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2023年陕西省商洛市商南县湘河初级中学中考数学模拟试卷（三）（含解析）
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这是一份2023年陕西省商洛市商南县湘河初级中学中考数学模拟试卷（三）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省商洛市商南县湘河初级中学中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算：(−2)+3=( )
A. 1 B. −1 C. 5 D. −5
2. 如图，AB//CD，若∠1=50°，∠2=35°，则∠CAD=( )
A. 85°
B. 90°
C. 95°
D. 105°
3. 计算(−3ab3)2的结果为( )
A. −6a2b6 B. −6ab6 C. 9a2b9 D. 9a2b6
4. 在▱ABCD中，添加下列条件，能判定▱ABCD是菱形的是( )
A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=AC
5. 如图，一次函数y=−2x+b的图象与y轴交于点(0,−4)，当−4
B. −2
A. 13
B. 12
C. 55
D. 33
7. 如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO的延长线交⊙O于点C，若∠B的度数是36°，则∠C的度数是( )
A. 18°
B. 24°
C. 25°
D. 27°
8. 已知点P(2−m,n)，Q(m+2,n)，且m≠0，在抛物线L：y=ax2−(5−a)x+1+a上，则抛物线L与坐标轴的交点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 因式分解2−2x2= ______ ．
10. 从多边形的一个顶点出发，最多可以引出5条对角线，则该多边形的内角和为______ ．
11. 如图，第十四届国际数学教育大会(1CME−14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示1CME−14的举办年份，则八进制数2023换算成十进制数是______ ．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，若△OAB的面积为4，则k的值是______ ．
13. 如图，O为菱形ABCD对角线的交点，点E和点F分别在边AB和边BC上.且满足S四边形OEBF=14S菱形ABCD，连接EF，若菱形ABCD的边长为10,sinA=45，则EF长度的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题5.0分)
计算： 10÷ 5−|3−2 2|+(13)−1．
15. (本小题5.0分)
解不等式组x−3(x−4)>82x−13≤x+12．
16. (本小题5.0分)
解方程2−x3−x=12−1x−3．
17. (本小题5.0分)
如图，在锐角△ABC中，D为边BC上的一点，且满足BD=AB，请用尺规作图法，在边AC上找一点M，使得∠AMB=∠BMD.(保留作图痕迹，不写作法)
18. (本小题5.0分)
如图，在▱ABCD中，AC=BC，E是AB的中点，连接CE，过点A作AF//CE交CD于点F.求证：四边形AECF是矩形．
19. (本小题5.0分)
已知数字A为负数，将其加6得到数字B，若数字A与数字B的积为7，求数字A．
20. (本小题5.0分)
在一个不透明的盒子中放有4张分别写有数字1、2、2、3的卡片，卡片除写有的数字不相同外其他完全相同．
(1)从盒子中随机抽取1张卡片，该卡片写有的数字为2的概率是______ ．
(2)从盒子中随机抽取2张卡片，卡片上呈现的数字中，较大的数作为十位数，较小的数作为个位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于21的概率．
21. (本小题6.0分)
正比例函数y=kx(k≠0)自变量x与因变量y的几组取值情况如下表所示，若表格中x是按照从小到大的方式取值，请回答下列问题：
x
…
−3
0
a
…
y
…
a
0
−27
…
(1)求a的值．
(2)若点P(m−2,1+n)在该正比例函数的图象上，请求出m与n之间的关系式.(用m表示n)
(3)在(2)的条件下，判断当m>0时，n的取值范围是多少？
22. (本小题7.0分)
小刚与小强是无人机爱好者，两人一起在空旷地带操作无人机飞行，他们想测量一下无人机在高空中直上飞行的速度，但前提需要知道在高空中的直上飞行距离，于是按照如下方案进行测量：小强站在地面PQ的点B处，观测目光从点A出发观察无人机所处位置M，并记录此时的仰角为∠1：当无人机直上飞行至点N处时，小刚在地面PQ的点D处，观测目光从点C出发观察无人机所处位置N，并记录此时的仰角为∠2，已知AB⊥PQ，CD⊥PQ，tan∠1=tan∠2=0.8，AB=1.6m，CD=1.75m，DB=15m，图中所有点均在同一平面内，请计算无人机直上飞行的距离MN．
