高考数学一轮复习课时训练：第6章 数 列 29 Word版含解析（含答案）

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【课时训练】第29节　等比数列及其前n项和一、选择题1．(2018贵州遵义四中段测)设数列{an}满足2an＝an＋1(n∈N*)，且前n项和为Sn，则的值为(　　)A. B．C．4  D．2【答案】A【解析】由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故＝＝.故选A.2．(2018河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为(　　)A.　　　 B．　　C．2  D．3【答案】D【解析】由a9＝a2a3a4得a1q8＝aq6，所以q2＝a.因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.3．(2018辽宁沈阳二中质检)在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝(　　)A．3　　  B．－C．3或  D．－3或－【答案】C【解析】根据等比数列的性质得化简得3q20－10q10＋3＝0，解得q10＝3或，所以＝＝q10＝3或.4．(2018江苏泰州模拟)已知各项均是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)A.　　　 B．C．－ D．或【答案】B【解析】设{an}的公比为q(q＞0)．由a3＝a2＋a1，得q2－q－1＝0，解得q＝.从而＝q＝.5．(2018广东珠海综合测试)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件C．充分必要条件　　　　 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.6．(2019辽宁盘锦高中月考)已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn.若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝(　　)A．512　　 B．256　　C．81  D．16【答案】A【解析】由题意知，a3a4a7q＝a3a7a4q＝a3a7a5＝a＝8，Ⅱ9＝a1a2a3…a9＝(a1a9)(a2a8)·(a3a7)(a4a6)a5＝a，所以Ⅱ9＝83＝512.7．(2018湖南浏阳一中月考)已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为(　　)A．126　　 B．130C．132  D．134【答案】C【解析】设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.又b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.∵{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且公差d＝－2，b1＝22，故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴数列{bn}的前n项和Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又n∈N*，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.二、填空题8．(2018河南洛阳统考)已知{an}为等比数列，且a3＋a6＝36，a4＋a7＝18.若an＝，则n＝________.【答案】 9【解析】设{an}的公比为q，由a3＋a6＝36，a4＋a7＝(a3＋a6)q＝18，解得q＝，由a1(q2＋q5)＝36得a1＝128，进而an＝128·n－1＝n－8.由an＝，解得n＝9.9．(2018天津六校联考)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.【答案】15 【解析】由题意得an＝(－2)n－1，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|－2|＋(－2)2＋|(－2)3|＝15.10．(2018福建上杭一中月考)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.对任意的m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，则数列{bm}的前m项和Sm＝________.【答案】【解析】设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn.由T5＝105，a10＝2a5，得解得a1＝7，d＝7，因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．对任意的m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.因此bm＝72m－1，所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm＝＝＝.三、解答题11．(2018湖北鄂东南联盟期中联考)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝10an＋1.(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn＝lg，Tn为数列的前n项和，求证：Tn＜.(1)【解】由an＋1＝10an＋1，得an＋1＋＝10an＋＝10，所以＝10，所以数列是等比数列，首项为a1＋＝100，公比为10.所以an＋＝100×10n－1＝10n＋1，所以an＝10n＋1－.(2)【证明】由(1)可得bn＝lg＝lg 10n＋1＝n＋1，所以＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝－＜，所以Tn＜.12．(2018长沙模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列．(1) 【解】当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5＝8＋1，解得a4＝.(2)【证明】由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)．∴＝＝＝＝.∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．