第07讲 三角形的中位线专题复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第7讲 三角形的中位线专题探究

类型一  三角形中位线定理

【知识点睛】

三角形中位线定理的应用

（1）证明平行问题;

（2）证明一边是另一边的2倍或

（3）解决"中点问题".

注意∶在处理这些问题时，要求出现三角形及其中位线：

①有中点连线而无三角形，要作辅助线产生三角形;

②有三角形而无中位线，要作中点的连线或过中点作平行线.

【类题训练】

1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12

2．如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（　　）

A．17 B．18 C．19 D．20

3．如图，△ABC的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　）

A．2.5 B．3 C．4 D．5

5．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

6．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）

A．2 B． C．3 D．

8．如图，AB∥CD，AC、BD相交于P，E、F分别为AC、BD的中点，若AB＝10，CD＝6，则EF的长是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A、B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则线段OM的最小值是（　　）

A．2+ B．2﹣ C．1 D．2

10．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，若AC＝8，BC＝5，则EF的长为 　   　．

11．如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，AC＝7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B1C1的三边中点，得到△A2B2C2，…，按这样的规律下去，△A2022B2022C2022的周长为 　   　．

12．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，N、M分别是AB、CD的中点，求证：∠PMN＝∠PNM．

类型二  三角形中位线在四边形中的应用

【知识点睛】

四边形中中位线的构造

（1）四边形边上有中点时，取其对角线中点构造三角形中位线;

（2）四边形对角线上有中点时，取边的中点构造三角形中位线.

此类中位线的构造常出现在等对边四边形或等对角线四边形题目中，用于判断线段关系或由线段引发的角度关系。

注意∶构造出的中位线往往是相等的，且正好是等对边或等对角线的一半.

【类题训练】

1．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（　　）

A．线段EF的长逐渐增大 

B．线段EF的长逐渐减少 

C．线段EF的长不变 

D．△ABP和△CRP的面积和不变                                              

2．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．50°

3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5

4．如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　）

A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF

       第3题                  第4题              第5题              第6题

5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　）

A．2.5 B．3 C．4 D．5

6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）点E，F分别是线段DM，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（　　）

A．5 B． C．2.5 D．3

7．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，连结BM，MN，若BM＝3MN，则线段CD的长是（　　）

A． B．3 C． D．5

8．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD＝4，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD＝20°，∠BDC＝80°，则MN的长是　   　．

9．如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是　    　．

10．如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题．

（1）在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，如图②，请先完成图①的证明，再继续证明∠AEN＝∠F．

（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 　   　．

11．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．

（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．

（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．

12．如图，两个等腰Rt△ABC和Rt△CEF，点B在CE上，∠ABC＝∠E＝90°，连接AF，取AF的中点M，连接MB．求证：BM∥CF．

类型三  中位线的构造方法总结

（一）. 连接两点构造三角形的中位线

如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

（1）求证：PM＝PN；

（2）求∠MPN的度数．

（二）利用角平分线和垂直构造中位线

1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．

2．在△ABC中，点D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E．

（1）求证：DE∥BC；

（2）若AC＝5，BC＝7，求DE的长．

（三）倍长法构造三角形中位线

如图，△ABC、△BEF为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BEF＝90°，BA＝BC，EB＝EF，

连接AF、CF，M为AF的中点．

（1）如图1，当A、F、B共线时，求证：ME＝CF；

（2）如图2，当A、F、B不共线时，求证：ME＝CF；

（3）设BC＝2，请直接写出BF+AF+CF的最小值．

（四）已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线

如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　）

A．2 B． C． D．

（五）已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线

已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，P是AD的中点，延长BP交AC于点F．

（1）求证：PB＝3PF；

（2）如果AC的长为13，求AF的长．