23. (本小题7.0分)
运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能强健体魄，更能塑造人的品格，某学校为了解学生一周在家运动时间t(单位：小时)的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组(A,t<1,B.1≤t<2,C.2≤t<3,D.3≤t<4)，其中每周运动时间不少于3小时为达标，绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题
(1)在这次抽样调查中，共调查了______ 名学生，并补全频数分布直方图．
(2)抽样调查的学生中，每周运动时间的中位数落在______ 组，(填对应的字母)
(3)若该校有学生1600人，试估计该校学生一周在家运动时间达标的人数．
24. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.⊙O分别与边AC，BC相切于点D和点E，连接CO．
(1)求证：CO为∠ACB的平分线．
(2)连接AE与CO交于点F，且满足2AF=3FE，若BE=8，求⊙O的半径．
25. (本小题8.0分)
过原点的抛物线C：y=ax2+2ax(a<0)与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
(1)求点A的坐标．
(2)M(m,0)为x轴正半轴上一点，记抛物线C关于点M中心对称的抛物线C′，设抛物线C′与x轴的交点为E，F，点E在点F的左侧，抛物线C′的顶点为G．
①当m=1时，求点E与点F的坐标
②在①的条件下，当S四边形ADFG=12时，求抛物线C′的表达式．
26. (本小题10.0分)
问题提出
(1)如图1，在半径为3的⊙O中，AB，CD为弦，则AB+CD的最大值为______ ．
问题探究
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，D为BC上任意一点，E为AB上任意一点，连接AD，DE，求AD+DE的最小值．
问题解法
(3)如图3，某同学运用电脑编程设计了一款游戏，在一个“曲边△ABC”中，AB，AC为线段，∠BAC=60°，BC为一段弧线，BC所在的圆与AB相切，D为BC上一点，一只电子蚂蚁从点A出发，其爬行路径为折线AD−DE，其中AD⊥DE，在DE段爬行的过程中，当时，电子蚂蚁停止移动.已知BC所在圆的半径为6，BC的长度为2π.结合题意，问当电子蚂蚁停止爬行时，线段AE是否存在最小距离？若存在，求出AE的最小距离；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−2)+3=+(3−2)=1．
故选：A．
利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．
此题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，∠1=50°，
∴∠1=∠DAB=50°，
∵∠2+∠CAD+∠DAB=180°，∠2=35°，
∴∠CAD=95°，
故选：C．
根据平行线的性质得出∠DAB=50°，根据平角的定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：(−3ab3)2=9a2b6．
故选：D．
直接由积的乘方与幂的乘方的性质求解即可求得答案．
此题考查了积的乘方与幂的乘方．此题比较简单，注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：C．
根据菱形的判定定理，即可求得答案．
此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∴一次函数y=−2x+b的图象与y轴交于点(0,−4)，
∴−2×0+b=−4，
∴b=−4，
∴一次函数解析式为y=−2x−4．
当y=0时，−2x−4=0，
解得：x=−2，
∴一次函数y=−2x+b的图象与x轴交于点(−2,0)，
∴当−4
由一次函数图象与y轴的交点坐标，可求出b值，进而可得出一次函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出当y=0时x的值，再结合一次函数的性质，即可得出当−4
6.【答案】A
【解析】解：如图，取网格点D，连接BD，
由网格图，可得：AD= 32+32=3 2，BD= 12+12= 2，AB= 22+42=2 5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴tanA=BDAD= 23 2=13，
故选：A．
