2020届福建省漳州市高三高中毕业班第二次教学质量检测数学（文）试题（解析版）

这是一份2020届福建省漳州市高三高中毕业班第二次教学质量检测数学（文）试题（解析版），共19页。
2020届福建省漳州市高三高中毕业班第二次教学质量检测数学（文）试题


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别解得集合，，利用并集运算得解.
【详解】
因为，，所以，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了求对数型函数的值域及并集的运算，属于基础题.
2．若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】整理可得：，问题得解
【详解】
因为，所以，所以，
所以，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算及复数相等知识，属于基础题.
3．若，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先计算，再根据，计算夹角.
【详解】
，，
，，
解得：，，
.
故选：C
【点睛】
本题考查向量数量积，模，重点考查计算能力，属于基础题型.
4．已知等比数列的前n项和为，若，，则的公比为（ ）
A．或 B．或
C．-3或2 D．3或-2
【答案】A
【解析】将已知条件转化为的形式，由此求得的值.
【详解】
依题意，
两式相除得，即，即，
解得或.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.
5．已知点在圆上，角的始边为轴的非负半轴，终边为射线，则当取最小值时，点位于（ ）
A．轴上方 B．轴下方 C．轴左侧 D．轴右侧
【答案】B
【解析】直接利用二次函数的性质即可得到：当时，取最小值，结合三角函数值的正负与角的终边的关系得解.
【详解】
因为，
所以当时，取最小值，
此时点位于轴下方，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质及三角函数值的正负与角的终边的关系，属于基础题.
6．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）

A．1 B．5 C．14 D．30
【答案】C
【解析】按流程图逐一执行即可得解
【详解】
执行程序框图，可得，
满足，执行循环体，；
满足，执行循环体，；
满足，执行循环体，；
不满足，退出循环体，输出的值为14，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了流程图知识，考查读图能力及计算能力，属于基础题.
7．在中，角的对边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对利用正弦定理可得：，整理可得：，问题得解.
【详解】
因为在中，角的对边分别为，，
所以由正弦定理得：，
所以，
因为，所以，又，所以，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了两角和的正弦公式，属于中档题.
8．若函数是偶函数，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】由已知及是奇函数可得：是奇函数，利用奇函数定义列方程可得：，整理得解.
【详解】
因为是偶函数，是奇函数，
所以是奇函数，所以，
所以，所以，
所以，所以，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了奇函数定义及分析能力，还考查了计算能力，属于中档题.
9．由共青团中央宣传部、中共山东省委宣传部、共青团山东省委、山东广播电视台联合出品的《国学小名士》第三季于2019年11月24日晚在山东卫视首播.本期最精彩的节目是的飞花令：出题者依次给出所含数字3.141592653……答题者则需要说出含有此数字的诗句.雷海为、杨强、马博文、张益铭与飞花令少女贺莉然同场，赛况激烈让人屏住呼吸，最终的飞花令突破204位.某校某班级开元旦联欢会，同学们也举行了一场的飞花令，为了增加趣味性，他们的规则如下：答题者先掷两个骰子，得到的点数分别记为，再取出的小数点后第位和第位的数字，然后说出含有这两个数字的一个诗句，若能说出则可获得奖品.按照这个规则，取出的两个数字相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】列出所有的基本事件，再利用古典概型概率计算公式得解.
【详解】
取出的小数点后第位和第位的数字，基本事件共有36个：

1
4
1
5
9
2
1
（1，1）
（1，4）
（1，1）
（1，5）
（1，9）
（1，2）
4
（4，1）
（4，4）
（4，1）
（4，5）
（4，9）
（4，2）
1
（1,1）
（1，4）
（1，1）
（1，5）
（1，9）
（1，2）
5
（5，1）
（5，4）
（5，1）
（5，5）
（5，9）
（5，2）
9
（9，1）
（9，4）
（9，1）
（9，5）
（9，9）
（9，2）
2
（2，1）
（2，4）
（2，1）
（2，5）
（2，9）
（2，2）
取出的两个数字相同的基本事件共有8个：，
其中括号内的第一个数表示第位的取值，第二个数表示第位的取值，
所以取出的两个数字相同的概率为，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了古典概型概率计算公式，属于基础题.
10．已知，则（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】A
【解析】首先利用两角和差公式，展开化简求得，再用表示.
【详解】
，
，
即，所以，
.
故选：A
【点睛】
本题考查三角恒等变形，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型.
11．已知圆的圆心为双曲线虚轴的一个端点，半径为，若圆截直线所得的弦长的最小值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由弦的长最小可得：，，即可求得：，结合可得：，问题得解
【详解】
由条件知当轴时，

