高考数学一轮复习检测：第5章第3节 等比数列及其前n项和 含解析

这是一份高考数学一轮复习检测：第5章第3节 等比数列及其前n项和 含解析，共8页。
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．(2018·四川绵阳诊断性考试)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)A.　　　　　　　　　　 B．C.  D．解析：选B.设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.2．(2018·浙江丽水模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)A．－  B．C．－  D．解析：选A.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.3．(2018·东北六校联考)已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为(　　)A.  B．C.  D．解析：选C.因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×9＝9，因为b＝b2＞0，所以b2＝3，所以＝.4．(2018·河北三市第二次联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　)A．7  B．8C．9  D．10解析：选B.设该女子第一天织布x尺，则＝5，得x＝，∴前n天所织布的尺数为(2n－1)．由(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8.5．(2018·福州模拟)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)A．－5  B．－C．5  D．解析：选A.因为log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an.所以数列{an}是公比q＝3的等比数列，所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9.所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝9×33＝35.所以log35＝－log335＝－5.6．(2018·河南四校联考)在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)A．2  B．4C．8  D．16解析：选A.由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋…＋.因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2.7．(2018·青岛二模)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是(　　)A．[12,16]  B．C.  D．解析：选C.因为{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，所以q3＝＝，q＝，a1＝4，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－q2n)∈，故选C.8．(2018·兰州、张掖联考)已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________.解析：∵b1＝＝a2，b2＝，∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1 024.答案：1 0249．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为________．解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.故a1a2·…·an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n·＝23n－＋＝2－＋n.记t＝－＋＝－(n2－7n)＝－2＋，结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.又y＝2t为增函数，从而a1a2·…·an的最大值为26＝64.答案：6410．(2018·广东中山调研)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.解：(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.当n＝1时a1＝1，不适合上式．∴an＝(2)∵a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.B级　能力提升练11．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的(　　)A．充要条件　　　　　　 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件  D．既不充分也不必要条件解析：选C.若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0，则a1＋a2＜0，又a1＞0，所以a2＜0，所以q＝＜0.若q＜0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0.所以“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要而不充分条件，故选C.12．(2018·济南模拟)设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝(　　)A．15  B．60C．63  D．72解析：选B.由数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，得数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)1＝n＋2.由数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，得数列{bn}的通项公式为bn＝b1qn－1＝2n－1，所以ban＝2n＋1，所以ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝22＋23＋24＋25＝＝60.13．(2018·湖北黄石检测)已知等差数列{an}的公差d＞0，且a2，a5－1，a10成等比数列，若a1＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为________．解析：由于a2，a5－1，a10成等比数列，所以(a5－1)2＝a2·a10，(a1＋4d－1)2＝(a1＋d)·(a1＋9d)，又a1＝5，所以d＝3，所以an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，Sn＝na1＋d＝5n＋n(n－1)，所以＝＝[3(n＋1)＋＋2]≥，当且仅当3(n＋1)＝，即n＝2时等号成立．答案：14．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.(2)由(1)得Sn＝1－n.由S5＝得1－5＝，即5＝.解得λ＝－1.15．(2018·河北省“五个一名校联盟”高三模拟)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.解：(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6，∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1，∵b2＝2，数列{bn}是等比数列，∴bn＝2n－1.∴b3＝4，∵a1b3＝12，∴a1＝3，∵a2＝6，数列{an}是等差数列，∴an＝3n.(2)设Cn＝bncos(anπ)，由(1)得Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，则Cn＋1＝(－1)n＋12n，∴＝－2，又C1＝－1，∴数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列．∴Tn＝＝[(－2)n－1]．C级　素养加强练16．(2018·辽宁鞍山模拟)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得解得或故an＝·3n－1，或an＝－5·(－1)n－1.(2)若an＝·3n－1，则＝·n－1，故是首项为，公比为的等比数列 ，从而＝＝·＜＜1.若an＝(－5)·(－1)n－1，则＝－(－1)n－1，故是首项为－，公比为－1的等比数列，从而＝故＜1.综上，对任意正整数m，总有＜1.故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．