北京市密云区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类

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北京市密云区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二次函数综合题（共1小题）
1．（2021秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+b与y轴相交于点（0，﹣3）．
（1）当抛物线经过点（1，﹣4）时，求该抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含a的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1﹣y1＝0，x2+y2＝0．当x1＜0，x2＞0时，总有x1+x2＞0，求a的取值范围．

二．三角形综合题（共1小题）
2．（2022秋•密云区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点（点D不与B、C重合），∠ADE＝60°，AD＝DE，连接CE．
（1）判断CE与AB的位置关系，并证明；
（2）过D过DG⊥AB，垂足为G．用等式表示DG，AG与DC之间的数量关系，并证明．

三．四边形综合题（共2小题）
3．（2020秋•密云区期末）如图，矩形ABCD中，AD＞AB，DE平分∠ADC交BC于点E，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接EF，AD与FE交于点O．
（1）①补全图形；
②设∠EAB的度数为α，直接写出∠AOE的度数（用含α的代数式表示）．
（2）连接DF，用等式表示线段DF，DE，AE之间的数量关系，并证明．

4．（2021秋•密云区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求∠AEF的度数；
（3）连接AC交EF于点H，若＝a，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由．

四．切线的判定与性质（共1小题）
5．（2021秋•密云区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC＝30°，求CD的长．

五．圆的综合题（共3小题）
6．（2020秋•密云区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P是图形M上的任意一点，Q是图形N上任意一点，如果P，Q两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N的“最小距离”，记作d（M，N）．
已知⊙O的半径为1．
（1）如图，P（4，3），则d（点O，⊙O）＝　 　，d（点P，⊙O）＝　 　．
（2）已知A、B是⊙O上两点，且的度数为60°．
①若AB∥x轴且在x轴上方，直线l：y＝x﹣2，求d（l，AB）的值；
②若点R坐标为（，1），直接写出d（点R，AB）的取值范围．

7．（2021秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0）和点B（5，0）．对于线段AB和直线AB外的一点C，给出如下定义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角∠ACB叫做线段AB关于点C的可视角，其中点C叫做线段AB的可视点．
（1）在点D（﹣2，2）、E（1，4）、F（3，﹣2）中，使得线段AB的可视角为45°的可视点是 　 　；
（2）⊙P为经过A，B两点的圆，点M是⊙P上线段AB的一个可视点．
①当AB为⊙P的直径时，线段AB的可视角∠AMB为 　 　度；
②当⊙P的半径为4时，线段AB的可视角∠AMB为 　 　度；
（3）已知点N为y轴上的一个动点，当线段AB的可视角∠ANB最大时，求点N的坐标．


8．（2022秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，O、M、P三点不在同一条直线上，将线段OM平移得到线段PP1，（其中P，P1分别是O，M的对应点），延长PO至P2，使得OP2＝2OP，连接P1P2，交OM于点Q，称Q为点P关于线段OM的关联点．
（1）如图，点M（1，2），P（2，0），点Q为点P关于线段OM的关联点．
①在图中画出点Q；
②求证：OQ＝2QM；
（2）已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一动点，O，M，P三点不在同一条直线上，OP＝3，点P关于线段OM的关联点为Q．求P2Q的取值范围．

六．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2021秋•密云区期末）下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．
求作：∠BPC，使∠BPC＝∠BAC．
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接EF交BD于点O；
②以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；
③在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．
所以∠BPC＝∠BAC．
根据小玟设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA、OC．
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD＝CD．
∴OA＝OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB＝　 　．
∴OB＝OA．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC （ 　 　）（填推理的依据）．

七．相似三角形的判定与性质（共3小题）
10．（2020秋•密云区期末）如图，AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）求∠ADE的度数．

11．（2021秋•密云区期末）在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DCF∽△CEB；
（2）若BC＝4，CE＝3，tan∠CDF＝，求线段BE的长．

12．（2022秋•密云区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，延长AD至E，连接BE，∠CBE＝∠ABC．
（1）求证：△ADC∽△EDB；
（2）若AC＝4，BE＝6，AD＝2，求DE长．

八．解直角三角形（共1小题）
13．（2021秋•密云区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．

九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
14．（2021秋•密云区期末）从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”．象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群．如图，A，B，C分别表示峨山县、象群位置和独象位置．经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北偏东30°方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号）


北京市密云区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共1小题）
1．（2021秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+b与y轴相交于点（0，﹣3）．
（1）当抛物线经过点（1，﹣4）时，求该抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含a的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1﹣y1＝0，x2+y2＝0．当x1＜0，x2＞0时，总有x1+x2＞0，求a的取值范围．

