2023年湖南省株洲市中考数学真题

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 2的相反数是（ ）
A. 2 B. －2 C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.

2. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方法则计算即可．
【详解】解：．
故选：D
【点睛】此题考查了积的乘方，积的乘方等于各因数乘方的积，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键．
3. 计算：（ ）
A. B. 6 C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：A
【点睛】此题考查了有理数乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
4. 从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式求解即可．
【详解】解：总人数为人，
随机抽取一个学号共有种等可能结果，
抽到的学号为男生的可能有种，
则抽到的学号为男生的概率为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式求概率；解题的关键是熟练掌握概率公式．
5. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：由图可知，
在中，，点D为边的中点，
,
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质．
6. 下列哪个点在反比例函数的图像上？（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的图像上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可．
【详解】解：A．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意；
B．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意；
C．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意；
D．∵，∴在反比例函数的图像上，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
7. 将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程两边都乘以，从而可得答案．
【详解】解：∵，
去分母得：，
整理得：，
故选A．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．
8. 如图所示，在矩形中，，与相交于点O，下列说法正确的是（ ）

A. 点O为矩形的对称中心 B. 点O为线段的对称中心
C. 直线为矩形的对称轴 D. 直线为线段的对称轴
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段的对称中心是线段的中点，矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，从而可得答案．
【详解】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故A符合题意；
线段的对称中心是线段的中点，故B不符合题意；
矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，
故C，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义，矩形的性质，熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．
9. 如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）

A. b恒大于0 B. a，b同号 C. a，b异号 D. 以上说法都不对
【答案】C
【解析】
【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分，两种情况讨论即可．
【详解】解：∵直线l为二次函数的图像的对称轴，
∴对称轴为直线，
当时，则，
当时，则，
∴a，b异号，
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键．
10. 申报某个项目时，某7个区域提交的申报表数量的前5名的数据统计如图所示，则这7个区域提交该项目的申报表数量的中位数是（ ）

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】7个地区的申报数量按照大小顺序排列后，根据中位数的定义即可得到答案．
【详解】解：某7个区域提交的申报表数量按照大小顺序排列后，处在中间位置的申报表数量是6个，故中位数为6．
故选：C
【点睛】此题考查了中位数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置的数据或中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据合并同类项法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项运算法则是解答本题的关键．
12. 因式分解______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【详解】解：（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
13. 关于的不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的解法即可得出结果．
详解】解：，
移项，得，
系数化为1，得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是本题的关键．
14. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，则的长为_____________．

【答案】2
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，从而求得结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15. 如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则_______度．

【答案】
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果．
【详解】解：在中，
，

故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．
16. 血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏收缩时和舒张时压力．收缩压的正常范围是：，舒张压的正常范围是：．现五人A、B、C、D、E的血压测量值统计如下：

则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有________个．
【答案】3
【解析】
【分析】分析拆线统计图即可得出结果．
【详解】解：收缩压在正常范围的有A、B、D、E，
舒张压在正常范围的有B、C、D、E，
这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有B、D、E，即3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了拆线统计图，熟练识别拆线统计图，从中获得准确信息是本题的关键．
17. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．

【答案】####．
【解析】
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，
矩，
欘宣矩，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．
18. 已知实数m、、满足：．
①若，则_________．
②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有_________个
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①把代入求值即可；
②由题意知：均为整数， ，则再分三种情况讨论即可．
【详解】解：①当时，，
解得：；
②当m、、为正整数时，
均为整数，
而
或或，
或或，
当时，时，；时，，
故为，共2个；
当时，时，；时，，时，
故为，共3个；
当时，时，；时，，
故为，共2个；
综上所述：共有个．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值即可得出结果．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的加法和乘法法则可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式


，

当时，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21. 如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．

（1）求证：四边形为平行四边形
（2），求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形；
（2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度．
【小问1详解】
解：∵点D、E分别为的中点，
∴，
∵点G、F分别为、的中点．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．
22. 某花店每天购进支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下这种花进行作废处理、该花店记录了天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n






天数
1
1
2
4
1
1

（1）求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数；
（2）当时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：；当时，日利润为元．
①当时，间该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率．
【答案】（1）天；
（2）①元；②该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为2．
【解析】
【分析】（1）当时，该种花需要进行作废处理，结合表中数据，符合条件的天数相加即可；
（2）①当时，代入函数表达式即可求解；
②当时，日利润y关于n的函数表达式为；当时，日利润为元，；即当时求得n的值，结合表中数据即可求得频率．
【小问1详解】
解：当时，该种花需要进行作废处理，
则该种花作废处理情形的天数共有：（天）；
【小问2详解】
①当时，日利润y关于n的函数表达式为，
当时，（元）；
②当时，日利润y关于n的函数表达式为；
当时，日利润为元，，
当时，
解得：，
由表可知的天数为2天，
则该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为2．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，一次函数求自变量和函数值，统计和频数；解题的关键是理清题意，正确求解．
23. 如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D．

（1）求大小；
（2）若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
【答案】（1）
（2）轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车
【解析】
【分析】（1）由得到，由得到，由得到，即可得到的大小；
（2）由得到，在中求得，由勾股定理得到，由得到，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的大小为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．
【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、垂直定义和平行线的性质、方位角的的定义等知识，读懂题意，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角形函数的定义是解题的关键．
24. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上

（1）求k的值；
（2）连接，记的面积为S，设，求T的最大值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）点在函数的图像上，代入即可得到k的值；
（2）由点在x轴负半轴得到，由四边形为正方形得到，轴，得的面积为，则，根据二次函数的性质即可得到T的最大值．
【小问1详解】
解：∵点在函数的图像上，
∴，
∴，
即k的值为2；
【小问2详解】
∵点在x轴负半轴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，轴，
∴的面积为，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，T的最大值是1．
【点睛】此题考查了二次函数的性质、反比例函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
25. 如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．

（1）求证：直线直线；
（2）若；
①求证：；
②若，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）①见解析，②．
【解析】
【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得；
（2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得；
②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长．
【小问1详解】
证明：在中，
，
，即，
在中，
，
，
即直线直线；
【小问2详解】
①四边形是半径为R的的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
由（1）可知，
，
在与中，
，
，
②在中，，
，
是的直径，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
由①可知，
，
，
四边形的周长为：
．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．
26. 已知二次函数．
（1）若，且该二次函数的图像过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．

①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为，该二次函数的图像过点，代入即可求解；
（2）①证明，根据相似三角形的性质即可求解；
②根据题意可得，，由①可得，进而得出，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将代入，解关于的方程，进而得出，可得对称轴为直线，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图像过点，
∴
解得：；
【小问2详解】
①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图像与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图像与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．