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接OA，
∵AB为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠BAO=90°，
∵∠B=36°，
∴∠AOB=90°−∠B=54°，
∴∠C=12∠AOB=27°．
故选：D．
连接OA，由切线的性质得出∠BAO=90°，求出∠AOB=90°−∠B=54°，由圆周角定理可得出答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵点P(2−m,n)，Q(m+2,n)的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∴点P，Q关于直线x=12[(m+2−(2−m)]=2对称，
又∵点P，Q在抛物线L上，
∴抛物线L关于直线x=2对称，即抛物线L的对称轴为x=2，
∴−−(5−a)2a=2，
解得：a=1，
此时抛物线的解析式为：y=x2−4x+2，
∵判别式Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×2=8>0，
∴抛物线L与x轴有两个不同的交点，
又∵c=2，
∴抛物线与y轴的交点为(0,2)，
∴抛物线L与坐标轴的交点个数是3个．
故选：D．
首先观察点P，Q的坐标可得出点P，Q关于直线x=2对称，据此可得出抛物线L的对称轴为x=2，然后根据抛物线的对称轴可求出a的值，最后再将a的值代入抛物线L的解析式即可判定抛物线与坐标交点的个数．
此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，对称轴等，解答此题的关键是根据点P，Q关于直线x=2对称得出抛物线L的对称轴为x=2．
9.【答案】2(1+x)(1−x)
【解析】解：2−2x2
=2(1−x2)
=2(1+x)(1−x)，
故答案为：2(1+x)(1−x)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
10.【答案】1080°
【解析】解：设多边形边数为n，由题意得：
n−3=5，
n=8，
内角和：180°×(8−2)=1080°．
故答案为：1080°．
设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线可得n−3=5，计算出n的值，再根据多边形内角和180°(n−2)可得答案．
此题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，多边形内角和公式180°(n−2)．
11.【答案】1043
【解析】解：2023=2×83+0×82+2×81+3×80
=1024+0+16+3
=1043．
故答案为：1043．
根据题意，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得的结果相加即可．
本题考查了有理数的混合运算，掌握题意找到进制转化的方法是关键．
12.【答案】−4
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，
因为△ABO是等腰直角三角形，且S△OAB=4，
所以S△AMO=12S△OAB=2．
令A(m,n)，
则OM=−m，AM=n，
所以12(−m)n=2，得mn=−4．
又点A在y=kx的图象上，
所以k=mn=−4．
故答案为：−4．
根据反比例函数y=kx中k的几何意义，构造出相应的直角三角形，再根据该直角三角形的面积，可求出k的值．
本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过反比例函数图象上的任意一点，作坐标轴的垂线，该点、垂足以及坐标原点三点构成的直角三角形的面积可表示为：|k|2．
13.【答案】4 5
【解析】解：连接AC、BD，过点E作EH⊥CB的延长线于点H，
∵O为菱形ABCD对角线的交点，
∴AC过点O，BD过点O，
∵S△AOB=14S菱形ABCD，
又∵S四边形OEBF=14S菱形ABCD，
∴S△AOB=S四边形OEBF，
即S△AOE+S△BOE=S△BOF+S△BOE，
∴S△AOE=S△BOF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴点O到AB、BC的距离相等，
∴△AOE的边AE上的高与△BOF的边BF上的高相等，
∴AE=BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠EBH=∠BAD，
∴sin∠EBH=sin∠BAD，
在Rt△EBH中，sin∠EBH=EHBE=sin∠BAD=45，
∴设EH=4a，BE=5a，
由勾股定理得BH= BE2−EH2=3a，
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AB=10，