【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）对称轴为直线：x＝a，
（3）a＞0．
【解答】解：（1）把（0，﹣3）和（1，﹣4）分别代入解析式y＝x2﹣2ax+b，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）二次函数的对称轴为直线：x＝﹣＝a，
（3）A（x1，y1）和B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣2ax+b上的两点，
∴y1＝x12﹣2ax1+b，y2＝x22﹣2ax2+b，
∵x1﹣y1＝0，x2+y2＝0，
∴x1＝x12﹣2ax1+b，﹣x2＝x22﹣2ax2+b，
∴x12﹣2ax1﹣x1+b＝0①，x22﹣2ax2+x2+b＝0②，
①﹣②得，x12﹣x22﹣2ax1+2ax2﹣x1﹣x2＝0，
∴（x1﹣x2）（x1+x2）﹣2a（x1﹣x2）＝x1+x2，
∴x1+x2﹣2a＝，
∵x1＜0，x2＞0，x1+x2＞0，
∴x1﹣x2＜0，
∴x1+x2﹣2a＜0，
∴a＞，
∵x1+x2＞0，
∴a＞0．
二．三角形综合题（共1小题）
2．（2022秋•密云区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点（点D不与B、C重合），∠ADE＝60°，AD＝DE，连接CE．
（1）判断CE与AB的位置关系，并证明；
（2）过D过DG⊥AB，垂足为G．用等式表示DG，AG与DC之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）CE∥AB，证明见解析；
（2）DG＝（AG﹣DC）．证明见解析．
【解答】解：（1）CE∥AB．
证明：连接AE，

∵∠ADE＝60°，AD＝DE，
∴△ADE为等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴CE∥AB；
（2）DG＝（AG﹣DC）．
证明：在AB上截取AH＝CD，连接DH，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∵AH＝CD，
∴BH＝BD，
∴△BHD是等边三角形，
∴DH＝BD，∠DHG＝60°，
∵DG⊥AB，
∴∠DGH＝90°，
∵tan∠DHG＝，∠DHG＝60°，
∴＝tan60°＝，即DG＝GH，
∵GH＝AG﹣AH，AH＝DC，
∴GH＝AG﹣DC，
∴DG＝（AG﹣DC）．
三．四边形综合题（共2小题）
3．（2020秋•密云区期末）如图，矩形ABCD中，AD＞AB，DE平分∠ADC交BC于点E，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接EF，AD与FE交于点O．
（1）①补全图形；
②设∠EAB的度数为α，直接写出∠AOE的度数（用含α的代数式表示）．
（2）连接DF，用等式表示线段DF，DE，AE之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）①图形见解析；
②45°+α；
（2）DF2+DE2＝2AE2．
【解答】解：（1）①补全图形如下：

②∵将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠F＝∠AEF＝45°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠EAB＝∠DAF＝α，
∴∠AOE＝∠F+∠AOF＝45°+α．
（2）DF2+DE2＝2AE2．
证明：延长DE，AB交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DAB＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝45°，
∴AD＝AG，
∵∠FAE＝90°，
∴∠FAD+∠DAE＝90°，
∵∠DAE+∠EAG＝90°，
∴∠FAD＝∠EAG，
∵AF＝AE，
∴△FAD≌△EAG（SAS），
∴∠FDA＝∠EGA＝45°，
∴∠FDE＝∠FDA+∠ADE＝90°，
∴DF2+DE2＝FE2，
∵FE2＝AF2+AE2＝2AE2，
∴DF2+DE2＝2AE2．
4．（2021秋•密云区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求∠AEF的度数；
（3）连接AC交EF于点H，若＝a，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）补全图形见解答过程；
（2）∠AEF＝45°；
（3）＝a．
【解答】解：（1）补全图形如下：

