2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期8月学情调研测试数学试题（解析版）

这是一份2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期8月学情调研测试数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期8月学情调研测试数学试题


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先解出集合A、B，再求解出集合A的补集，根据集合交集的运算即可求解.
【详解】
由题意得或 ，，所以，.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了集合补集、交集的运算，属于简单题，计算中可以借助数轴法求解集合的补集和集合间的交集.
2．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】即中至少有一个是零；复数为纯虚数，故为小范围，故为必要不充分条件.

3．下列命题中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】分析：根据不等式性质逐一排除即可.
详解：A. 若，则,当c取负值时就不成立，故错误；B. 若，，则，例如a=3，b=1，c=2，d=-2显然此时,故错误；D，若，，则，例如a=3，c=-1，b=-1，d=-2，此时,故错误，所以综合得选C.
点睛：考查不等式的简单性质，此类题型举例子排除法比较适合，属于基础题.
4．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则S5＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用正项等比数列{an}的前n项和公式，通项公式列出方程组，求出a1＝1，q＝，由此能求出S5的值．
【详解】
解：正项等比数列{an}的前n项和为Sn，，
∴，解得a1＝1，q＝，
∴S5＝＝＝．
故选：B．
【点评】
本题考查等比数列的前n项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B．1024 C．4096 D．5120
【答案】C
【解析】先将二项式变形为，分别写出两个二项式展开式的通项，并分别令的指数为10，求出两个参数的值，代入展开式之后将两个系数相减可得出答案．
【详解】
，
二项展开式的通项为，
二项展开式的通项为，
则，，
所以，展开式中的系数为．
故选C．
【点睛】
本题考查了利用二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，同时也考查了计算能力，属于中等题．
6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150 B．200 C．300 D．400
【答案】C
【解析】求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．
【详解】
∵，，
所以，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．
故选C．
【点睛】
本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
7．如图，过抛物线（）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线方程为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．
【详解】
如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，
则由已知得，由抛物线定义得，故.

在中，因为，，，
所以，得，，所以，
因此抛物线方程为.
故选：B
【点睛】
本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．
8．已知椭圆C：（）的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：与椭圆C相交于A，B两点.若，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆的左焦点为，根据双曲线的定义，求得，再由点P到直线l的距离不小于，求得，得到，进而求得离心率的范围，得到答案.
【详解】
设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得，，
所以，解得，
因为点P到直线l的距离不小于，所以，解得，
又由，所以，故，
所以离心率.
故选：C.

【点睛】
本题考查了椭圆的定义，以及椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．

二、多选题
9．若函数与都在区间（）上单调递减，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】先求在上的单调递减区间，再求在上的单调递减区间，再求交集即可得和两个函数的递减区间，可得的最大值，进而可得的可能取值.
【详解】
当时，，所以当时，即单调递减，即函数在上单调递减，
当时，，即时，单调递减，
因为，
所以， 所以，
所以可能为或，
故选：AB
【点睛】
本题主要考查了三角函数的单调性，属于中档题.
10．下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．已知随机变量X服从正态分布且，则
C．；
D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大
【答案】ABD
【解析】对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C.
【详解】
对于选项设随机变量，
则，
所以选项A正确；
对于选项因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴是，
因为，所以，
所以，所以选项B正确；
对于选项，
，故选项C不正确；
对于选项由题意可知，，
，
由一次函数和二次函数的性质知，
当时，随着x的增大而减小，
随着x的增大而增大，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A．，且，
B．若，，则
C．函数值域为
D．已知函数在区间上的最大值是10，则实数a的取值范围为
【答案】BCD
【解析】结合基本不等式的条件及基本不等式可以判断A，B，结合三角换元及三角函数的性质可判断C，结合含绝对值函数的图像变换可检验D，即可判断．
【详解】
对于A，，且，对时不成立；
对于B，若，，则，化为，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，令，，则，由，得，；
对于D，当，，令，转化为在有最大值是10.
①，当时，，得（舍去）.
②时，当时，恒成立.
③，，此时只需，得.
综上，，故D正确．
故选：BCD
【点睛】
本题以判断命题真假为载体，主要考查了函数，不等式的综合应用，属于中档题．
12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【解析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案.
【详解】
对A，写出数列的前6项为，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，由，，，……，，
可得：.故是斐波那契数列中的第2020项.
对D，斐波那契数列总有，则，，，……，，
，故D正确；
故选：ABCD.
【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.