∴AE=AB−BE=10−5a，
∴BF=10−5a，
∴HF=BH+BF=3a+10−5a=10−2a，
在Rt△EHF中，由勾股定理得EF2=EH2+HF2，
∴EF2=(4a)2+(10−2a)2
=16a2+100−40a+4a2
=20a2−40a+100
=20(a−1)2+80，
∵20>0，开口向上，
∴当a=1时，EF2有最小值，为80，
∴EF= 80=4 5，
故答案为：4 5．
连接AC、BD，过点E作EH⊥CB的延长线于点H，由sin∠EBH=sin∠BAD，在Rt△EHB中，设EH=4a，BE=5a，得出HB=3a，再根据面积之间的关系得出△AOE和△BOF的面积相等，根据它们的高相等，得出AE=BF，表示出AE的长，即可得到BF的长，从而得出HF的长，最后在Rt△EHF中根据勾股定理求出EF2，再根据二次函数的性质求出其最小值即可．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线，利用二次函数求出最小值．
14.【答案】解： 10÷ 5−|3−2 2|+(13)−1
= 2−(3−2 2)+3
= 2−3+2 2+3
=3 2．
【解析】先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.【答案】解：x−3(x−4)>8①2x−13≤x+12②，
解不等式①得：x<2，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组解集为x<2．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
16.【答案】解：原方程两边同乘2(x−3)，去分母得：−2(2−x)=x−3−2，
去括号得：−4+2x=x−3−2，
移项，合并同类项得：x=−1，
检验：将x=−1代入2(x−3)得：2×(−4)=−8≠0，
故原分式方程的解为：x=−1．
【解析】根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程后进行检验即可．
17.【答案】解：如图，点M即为所求．
理由：根据作法得：AB=AE=BD=DE，
∴四边形ABDE是菱形，
∴BE是线段AD的垂直平分线，
∴AM=MD，
∴△AMB≌△DMB(SSS)，
∴∠AMB=∠BMD．
【解析】分别以A、D为圆心，AB长为半径作弧交于点F，连接BF，交AC于点M，则∠AMB=∠BMD，点M即为所作．
本题主要考查了尺规作图一作已知线段的垂直平分线，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握已知线段的垂直平分线的作法，菱形的判定和性质是解题的关键．
18.【答案】证明：∵▱ABCD，
∴AE//CF，
又∵AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵AC=BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形．
【解析】先证明四边形AECF是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得∠AEC=90°即可证明结论．
本题主要考查了矩形的判定、等腰三角形的性质等知识点，掌握一个内角是直角的平行四边形是矩形成为解答本题的关键．
19.【答案】解：设数字A为x，则数字B为(x+6)，
根据题意得：x(x+6)=7，
整理得：x2+6x−7=0，
解得：x1=−7，x2=1(不符合题意，舍去)．
答：数字A为−7．
【解析】设数字A为x，则数字B为(x+6)，根据数字A与数字B的积为7，可列出关于x的一元二次方程，解之取其负值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】12
【解析】解：(1)从盒子中随机抽取1张卡片，该卡片写有的数字为2的概率=24=12；
故答案为：12；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中所得的两位数大于21的结果数为8，
所以这个两位数大于21的概率=812=23．
(1)直接利用概率公式计算；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出所得的两位数大于21的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
21.【答案】解：(1)∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象过点(−3,a)，(a,−27)，
∴−3k=aak=−27，解得k=3a=−9或k=−3a=9，
由题意可知a>−3，
∴a的值为9；
(2)由(1)可知k=−3，
∴正比例函数为y=−3x，
∵点P(m−2,1+n)在该正比例函数的图象上，
∴1+n=−3(m−2)，
∴n=−3m+5；
