辽宁省六校协作体2022-2023学年高二下学期6月联合考试数学试题（解析版）

这是一份辽宁省六校协作体2022-2023学年高二下学期6月联合考试数学试题（解析版），共22页。

2022-2023（下）六校协作体高二6月联合考试
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第一命题校：葫芦岛市一高中 第二命题校：北镇高中
一、单项选择通：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出集合A、B，即可求出结果.
【详解】因为，
，
所以.
故选：D.
2. 下列各命题的否定为真命题的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题与特称命题的否定，结合二次不等式以及举反例的方法，可得答案.
【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，
由恒成立，则命题“，”是假命题，故A错误；
对于B，命题“，”的否定为“，”，
当时，，则命题“，”是假命题，故B错误；
对于C，命题“，”的否定为“，”，
当时，，则命题“，”为假命题，故C错误；
对于D，命题“，”的否定为“，”，
当时，，则命题“，”是真命题，故D正确.
故选：D.
3. “”是”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要分件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解决，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得或，
因为“”是“或”充分不必要条件，
所以“”是“”充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知函数（且），若，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件判断函数为偶函数，同时，再利用单调性即可求出结果.
【详解】因为函数定义域为，且，
所以函数为偶函数，
则，
因为，则，即，
所以，
所以可以转化为，
则，
所以，
故选：B
5. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论．
【详解】设，可得圆的半径为，
又由，
在中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
6. 设，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：


,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
7. 已知定义在上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为6 B. 在区间上单调递增
C. 的图像关于直线对称 D. 在区间上共有100个零点
【答案】C
【解析】
【分析】由条件结合周期函数定义可证明为周期函数，可判断A；再根据奇偶性、周期性、单调性判断BC；再结合函数零点的定义判断D.
【详解】因为，所以令，得，故，
又为偶函数，所以，所以，即，
故，所以的一个周期为12，故A错误；
又在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，
由周期性可知在区间上单调递减，故B错误；
因为为偶函数，所以图像关于y轴对称，
由周期性可知图像关于直线对称，故C正确；
因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，
又，所以由周期性可知，在区间上，，
而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，
又，所以在区间上有337个零点，
由于为偶函数，所以在区间上有674个零点，故D错误；
故选：C.
8. 已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据求出，判断是等差数列，求出的通项公式，再求出，逐个判断即可.
【详解】当时，，解得；
当时，因为，代入得：
，化简得：，
所以是首项为，公差为的等差数列.
所以，因为，所以
所以，，
，经检验也成立，
所以，
对于B：，
所以B正确.
对于D：
，
所以D错误.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为 B. 的图像关于对称
C. D. 的值域是
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据函数解析式，建立不等式，求得定义域，可得答案；
对于B，取关于直线对称的点，求函数值，可得答案；
对于C，根据函数解析式，代入值，可得答案；
对于D，利用不等式性质，可得答案.
【详解】对于A，由，则，解得，其定义域为，故A正确；
对于A，因为函数在无定义，，由，
所以的图象不关于对称，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，由，，或，
解得或，函数的值域为，故D错误.
故选：AC.
10. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
所以，，
所以，，，
所以BD正确，C错误；
若，则，A错误.
故选：BD
11. 已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若，，则是等比数列
C. 若是等差数列，则，，成等差数列
D. 若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
12. 下列不等关系中成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，先分析当和2时，不等式显然成立，然后结合当时，得当时，，从而判断A选项．对于B，利用对数的运算及基本不等式证明当且时，，得到，从而判断B选项．对于C，根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的单调性即可判断C选项．对于D，根据常见不等式，并结合放缩法即可判断D选项．
【详解】对于A：当和2时，显然成立；因为当时，
，
所以函数此时是减函数，故当时，有
所以当时，，，即．综上，，所以A正确．
对于B：当且时，，所以，
所以当且时，，所以
，所以，所以B正确．
对于C：令，
则，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则，所以，故C不正确．
对于D：易知，设，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时函数有最小值，即有，
所以，即．因为，所以，
所以，所以，所以D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点睛：根据不等式的形式构造合适的函数，利用导数的性质是解题的关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分．
13. 已知函数，则曲线所有的切线中斜率最小的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】由函数解析式求其导函数，利用基本不等式求得斜率最小值以及切点，结合点斜式方程，可得答案.
【详解】由，，由，当且仅当时，等号成立，
曲线所有的切线中斜率最小的切线的斜率，切点为，
所以切线方程为，整理可得.
故答案为：.
14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则______．
【答案】
【解析】
【分析】计算出，，倒序相加得到答案.
【详解】