圆截直线所得的弦的长最小，此时，，
，
又圆的半径，所以，即，
所以，所以的离心率，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的离心率知识，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题.
12．已知是定义在上的函数的导函数，且，当时，恒成立，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】构造函数，由，可得的图象关于直线对称，
利用导数研究函数的单调性，根据单调性即可比较大小.
【详解】
构造函数，因为，所以，
则，所以的图象关于直线对称，
因为当时，，所以，
所以在上单调递增，
所以有，
即，
即，，
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数，属于中档题.


二、填空题
13．若是等差数列的前项和，且，则__________.
【答案】2
【解析】由等差数列前项和公式整理可得：，问题得解.
【详解】
因为，
所以，解得.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等差数列前项和公式及等差数列的下标和性质，属于基础题.
14．若函数，则________.
【答案】3
【解析】由及可得：，即可求得：，问题得解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了分段函数函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.
15．已知，是椭圆的左、右焦点，点在上，线段与轴交于点，为坐标原点，若为的中位线，且，则________.
【答案】6
【解析】利用为的中位线可得：，即可求得，结合椭圆定义列方程得解.
【详解】
如图所示，因为为的中位线，
且，所以，
由椭圆定义可得：.

故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆定义的应用及转化能力，属于基础题.
16．四面体中，和都是边长为的正三角形，二面角大小为120°，则四面体外接球的体积为____________.
【答案】
【解析】过球心分别作平面、平面的垂线，垂足分别为，利用已知可证得：为二面角的平面角，解三角形即可求得外接球半径，问题得解.
【详解】
如图，过球心分别作平面、平面的垂线，垂足分别为，

则分别为和的外心，
取为中点，连结、，
因为和都是边长为的正三角形，
所以，，
所以为二面角的平面角，即，
在中，，，
所以，
在中，，
所求的外接球半径，
所以四面体外接球的体积.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了几何体外接球半径计算，还考查了二面角的平面角推理论证及计算能力、空间思维能力，属于中档题

三、解答题
17．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）将函数的所有正的零点按从小到大依次排成一列，得到数列，令，为数列的前项和，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）由二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式整理可得：，问题得解.
（2）计算函数的所有正的零点为：，即可求得：，即可求得：，再利用裂项相消法求和可得：，问题得证.
【详解】
（1）因为

所以的最小正周期.
（2）由得，
解得，即，
所以，
所以，
所以
.
【点睛】
本题主要考查了三角函数式的化简、三角函数周期公式及裂项相消法求数列的前项和知识，考查转化能力及计算能力，属于中档题.
18．如图，四棱锥中，平面，，，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）由已知可得：，即可证得：平面，再证明四边形为平行四边形即可证得，即可证得：平面，命题得证.
（2）利用等体积法得：，整理计算得解.
【详解】
（1）证明：因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以
因为平面，平面，所以平面
因为，，平面，所以平面平面
（2）解：因为，，为中点，
所以，
因为平面，所以，
因为，
所以，
设点到平面的距离为，因为，
所以，所以到平面的距离.
【点睛】
本题主要考查了面面平行的判定定理及转化能力，还考查了利用等体积法求点面距离，考查了空间思维能力及计算能力，属于中档题.
19．某工厂加工产品的工人的年龄构成和相应的平均正品率如下表：
年龄（单位：岁）