(3)∵n=−3m+5中−3<0，
∴n随x的增大而减小，
∵m=0时，n=5，
∴当m>0时，n<5．
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)把P(m−2,1+n)代入y=−3x即可求得；
(3)根据一次函数的性质即可求得．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】解：延长NM交PQ于点E，过点A作AF⊥NE，垂足为E，过点C作CG⊥NE，垂足为G，
由题意得：AB=EF=1.6m，CD=GE=1.75m，AF=BE，CG=DE，NE⊥PQ，
设AF=BE=x m，
∵DB=15m，
∴CG=DE=DB+BE=(x+15)m，
在Rt△AFM中，tan∠1=0.8，
∴MF=AF⋅tan∠1=0.8x(m)，
∴NE=MN+MF+EF=(MN+0.8x+1.6)m，
在Rt△CGN中，tan∠2=0.8，
∴NG=CG⋅tan∠2=0.8(x+15)m，
∴NE=NG+GE=[0.8(x+15)+1.75]m，
∴MN+0.8x+1.6=0.8(x+15)+1.75，
解得：MN=12.15，
∴无人机直上飞行的距离MN为12.15m．
【解析】延长NM交PQ于点E，过点A作AF⊥NE，垂足为E，过点C作CG⊥NE，垂足为G，根据题意可得：AB=EF=1.6m，CD=GE=1.75m，AF=BE，CG=DE，NE⊥PQ，然后设AF=BE=x m，则CG=DE=(x+15)m，在Rt△AFM中，利用锐角三角函数的定义求出MF的长，从而求出NE的长，再在Rt△CGN中，利用锐角三角函数的定义求出NG的长，从而求出NE的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】120 C
【解析】解：(1)在这次抽样调查中，共调查了36÷30%=120(名)，
C组的人数为120−6−36−30=48(人)，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：120；
(2)∵中位数是第60和第61个数的平均数，
∴每周运动时间的中位数落在C组；
故答案为：C；
(3)1600×30120=400(人)，
答：估计该校学生一周在家运动时间达标的人数为400人．
(1)根据B组的人数和所占的百分比即可求出调查的人数，用总人数减去其它组的人数求出C组的人数即可补全频数分布直方图；
(2)根据中位数的定义判断即可；
(3)用总人数乘以运动时间达标的百分比即可．
本题考查频数分布直方图、中位数、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】(1)证明：连接OD，OE，
∵⊙O分别与边AC，BC相切于点D和点E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∵OD=OE，
∴CO为∠ACB的平分线．
(2)解：∵OE//AC，
∴△OEF∽△CAF，
∴OE：AC=EF：AF，
∵2AF=3FE，
∴EF：AF=2：3，
∴OE：AC=2：3，
∵△BOE∽△BAC，
∴BE：BC=OE：AC=2；3，
∵BE=8，
∴BC=12，
∴CE=BC−BE=4，
∵OE//AC，OD//CE，OD=OE，∠ACB=90°，
∴四边形ODCE是正方形，
∴OD=CE=4，
∴⊙O的半径是4．
【解析】(1)连接OD，OE，由切线的性质定理，得到OD⊥AC，OE⊥BC，又OD=OE，因此CO为∠ACB的平分线．
(2)由△OEF∽△CAF，得到OE：AC=2：3，由△BOE∽△BAC，即可求出BE的长，得到CE的长，即可解决问题．
本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线，关键是由△OEF∽△CAF，得到OE：AC=2：3，由△BOE∽△BAC，求出BE的长．
25.【答案】解：(1)由题意，y=ax(x+2)，令y=0，
∴ax(x+2)=0．
∴x1=0，x2=−2．
∴A(−2,0)．
(2)①当m=1时，M(1,0)．
∴O(0,0)点关于M对称的点E(2,0)；A(−2,0)点关于M对称的点F(4,0)．
②由题意，作出如下草图．
A、F关于点M对称，D、G关于点M对称．
∴AM=FM，DM=GM．
∴四边形ADFG是平行四边形．
∵当S四边形ADFG=12时，
∴S△ADF=12S四边形ADFG=12×12=6．
∵S△ADF=12AF⋅DH=6，AF=6，
∴DH=2．
∵A(−2,0)，O(0,0)，D为顶点，
∴D(−1,2)．
∴D关于点M的对称点G为(3,−2)．
设抛物线C′上任意一点P′(x,y)，
∴P′关于点M(1,0)的P(2−x,−y)．
∵P在抛物线C上，
∴−y=a(2−x)2+2a(2−x)．
∴y=−a(2−x)(4−x)．
又G(3,−2)在y=−a(2−x)(4−x)上，
∴−2=−a(2−3)(4−3)．