，，
因为①，
所以②，
两式相加得

，
所以.
故答案为：
15. 已知，，则的最小值为__________．
【答案】3
【解析】
【详解】分析：先讨论的符号，再利用基本不等式进行求解．
详解：显然，当时，


（当且仅当，即时取等号）；
当时，

（当且仅当，即时取等号）；
综上所述，的最小值为3．
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号成立的条件）的条件，否则会出现错误．
16. 若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】先考虑恒成立，得到.再考虑恒成立，得到，再解不等式即得解.
【详解】当，且时，由，得.
设，则.
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
所以，得，
等价于，而，
当且仅当时等号成立.
所以，则，
所以，
解得，所以b的最大值是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解不等式的恒成立问题，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接求函数的最值；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
四、解答题：本題共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的两条公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米．若要求观景台与两接送点所成角与互补，且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路和，求观光线路之和最长是多少千米，此时为多少千米？

【答案】观光线路之和最长是4千米，此时为4千米
【解析】
【分析】由余弦定理结合基本不等式可求得，取等号时，是直角三角形，从而求出的长.
【详解】在中，因为，，所以，
又与互补，所以，
在中，由余弦定理得，
即，即，
又因为，所以，
当且仅当时取等号，

此时由于，，，所以≌，
又与互补，所以，所以.
所以观光线路之和最长是4千米，此时为4千米.
18. 已知函数为偶函数，为奇函数，且.
（1）求函数和的解析式；
（2）若在恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性，为题干条件可以新加入一个方程，联立解出和；
（2）利用指数函数的性质，换元后，参变分离来解决.
【小问1详解】
为偶函数，为奇函数，，
由得：，.
【小问2详解】
由（1）得：，由得：，根据指数函数性质，，在上单调递增，故在上单调递增，故，令，则，
，即对恒成立，即上恒成立，根据对勾函数性质，在时单调递增，所以，于是，即实数的取值范围为.
19. 记数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设m为整数，且对任意，，求m的最小值．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）由数列与的关系可得，再结合等比数列的通项可得解；
（2）利用错位相减法求出，结合范围即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
当时，，故，
且不满足上式，
故数列的通项公式为
【小问2详解】
设，则，
当时，，
故，
于是．
整理可得，所以，
又，所以符合题设条件的m的最小值为7．
20. 已知函数（，）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）当时，的递增区间为；当时，的递增区间为，递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求导可得，再分与两种情况讨论，分析导函数的正负与原函数的单调性即可；
（2）将题意转化为对任意的，，先讨论的情况，当再根据与1的关系，结合函数的单调性与最值求解即可.
【小问1详解】

①当时，恒成立，函数的递增区间为．
②当时，令，解得或．






0


单调递减

单调递增
所以函数的递增区间为，递减区间为．
【小问2详解】
对任意的，使恒成立，只需对任意的，．
①当时，在上是增函数，所以只需，
而，所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需，而，所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，上是增函数，
所以只需即可,而，从而不满足题意；
综上可知，实数的取值范围为．
21. 已知数列的各项均为正数，其前项和满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，得到，整理得到，证明出结论；
（2）先求出，结合第一问可得到等比数列的公比及，进而变形得到，利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
因为，，
所以 ①，
当时， ②，
则①－②得：，
因为，所以
整理得：，即，所以数列是等比数列；
【小问2详解】
中，令得，，
因为，所以，解得，
故等比数列公比，
所以；，
故，
则
22. 已知定义域均为的两个函数，．
（1）若函数，且在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若函数，讨论函数的单调性和极值；
（3）设，是两个不相等的正数，且，证明：．
【答案】（1）；
（2）在(−∞,0),(0,1) 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,的极小值为，无极大值；
（3）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）根据导数与函数单调性的关系，确定单调性进而可得极值；
（3）根据同构和函数的单调性以及二次求导即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
又在处的切线与轴平行，
所以，
所以，
所以，
即，
所以；
【小问2详解】
因为,
所以的定义域为 ,
，令,得,
当 变化时 的关系如下表:


0

1



无意义

0
+


无意义

极小值

所以在(−∞,0),(0,1) 上单调递减; 在 (1,+∞)上单调递增.
所以的极小值为，为极大值；
【小问3详解】
证明：要证,
只需证，根据,
只需证，又，是两个不相等的正数，不妨设 ,
由得,
两边取指数,, 化简得: ，
令，所以
，
根据（2）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示),

由于在上单调递减,在上单调递增,
要使且相等,
则必有 , 即,
由得.
要证, 只需证,
由于在上单调递增, 要证,
只需证,
又, 只需证,
只需证，
只需证，
只需证,
只需证，即证,
令
,
只需证

则
所以在 上单调递减,
所以
所以，所以在上单调递减,
所以，所以,
所以: .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.