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝∠BAC＝90°，AD＝AB，
∴∠D＝∠ABF＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠FAB＝90°﹣∠BAE＝∠EAD，
∴△ABF≌△ADE（AAS），
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°；
（3）过H作HG⊥BC于G，过H作HM⊥CD于M，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴HG＝CG，
∵HG⊥BC，HM⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形HGCM是正方形，
∴HG＝CG＝HM，
∵HG∥CE，HM∥CF，
∴△EHM∽△EFC，△FHG∽△FEC，
∵＝a，
∴＝＝，＝＝，
∴CF＝（a+1）HM，CE＝HG，
而HM＝HG，
∴CE＝，即＝a．
四．切线的判定与性质（共1小题）
5．（2021秋•密云区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC＝30°，求CD的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∵AD＝AC，AB⊥CD，
∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAD，
∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，
∴∠DAM＝∠DAF，
∴∠OAM＝∠DAO+∠DAM
＝∠CAD+∠DAF
＝×180°
＝90°，
∵OA是圆O的半径，
∴AM是⊙O的切线；
（2）∵∠ANC＝30°，∠OAM＝90°，
∴∠AON＝90°﹣∠ANC＝60°，
∴AN＝OAtan60°＝2，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AON＝∠OAC+∠OCA＝60°，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠OCA＝∠ANC＝30°，
∴AN＝AC＝2，
∵∠OAC＝∠CAD，
∴∠CAD＝60°
∵AD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AC＝2．
五．圆的综合题（共3小题）
6．（2020秋•密云区期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P是图形M上的任意一点，Q是图形N上任意一点，如果P，Q两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N的“最小距离”，记作d（M，N）．
已知⊙O的半径为1．
（1）如图，P（4，3），则d（点O，⊙O）＝　1　，d（点P，⊙O）＝　4　．
（2）已知A、B是⊙O上两点，且的度数为60°．
①若AB∥x轴且在x轴上方，直线l：y＝x﹣2，求d（l，AB）的值；
②若点R坐标为（，1），直接写出d（点R，AB）的取值范围．

【答案】（1）1，4．
（2）①d（l，AB）＝1．
②﹣1≤d（r，AB）≤．
【解答】解：（1）∵P（4，3），
∴OP＝＝5，
∵⊙O的半径为1，
∴d（点O，⊙O）＝1，d（点P，⊙O）＝5﹣1＝4，
故答案为：1，4．

（2）①如图1中，不妨假设点B在点A的右侧，连接OA，OB．

设直线y＝x﹣2交x轴于C，交y轴于D，
则D（0，﹣2），C（，0），
∴tan∠OCD＝＝，
∴∠OCB＝60°，
∵的度数为60°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝∠BOC＝60°，
∴∠BOC＝∠OCD，
∴OB∥CD，
过点O作OE⊥CD于E．
∵∠ODE＝30°，∠OED＝90°，
∴OE＝OD＝2，
∴d（l，AB）＝1．

②如图2中，连接OR．

∵R（，1），
∴OR＝＝，
当点B或点A在OR时，d（R，AB）的值最小，最小值＝﹣1．
如图3中，当OR⊥AB交AB于E时，d（R，AB）的值最大，最大值＝RE＝OR+OE＝+＝，

∴﹣1≤d（r，AB）≤．
7．（2021秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0）和点B（5，0）．对于线段AB和直线AB外的一点C，给出如下定义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角∠ACB叫做线段AB关于点C的可视角，其中点C叫做线段AB的可视点．
（1）在点D（﹣2，2）、E（1，4）、F（3，﹣2）中，使得线段AB的可视角为45°的可视点是 　E　；
（2）⊙P为经过A，B两点的圆，点M是⊙P上线段AB的一个可视点．
①当AB为⊙P的直径时，线段AB的可视角∠AMB为 　90　度；
②当⊙P的半径为4时，线段AB的可视角∠AMB为 　30或150　度；
（3）已知点N为y轴上的一个动点，当线段AB的可视角∠ANB最大时，求点N的坐标．


【答案】（1）E；
（2）①90；
②30或150；
（3））N（0，）或（0，﹣）．
【解答】解：（1）如图1，

以AB为底在x轴作等腰Rt△ABI和△ABI′，以I和I′为圆心，AI为半径作⊙I和⊙I′，
∴当点Q在优弧上或上时，线段AB的可视角是45°，
此时QI＝AI＝2，点I（3，2），I′（3，﹣2），
因为点D在圆外，所以点D不是AB的可视角为45°的可视点，
∵EI＝＝2，
∴点E是AB的可视角为45°的可视点，
∵∠AFB＝90°，
∴点F不是AB的可视角为45°的可视点，
故答案为：E；
（2）①∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°，
②∵AB＝PA＝PB＝4，
∴∠APB＝60°，
当点M在优弧上时，
∴∠AMB＝，
当在劣弧上时，
∠AMB＝180°﹣30°＝150°，
故答案是30或150；