∴a=−2．
∴抛物线C′的表达式为y=2(2−x)(4−x)，即y=2x2−12x+16．
【解析】(1)由题意，令y=0，然后解方程即可得抛物线与x轴交点的横坐标，进而判断即可得解．
(2)①由题意，根据点关于点的对称性，利用中点坐标公式即可分别求出E、F两点的坐标．
②根据题意，由抛物线C’与抛物线C关于点M对称，不妨设抛物线C’上任意一点坐标P’(x,y)，再求出对称点P的坐标，然后代入抛物线C的解析式，进而利用条件，即可得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，解题时要能熟练掌握并灵活运用．
26.【答案】12
【解析】解：(1)当AB，CD为直径时，AB+CD的值最大，为6+6=12．
故答案为：12；
(2)作点A关于直线BC的对称点F，过点F作FE⊥AB，交BC于点D，交AB于点E．
根据对称性可知AD=FD，AC=CF=1，
∴AD+DE=DF+DE，
要求AD+DE最小，即求DF+DE最小，
当点D，E，F三点共线，且EF⊥AB时，DF+DE最小．
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
在Rt△AEF中，sin∠EAF=EFAF，
即sin60°=EF2，
解得EF= 3，
AD+DE的最小值是 3；
(3)存在，AE=4 21−12．
设圆心为点O，连接AO，BO，CO，DO．
∵BC的长度是2π，且⊙O的半径是6，
∴nπ×6180=2π，
解得n，=60°，
即∠BOC=60°．
∵BO=CO，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠CBO=60°，BC=BO=6．
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO=90°，
∴∠ABC=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAB，
即sin60°=6AB⋅
解得AB=4 3．
在Rt△ABO中，AO= AB2+BO2= (4 3)2+62=2 21，
根据三题意可知AD+DO≥AO，
即AD≥AO−DO．
∴AD的最小值为2 21−6．
在Rt△AED中，cos∠EAD=ADAE，
即cos60°=2 21−6AE，
解得AE=4 21−12．
(1)根据直径是最长的弦得出答案；
(2)根据轴对称和垂线段最短得出点E的位置，再根据勾股定理求出答案；
(3)设圆心O，连接相应线段，再根据弧长公式求出∠BOC，可得出△BOC是等边三角形，根据切线的性质得出∠ABO=90°，进而求出∠ACB=90°，再根据勾股定理求出AO，即可求出AD的最小值，进而得出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，弧长公式，特殊角的三角函数值，三角形的三边关系，切线的性质，等边三角形的性质和判定，根据轴对称求线段和最小等，勾股定理是求线段长的常用方法．
2023年陕西省商洛市商南县湘河初级中学中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算：(−2)+3=( )
A. 1 B. −1 C. 5 D. −5
2. 如图，AB//CD，若∠1=50°，∠2=35°，则∠CAD=( )
A. 85°
B. 90°
C. 95°
D. 105°
3. 计算(−3ab3)2的结果为( )
A. −6a2b6 B. −6ab6 C. 9a2b9 D. 9a2b6
4. 在▱ABCD中，添加下列条件，能判定▱ABCD是菱形的是( )
A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=AC
5. 如图，一次函数y=−2x+b的图象与y轴交于点(0,−4)，当−4
B. −2
A. 13
B. 12
C. 55
D. 33
7. 如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO的延长线交⊙O于点C，若∠B的度数是36°，则∠C的度数是( )
A. 18°
B. 24°
C. 25°
D. 27°
8. 已知点P(2−m,n)，Q(m+2,n)，且m≠0，在抛物线L：y=ax2−(5−a)x+1+a上，则抛物线L与坐标轴的交点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 因式分解2−2x2= ______ ．
10. 从多边形的一个顶点出发，最多可以引出5条对角线，则该多边形的内角和为______ ．
11. 如图，第十四届国际数学教育大会(1CME−14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示1CME−14的举办年份，则八进制数2023换算成十进制数是______ ．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，若△OAB的面积为4，则k的值是______ ．