人数比例
0.3
0.4
0.2
0.1
平均正品率
85%
95%
80%
70%


（1）画出该工厂加工产品的工人的年龄频率分布直方图；
（2）估计该工厂工人加工产品的平均正品率；
（3）该工厂想确定一个转岗年龄岁，到达这个年龄的工人不再加工产品，转到其他岗位，为了使剩余工人加工产品的平均正品率不低于90%，若年龄在同一区间内的工人加工产品的正品率都取相应区间的平均正品率，则估计最高可定为多少岁？
【答案】（1）年龄频率分布直方图见解析；（2）；（3）最高可定为42.5岁
【解析】（1）利用已知数据绘图即可.
（2）直接利用均值公式计算得解.
（3）利用已知及均值公式列方程可得：，解方程即可.
【详解】
（1）该工厂加工产品的工人的年龄频率分布直方图如下

（2）估计该工厂工人加工产品的平均正品率为


（3）因为，，
由，
得，
所以为了使剩余工人加工产品的平均正品率不低于90%，估计最高可定为42.5岁.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的绘制，还考查了均值计算公式，考查作图能力及计算能力，属于中档题.
20．已知，点在第一象限，以为直径的圆与轴相切，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若曲线在点处的切线的斜率为，直线的斜率为，求满足的点的个数.
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）设，利用以为直径的圆与轴相切列方程可得：，整理可得：，问题得解.
（2）设，利用导数求得：，结合及可得：，构造函数：并利用导数知识可判断在内有且只有两个零点，问题得解.
【详解】
（1）设，
又，则中点坐标为，
因为以为直径的圆与轴相切，
所以，即，
整理，得的方程为.
（2）由，得，，
设，
则，
由，即，得（），
令，
由，得，或，
因为当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
又的图象连续不断
所以在内有且只有两个零点，
所以方程（）有且只有两个不同的正根，
所以满足的点的个数为2.
【点睛】
本题主要考查了求曲线方程的方法及利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数零点的个数，考查了转化能力及计算能力，属于难题.
21．已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）已知有两个极值点，且，求证：.
【答案】（1）在，上是增函数；（2）证明见解析.
【解析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，确定函数的单调区间；（2）根据条件转化为的两个根，，即，代入，得到，构造函数，利用导数证明不等式.
【详解】
（1）的定义域为，
因为当时，，
所以在，上是增函数.
（2）因为有两个极值点，，
所以，是，即的两个根，，
所以，是的两个零点，
由（1）可知在和内分别至多有一个零点，
又，所以，且，即，
所以
，
令，则，
所以在上为减函数，
因为，即，即，
所以，
所以，即，所以.
【点睛】
本题考查导数研究函数性质，函数不方程，不等式，重点考查转化与变形，逻辑推理能力，属于难题.
22．已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点且倾斜角为.
（1）求曲线的普通方程和直线的参数方程；
（2）设与的两个交点为，求.
【答案】（1），（为参数）；（2）
【解析】（1）整理得及，结合可得曲线的普通方程为：，再直接利用直线的参数方程形式求得直线的参数方程.
（2）联立曲线的普通方程与直线的参数方程整理可得：，结合直线参数方程的参数的几何意义可得：，问题得解.
【详解】
（1）由得：，由得：
所以，
代入整理可得：
所以曲线的普通方程为…①
直线的参数方程为（为参数）…②
（2）②代入①，得，
所以，
设对应的参数分别为，则
所以.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义的应用及计算能力，属于中档题.
23．已知函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）已知正实数满足.是否存在，使得.
【答案】（1）；（2）不存在
【解析】（1）将转化成分段函数，利用函数的单调性即可得解.
（2）利用已知及基本不等式可得：，再对利用基本不等式证得：，问题得解.
【详解】
（1）因为
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值为3，即.
（2）由已知有，
因为，所以，所以，
所以，
所以不存在实数，使得.
解法二：（1）因为
，且，
所以的最大值为3，即.
（2）由已知有，
因为，所以，所以，①
假设存在实数，使得，
则，即，②
因为①与②矛盾，所以假设不成立，故不存在实数，使得.
【点睛】
本题主要考查了求含两个绝对值的函数最值及分类思想，还考查了利用基本不等式推理论证及分析能力，属于中档题.