（3）作△ABN的外接圆，作直径AM，连接BM，

∴∠ABM＝90°，
∵＝，
∴∠M＝∠ANB，
∴sinM＝＝，
∴当AM最小时，∠M最大，即∠ANB最大，
∵点N在⊙I上，
∴当⊙I和y轴相切时，∠ANB最大，
此时，连接NI，作IH⊥AB于H，
∴NI∥x轴，
∴NI＝AH＝3，
在Rt△AIH中，AI＝NI＝3，AH＝2，
∴IH＝＝，
∴ON＝IH＝，
∴N（0，）或（0，﹣）．
8．（2022秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，O、M、P三点不在同一条直线上，将线段OM平移得到线段PP1，（其中P，P1分别是O，M的对应点），延长PO至P2，使得OP2＝2OP，连接P1P2，交OM于点Q，称Q为点P关于线段OM的关联点．
（1）如图，点M（1，2），P（2，0），点Q为点P关于线段OM的关联点．
①在图中画出点Q；
②求证：OQ＝2QM；
（2）已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一动点，O，M，P三点不在同一条直线上，OP＝3，点P关于线段OM的关联点为Q．求P2Q的取值范围．

【答案】（1）①图形见解析；②证明见解析；
（2）．
【解答】（1）①解：由题意画出图形如下：

②证明：∵点Q为点P关于线段OM的关联点，P（2，0），
∴P2（﹣4，0），PP1∥OM，PP1＝OM，
∴OQ∥PP1，
∴△P2OQ∽△P2PP1，
∴，
∵PP1＝OM，
∴，
∴OQ＝2OM；
（2）解：∵OP＝3，OP2＝6，
∴点P是在以O为圆心3为半径的圆上，P2是在以O为圆心6为半径的圆上．
由已知，OQ∥PP1，

∴△P2OQ∽△P2PP1，
∴，
∵OM＝1，OM＝PP1，
∴OQ＝，
∵OP2＝6，O，M，P三点不在同一条直线上，
∴OP2﹣OQ＜P2Q＜OP2+OQ，
∴．
六．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2021秋•密云区期末）下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．
求作：∠BPC，使∠BPC＝∠BAC．
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接EF交BD于点O；
②以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；
③在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．
所以∠BPC＝∠BAC．
根据小玟设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA、OC．
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD＝CD．
∴OA＝OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB＝　OC　．
∴OB＝OA．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC （ 　同弧所对圆周角相等　）（填推理的依据）．

【答案】（1）图形见解答；
（2）OC，同弧所对圆周角相等．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）证明：连接OA、OC．
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD＝CD．
∴OA＝OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB＝OC．
∴OB＝OA．
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC （同弧所对圆周角相等）．
故答案为：OC，同弧所对圆周角相等．
七．相似三角形的判定与性质（共3小题）
10．（2020秋•密云区期末）如图，AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）求∠ADE的度数．

【答案】（1）证明过程见解答部分；
（2）90°．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，
∴∠ABD＝∠DCE＝90°．
∵AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6，
∴＝，＝．
∴＝．
∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）知，△ABD∽△DCE，则∠BAD＝∠EDC．
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠ADB+∠EDC＝90°．
∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDC＝90°．
11．（2021秋•密云区期末）在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DCF∽△CEB；
（2）若BC＝4，CE＝3，tan∠CDF＝，求线段BE的长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A，
∴∠DFC＝∠B，
∴△DCF∽△CEB；
（2）如图，过点E作EH⊥CB延长线于点H，

∵△DCF∽△CEB，
∴∠CDF＝∠ECB，
∴tan∠CDF＝tan∠ECB＝＝，
设EH＝x，则CH＝2x，
∵CE＝3，
∴x＝3，
∴x＝3，
∴EH＝3，CH＝6，
∵BC＝4，
∴BH＝CH﹣BC＝2，
∴BE＝＝＝．
12．（2022秋•密云区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，延长AD至E，连接BE，∠CBE＝∠ABC．
（1）求证：△ADC∽△EDB；
（2）若AC＝4，BE＝6，AD＝2，求DE长．

【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）3．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠CBE＝∠ABC，
∴∠C＝∠CBE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴△ADC∽△EDB；
（2）解：由（1）知：△ADC∽△EDB，
∴，
∴，
∴DE＝3．
八．解直角三角形（共1小题）
13．（2021秋•密云区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．

【答案】2．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠DBC＝45°，
∵DC＝6，
∴BC＝6，
∵sinA＝＝，
∴AB＝10，
∴AC＝＝＝8，
∴AD＝AC﹣DC＝8﹣6＝2．
九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
14．（2021秋•密云区期末）从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”．象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群．如图，A，B，C分别表示峨山县、象群位置和独象位置．经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北偏东30°方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号）

【答案】（6+2）公里．
【解答】解：如图，由于BC方向为东西方向，AD为南北方向，因此AD⊥BC，垂足为D，
由方向角的定义可知，∠BAD＝45°，∠DAC＝30°，AB＝12公里，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝12，
∴BD＝AD＝AB＝6，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝6，
∴CD＝AD＝2，
∴BC＝BD+CD＝（6+2）公里，
答：此时独象距离象群（6+2）公里．