三、填空题
13．已知向量，，若，则______.
【答案】1
【解析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.
【详解】
向量,
则,
则

因为
即,化简可得
解得
故答案为:
【点睛】
本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.
14．某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加A、B、C三个志愿点的活动.每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一活动点，高三学生不去A活动点，则不同的安排方法有_____种.（用数字作答）
【答案】40
【解析】以高三学生是否单独去志援点分为两类，每一类中先安排高三学生，再安排高一、高二学生，由乘法原理算出两类安排方法，相加即可.
【详解】
若高三学生单独去志愿点，则有种，若高三学生与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，有32种，
则共有种安排方法.
故答案为：40.
【点睛】
本题考查分类计数原理的运用，以高三学生是否单独去志愿点确定分类的方法，再逐级安排，考查乘法原理，属于中档题.
15．在直三棱柱内有一个与各个面均相切的球.若，，，则的长度为______.
【答案】4
【解析】求出△ABC内切圆的半径，根据球是三棱柱的内切球，求出其半径，从而求出AA1的长度即可．
【详解】
由，，，得.
设底面的内切圆的半径为r，则，得.因为球与三个侧面相切，所以内切球的半径也为2.
又该球也与直三棱柱的上、下底面相切，所以.
故答案为：4
【点睛】
本题考查了三棱柱的内切球，考查三角形内切圆以及直三棱柱问题，是一道常规题．
16．已知函数,若函数有且仅有四个不同的零点,则实数k的取值范围是_______．
【答案】
【解析】根据题意可求得,再分三种情况求函数的单调性,进而根据零点存在性定理求出函数的最小值求解不等式即可.
【详解】
由题, ,即,
当k＝0时,原函数有且只有一个零点,不符题意,故k≠0,
观察解析式,可知函数有且仅有四个不同的零点,
可转化为有且仅有两个不同的零点,
当k＜0,函数在(0,)单调递增,最多一个零点,不符题意,舍；
当k＞0,,
令有,故
x
(0,)

(,)

﹣
0
﹢

单调递减

单调递增

要使在(0,)有且仅有两个不同的零点,
则,因为,故,解得k＞27,
综上所述,实数k的取值范围是(27,)．
故答案为：(27,)
【点睛】
本题主要考查了根据分段函数的零点个数求解参数范围问题,需要根据函数的性质求出单调性以及最值,进而根据零点存在性定理列式求解.属于中档题.

四、解答题
17．现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题.
在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，______.
（1）求A；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】若选条件①，（1）由余弦定理对2cb=2acosB，化简可得c2+b2﹣a2bc，再利用余弦定理可求出A；（2）由余弦定理可得(1)2=b2+c2﹣2bc•，化简再利用基本不等式可得，可求出△ABC周长的最大值；
若选条件②，（1）由(2bc)cosAacosC，结合正弦定理化简可得2sinBcosA sinB，从而可求出A；（2）由余弦定理可得(1)2=b2+c2﹣2bc•，化简再利用基本不等式可得，可求出△ABC周长的最大值；
【详解】
若选择条件①.
（1）由余弦定理可得，整理得，
可得.
因为，所以.
（2）由余弦定理，得，
即，亦即，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
解得，
当且仅当时取等号.
所以，即周长的最大值为
若选择条件②.
（1）由条件得，
由正弦定理得.
因为，所以，
因为，所以.
（2）由余弦定理，得，
即，亦即，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
解得，
当且仅当时取等号.
所以，即周长的最大值为
【点睛】
此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题
18．已知数列中，，当时，其前n项和满足
（1）求的表达式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）运用，代入化简整理，再由等差数列的定义和通项公式即可得到所求；
（2）求得＝＝，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．
【详解】
解：（1）∵，,
，①，
由题意，将①式两边同除以得，
∴数列是首项为，公差为2的等差数列．
可得，
得；
（2）＝＝，

