2021届江苏省南通市四校（四星级学校）高三上学期第一次联考数学试题（解析版）

这是一份2021届江苏省南通市四校（四星级学校）高三上学期第一次联考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届江苏省南通市四校（四星级学校）高三上学期第一次联考数学试题


一、单选题
1．集合，，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，，
根据集合交集的概念及运算，可得.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的 ( )
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【解析】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.
3．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】
由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
【点睛】
本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
4．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可.
【详解】
因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题.
5．平面向量，，，则向量、夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求得的值，利用平面向量数量积的定义可求得向量、夹角的余弦值.
【详解】
设平面向量、的夹角为，，则，
由平面向量数量的定义可得.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用平面向量的定义求解向量夹角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.
6．为定义在上周期为2的奇函数，则函数在上零点的个数为（ ）
A．5 B．6 C．11 D．12
【答案】C
【解析】由奇函数的性质及函数的周期性即可得方程的解，即可得解.
【详解】
因为为定义在上周期为2的奇函数，
所以，，
所以，，，，
所以，
所以，即，
所以，，，，.
所以函数在上零点的个数为11.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性与周期性的应用，考查了函数零点的概念，属于基础题.
7．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
8．函数的图像为M，直线，分别与M相交于（从左到右），曲线段在x轴上投影的长度为a，b，当m变化时的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由，的图象，分析知，，可得，应用基本不等式求最小值即可.
【详解】
由题意，可得如下示意图：

即在且的分支上，令，；
在且的分支上，令，；
∴，，，
即当且仅当时等号成立.
故选：A
【点睛】
本题考查了对数函数，应用数形结合、基本不等式求目标式的最值，并考察了指对数的运算，属于中档题.

二、多选题
9．由选项（ ）可以得到
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】应用交小并大原则，及Venn图即可知的等价形式.
【详解】
由集合关系中“交小并大”原则知：，，故A是，而C不是；
，如图示：

即；
，如图示：

即；
故选：AB
【点睛】
本题考查了集合的包含关系，根据集合交并补的结果判断集合间的关系，属于基础题.
10．，则下列a，b的关系中，不可能成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】令结合对数函数图象，分类讨论，，时a，b的关系即可知不成立的选项.
【详解】
令，有，
而函数图象如下：

当时，有，有，有，
故选：CD
【点睛】
本题考查了对数函数，利用对数函数的性质，结合函数图象判断参数的大小关系，属于基础题.
11．已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．当时，
【答案】AD
【解析】设，函数单调递增，可判断A；设，则不是恒大于零，可判断B；，不是恒小于零，可判断C；当时，，故，函数单调递增，故，
即，由此可判断D.得选项.
【详解】
设，函数单调递增，所以，所以，即有，故A正确；
设，则不是恒大于零，所以不恒成立，故 B错误；
，不是恒小于零，所以不恒成立，故C错误；
当时，，故，函数单调递增，
故，
即，又，所以，
所以，所以有，故 D正确.
故选：AD.
【点睛】
本题考查利用导函数研究函数的单调性，判断不等式是否成立，属于较难题.
12．若函数满足：，则可能是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】ABCD
【解析】由函数奇偶性的概念逐项判断即可得解.
【详解】
对于A，若是奇函数，则，所以，
故A正确；
对于B，若是偶函数，则，所以，故B正确；
对于C，若既是奇函数又是偶函数，则，故C正确；
对于D，若，则既不是奇函数也不是偶函数，
且，所以D正确.
故选：ABCD.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.


