大小比较；

(2)将(x0，y0)代入圆的方程，x＋y＋Dx0＋Ey0＋F

跟踪训练

2．已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围．

题型二　与圆有关的轨迹问题

[例3]　已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程．

反思感悟

(1)求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的等量关系，并把这个方程化成最简形式．求动点的轨迹方程的一般步骤是：①建系：建立适当的直角坐标系；②设点：用(x，y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；③列式：列出关于x，y的方程；④化简：把方程化成最简形式；⑤验证：除去方程中的假点(即不符合题意的点)．

(2)求曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、直接法、代入法等，必须理解各种方法在什么情况下使用．

跟踪训练

3．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．

(1)求圆C的方程；

(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

五、达标检测

1．若圆的方程为x2＋y2＋4x－6y－12＝0，则该圆的圆心坐标和半径长分别为(　　)

A．(2，－3)，25　　　　　 B．(2，－3)，5

C．(－2,3)，5  D．(－2,3)，25

2．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的图形是(　　)

A．一个圆

B．只有当a＝0时，才能表示一个圆

C．一个点

D．a，b不为0时，才能表示一个圆

3．点P与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)

A．点P在圆外   B．点P在圆内

C．点P在圆上  D．不确定

六、本课小结

1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．

2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．

3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．

参考答案

课前小测

1．答案：D

2．答案：D

3．答案：4

题型突破

[例1]　解析：

(1)解法一　由方程可知D＝－4，E＝F＝0.

∵D2＋E2－4F＝D2＝16>0，∴方程表示圆．

∵－＝2，－＝0，

∴圆心为(2,0)，半径长r＝ ＝2.

解法二　方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆．圆心为C(2,0)，半径长r＝2.

(2)解法一　原方程可化为x2＋y2－x＋2y＋3＝0，易知D＝－，E＝2，F＝3.

∵D2＋E2－4F＝＋4－12<0，∴方程不表示圆．

解法二　方程可变形为22＋2(y＋1)2＝－，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．

(3)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.

①当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；

②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，以|a|为半径的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.

跟踪训练

1．解析：

(1)∵方程2x2－y2－7x＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．

(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆．

(3)将原方程化为x2＋y2－x＋3y＋＝0，

∴D＝－1，E＝3，F＝，∴D2＋E2－4F＝1>0，

∴此方程表示圆，将方程化为标准方程为2＋2＝，

即圆心坐标为，半径为.

(4)将原方程化为x2＋y2－x＋3y＋＝0，

∴D＝－1，E＝3，F＝，

∴D2＋E2－4F＝－1<0，

∴此方程不表示圆．

[例2]解析：

∵x2＋y2＋2ax＋2y＋a2－2a＋1＝0表示圆，

∴4a2＋4－4a2＋8a－4＝8a>0，∴a>0

又(0,0)在圆外，∴将(0,0)代入圆C方程有：

a2－2a＋1＝(a－1)2>0，∴a≠1，

综上，a的取值范围是0<a<1或a>1.

答案：C

跟踪训练

2．解析：因为点A在圆的外部，所以有

，

解得，即2＜a＜.

所以a的取值范围为2＜a＜.

[例3]解析：

解法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.

又因为kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，

所以·＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.

所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．

解法二　同解法一，得x≠3，且x≠－1.

由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，

即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，

化简得x2＋y2－2x－3＝0.

所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．

解法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1,0)．

由直角三角形的性质，知|CD|＝|AB|＝2.

由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．

设C(x，y)，则直角顶点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．

跟踪训练

3．解析：

(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D.

又kAB＝－3，所以km＝，

所以直线m的方程为x－3y－3＝0.

由得圆心C(－3，－2)，

则半径r＝|CA|＝＝5，

所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.

(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)．

因为点P的坐标为(5,0)，

所以即

又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，

所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，

即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.

整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.

即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.

达标检测

1．解析：把方程x2＋y2＋4x－6y－12＝0配方得(x＋2)2＋(y－3)2＝25.

故圆心为(－2,3)，半径为5.

答案：C

2．解析：当a＝b＝0时，原方程变为x2＋y2＝0，表示一个点．当ab≠0时，方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示一个圆．

答案：D

3．解析：＋＝＝＝1，∴点P在圆上．

答案：C