【点睛】
本题考查数列中的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
19．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
【解析】【详解】
（Ⅰ）由已知得.
取的中点，连接，由为中点知，.
又，故，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且
.
以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，
，，，，
， ，.
设为平面 的一个法向量，则
即
可取.
于是.

【考点】
空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．
【技巧点拨】
（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．

20．成都市现在已是拥有1400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在范围内，规定分数在80以上（含80）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．


拥有驾驶证
没有驾驶证
总计
具有很强安全意识



不具有很强安全意识
58


总计


200
（1）补全上面的列联表，并判断能否有超过的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关？
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附表及公式：，其中．
P（）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）表格见解析，有超过的把握；（2）分布列见解析，数学期望为．
【解析】（1）拥有驾驶证的有80人，具有很强安全意识的有40人，由此可得列联表，再计算得后与比较大小即可得出结论；
（2）由题意可知可以取0，1，2，3，4，且，由此可求出分布列及数学期望．
【详解】
解：（1）200人中拥有驾驶证的占，有80人，没有驾驶证的有120人，
具有很强安全意识的占，有40人，不具有很强安全意识的有160人，
补全的列联表如表所示：

拥有驾驶证
没有驾驶证
总计
具有很强安全意识
22
18
40
不具有很强安全意识
58
102
160
总计
80
120
200
计算得，
∴有超过的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关；
（2）由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为，
∴可能取0，1，2，3，4，且，
于是（，1，2，3，4），X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





∴．
【点睛】
本题主要考查独立性检验与二项分布的应用，属于基础题．
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，点满足以为直径的圆过椭圆的上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线过右焦点与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得为定值？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）由点在椭圆上代入可得，的关系，再由点满足以为直径的圆过椭圆的上顶点．可得可得，的关系，再由，，的关系求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得右焦点的坐标，分坐标的斜率为0和不为0两种情况讨论，假设存在满足条件，设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的表达式，要使数量积为定值，则分子分母对应项的系数成比例，可得的值，且可求出定值．
【详解】
解：（1）由题意可得上顶点，，所以：，，即，，即，，
解得：，，
所以椭圆的方程为：；
（2）由（1）可得右焦点的坐标，假设存在
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，设，，，，
联立直线与椭圆的方程，整理可得：，，，
，，
因为
，
要使为定值，则，解得：，这时为定值，
当直线的斜率为0时，则，，为，，则，，，
综上所述：所以存在，，使为定值．
【点睛】
考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．
22．已知（），定义
（1）求函数的极小值；
（2）若，且存在使，求实数a的取值范围；
（3）若，试讨论函数（）的零点个数.
【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.
【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为不等式在x∈[1，2]上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）通过讨论a的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．
【详解】
（1）求导得，令，得或.
因为，所以，列表如下：
x

0





0

0


单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的极小值为.
（2）.
因为存在使，所以在上有解，即在上有解，即不等式在上有解
设，.
因为对恒成立，所以在上递减，故当时，.
所以，即，故a的取值范围为.
（3）由（1）知，在上的最小值为.
①当，即时，在上恒成立，所以，因此在上无零点.
②当，即时，，又，所以在上有且仅有一个零点.
③当，即时，设，.
因为，所以在上单调递减.
又，，所以存在唯一的，使得.
（i）当时，因为，所以且为减函数.
又，，所以在上有一个零点.
（ii）当时，因为，所以且为增函数.
因为，又在上恒成立，所以在上有且仅有一个零点.
从而在上有两个零点.
综上，当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，无零点.
【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．