高考数学一轮复习课时训练：第7章 不 等 式 34 Word版含解析（含答案）

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【课时训练】第34节　基本不等式及其应用一、选择题1．(2018厦门一中检测)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)A．a<b<<　 B．a<<<bC．a<<b< D．<a<<b【答案】B【解析】因为0<a<b，所以a－＝(－)<0，故a＜；b－＝＞0，故b>；由基本不等式知>.综上所述，a<<<b.故选B.2．(2018兰州模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)A．y＝x＋   B．y＝cos x＋C．y＝   D．y＝ex＋－2【答案】D【解析】当x＜0时，y＝x＋≤－2，故A错误；因为0＜x＜，所以0＜cos x＜1，所以y＝cos x＋＞2，故B错误；因为y＝＝＋≥2，当且仅当x2＋2＝1时取等号，此时x无解，故C错误；因为ex＞0，所以y＝ex＋－2≥2－2＝2，当且仅当ex＝，即ex＝2时等号成立，故选D.3．(2019长春质检)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)A.＋有最大值4  B．有最小值C.＋有最大值  D．a2＋b2有最小值【答案】C【解析】由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴≤，【答案】B错误；∵≤，∴ab≤，∴＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，A错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，D错误；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值.故选C.4．(2018贵阳模拟)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)A．3　　 B．4　　C． D．【答案】B【解析】由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4.故选B.5．(2018重庆巴蜀中学模拟)若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)A．1　　 B． C．9  D．16【答案】B【解析】＋＝·＝≥(5＋2　)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．故选B.6．(2018四川泸州二模)已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是(　　)A．4　　 B．3　　C．2  D．1【答案】D【解析】＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.∴＋≥＝1.7．(2018河北唐山一模)设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为(　　)A．2　　  B．3　　C．4  D．log23【答案】B【解析】由ax＝by＝2得x＝loga2，y＝logb2，∴＋＝＋＝log2a＋log2b＝log2(ab)．又a>1，b>1，∴8＝2a＋b≥2，即ab≤8，当且仅当2a＝b，即a＝2，b＝4时取等号，所以＋＝log2(ab)≤log28＝3.故max＝3.8．(2018北京东城区联考)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为(　　)A．4　　 B．4　 C．9  D．16【答案】D【解析】由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.9．(2018东莞模拟)已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为(　　)A．4　　 B．16　　 C．9  D．3【答案】B【解析】因为a>0，b＞0，所以－－≤0恒成立等价于m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.故选B.10．(2018咸宁模拟)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式＋的最小值为(　　)A．24　　  B．25　　 C．26  D．27【答案】B【解析】因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25.故选B.11．(2018河南五校联考)设a＞0，b＞1，若a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)A．3＋2　　 B．6　　 C．4　  D．2　【答案】A【解析】∵a＋b＝2，∴a＋b－1＝1，∴＋＝(a＋b－1)＝2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，即a＝2－，b＝时取等号．12．(2018南昌调研)不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)A．(－2,0)　　  B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2)　　 D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)【答案】C【解析】不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＜min，由于＋≥2＝8(当且仅当a＝4b时等号成立)，∴x2＋2x＜8，解得－4＜x＜2.故选C.二、填空题13．(2018青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．【答案】1【解析】因为log2x＋log2y＝log2xy＝log2＝log2(2xy)－log22＝log2(2xy)－1≤log22－1＝2－1＝1，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.14．(2018河北唐山一模)设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．【答案】 9 【解析】＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时等号成立．所以·的最小值为9.三、解答题15．(2018安徽黄山一模)已知函数f(x)＝k－|x－4|，x∈R，且f(x＋4)≥0的解集为[－1,1]．(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋b＋c≥1.(1)【解】因为f(x)＝k－|x－4|，所以f(x＋4)≥0等价于|x|≤k.由|x|≤k有解得k≥0，且其解集为{x|－k≤x≤k}．又f(x＋4)≥0的解集为[－1,1]，故k＝1.(2)【证明】由(1)知＋＋＝1，又a，b，c是正实数，由均值不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝2b＝3c时取等号，所以a＋b＋c≥1.