三、填空题
13．已知命题“”的否定是假命题，则实数a的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】根据命题的否定是假命题，则原命题为真命题，然后利用二次函数的性质即可求a的取值范围．
【详解】
由“”的否定为假命题，
可知原命题必为真命题，
即不等式对任意实数x恒成立．
设，则其图像恒在x轴的上方，
所以，
解得，
即实数a的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查命题真假之间的关系以及全称命题真假的应用，利用二次函数的性质是解决本题的关键．属于较易题.
14．已知，则的解析式为___________.
【答案】
【解析】令，则，代入函数得，即求出函数解析式.
【详解】
，可知，
令，，则，
，，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查换元法求函数解析式，属于基础题.
15．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_________________.
【答案】
【解析】根据解析式有单调递增，则由题意有即可得a的取值范围.
【详解】
由分段函数解析式知：在和上单调递减，单调递增，
∴在上单调递增，有，即，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了根据分段函数的解析式判断单调性，由区间单调求参数范围，属于简单题.
16．已知函数 .若函数有个零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】设，令方程一定有一根，，（1）若，即时，有两根，有两根，（舍去），，有两根，函数有个零点，合题意，可验证，方程有个根，不合题意；当，即时，无解，只需有两个大于的正根即可，只需，解得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、复合函数的性质、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.

四、解答题
17．在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知函数满足______.
（1）求的值；
（2）若函数，证明：.
【答案】（1）1，（2）证明见解析.
【解析】若选择①，（1）根据，求出；
（2）化简，求出的最大值可证不等式；
若选择②，求不出的具体值，故不能选②；
若选择③，（1）根据，求出；
（2）化简，求出的最大值可证不等式；
【详解】
若选择①，
（1）因为，所以，
所以，
所以，解得.
（2）由（1）知，，，
所以，
所以.
若选择②，
因为，所以，
所以，所以，，此时求不出的具体值，所以不能选②；
若选择③，
（1）因为,所以，所以，
所以，所以.
（2）由（1）知，，，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查了对数的运算，考查了不等式的证明，属于基础题
18．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）
【解析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）
对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．
【详解】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）
又
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）
所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数
（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意
当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，
所以：
令（a＞0）
所以：
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0
所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
故：a的取值范围为[1，+∞）
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
19．已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式，；
（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【解析】（1）由题得的根为，2，即得函数的解析式；
（2）整理得，再对分类讨论解不等式，即得解；
（3）求出，转化为，求出，，即得解.
【详解】
（1）因为的解集为，所以的根为，2，
所以，，即，；所以；
（2），化简有，
整理得，
所以当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
（3）因为时，
根据二次函数的图像性质，有，
则有，所以，，
因为对于任意的都有，
即求，转化为，
而，，
所以，此时可得，
所以M的最小值为.
【点睛】
本题主要考查二次不等式与二次函数的关系，考查二次函数的解析式的求法，考查一元二次不等式的解法，考查指数型复合函数的最值的计算，考查不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.
再由，得，因此.
而建造费用为
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ），令，即.
解得，（舍去）.
当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
21．已知函数（，且），且.
（1）求的值，并写出函数的定义域；
（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；；（2）奇函数；答案见解析；（3）.
【解析】（1）解方程即得函数的解析式和定义域；
（2）先求出函数的定义域，再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性；
（3）等价于，令，利用函数的单调性求函数的最小值即得解.
【详解】
（1），；
（2）∴∴
∴为奇函数；
（3）∴是单调递增函数
∴∴∴
令，时该函数为增函数，
∴∴
又∵∴.
综上.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22．设.
（1）讨论在上的单调性；
（2）令，试证明在上有且仅有三个零点.
【答案】（1）的单调递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.
【解析】（1）首先求导得到，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间.
（2）首先根据，得到是的一个零点，再根据是偶函数得到在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，再求出在时的单调性和最值，确定其零点个数即可.
【详解】
，
令，则或.
时，，单调递增，
时，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减.
的单调递增区间是，
递减区间是.
（2），
因为，所以是的一个零点.

所以是偶函数，
即要确定在上的零点个数，需确定时，的零点个数即可.
①当时，
令，即或.
时，单调递减，
且，
时，，单调递增，
且
在有唯一零点
②当时，由于，.


而在单调递增，
所以恒成立，故在无零点，
所以在有一个零点，
由于是偶函数，所以在有一个零点，而，
综上在有且仅有三个零点.
【点睛】
本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数求函数的零点，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.