13. 如图，O为菱形ABCD对角线的交点，点E和点F分别在边AB和边BC上.且满足S四边形OEBF=14S菱形ABCD，连接EF，若菱形ABCD的边长为10,sinA=45，则EF长度的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题5.0分)
计算： 10÷ 5−|3−2 2|+(13)−1．
15. (本小题5.0分)
解不等式组x−3(x−4)>82x−13≤x+12．
16. (本小题5.0分)
解方程2−x3−x=12−1x−3．
17. (本小题5.0分)
如图，在锐角△ABC中，D为边BC上的一点，且满足BD=AB，请用尺规作图法，在边AC上找一点M，使得∠AMB=∠BMD.(保留作图痕迹，不写作法)
18. (本小题5.0分)
如图，在▱ABCD中，AC=BC，E是AB的中点，连接CE，过点A作AF//CE交CD于点F.求证：四边形AECF是矩形．
19. (本小题5.0分)
已知数字A为负数，将其加6得到数字B，若数字A与数字B的积为7，求数字A．
20. (本小题5.0分)
在一个不透明的盒子中放有4张分别写有数字1、2、2、3的卡片，卡片除写有的数字不相同外其他完全相同．
(1)从盒子中随机抽取1张卡片，该卡片写有的数字为2的概率是______ ．
(2)从盒子中随机抽取2张卡片，卡片上呈现的数字中，较大的数作为十位数，较小的数作为个位数，请利用画树状图或列表法求这个两位数大于21的概率．
21. (本小题6.0分)
正比例函数y=kx(k≠0)自变量x与因变量y的几组取值情况如下表所示，若表格中x是按照从小到大的方式取值，请回答下列问题：
x
…
−3
0
a
…
y
…
a
0
−27
…
(1)求a的值．
(2)若点P(m−2,1+n)在该正比例函数的图象上，请求出m与n之间的关系式.(用m表示n)
(3)在(2)的条件下，判断当m>0时，n的取值范围是多少？
22. (本小题7.0分)
小刚与小强是无人机爱好者，两人一起在空旷地带操作无人机飞行，他们想测量一下无人机在高空中直上飞行的速度，但前提需要知道在高空中的直上飞行距离，于是按照如下方案进行测量：小强站在地面PQ的点B处，观测目光从点A出发观察无人机所处位置M，并记录此时的仰角为∠1：当无人机直上飞行至点N处时，小刚在地面PQ的点D处，观测目光从点C出发观察无人机所处位置N，并记录此时的仰角为∠2，已知AB⊥PQ，CD⊥PQ，tan∠1=tan∠2=0.8，AB=1.6m，CD=1.75m，DB=15m，图中所有点均在同一平面内，请计算无人机直上飞行的距离MN．
23. (本小题7.0分)
运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能强健体魄，更能塑造人的品格，某学校为了解学生一周在家运动时间t(单位：小时)的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组(A,t<1,B.1≤t<2,C.2≤t<3,D.3≤t<4)，其中每周运动时间不少于3小时为达标，绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题
(1)在这次抽样调查中，共调查了______ 名学生，并补全频数分布直方图．
(2)抽样调查的学生中，每周运动时间的中位数落在______ 组，(填对应的字母)
(3)若该校有学生1600人，试估计该校学生一周在家运动时间达标的人数．
24. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.⊙O分别与边AC，BC相切于点D和点E，连接CO．
(1)求证：CO为∠ACB的平分线．
(2)连接AE与CO交于点F，且满足2AF=3FE，若BE=8，求⊙O的半径．
25. (本小题8.0分)
过原点的抛物线C：y=ax2+2ax(a<0)与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
(1)求点A的坐标．
(2)M(m,0)为x轴正半轴上一点，记抛物线C关于点M中心对称的抛物线C′，设抛物线C′与x轴的交点为E，F，点E在点F的左侧，抛物线C′的顶点为G．
①当m=1时，求点E与点F的坐标
②在①的条件下，当S四边形ADFG=12时，求抛物线C′的表达式．
26. (本小题10.0分)
问题提出
(1)如图1，在半径为3的⊙O中，AB，CD为弦，则AB+CD的最大值为______ ．
问题探究
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，D为BC上任意一点，E为AB上任意一点，连接AD，DE，求AD+DE的最小值．
问题解法
(3)如图3，某同学运用电脑编程设计了一款游戏，在一个“曲边△ABC”中，AB，AC为线段，∠BAC=60°，BC为一段弧线，BC所在的圆与AB相切，D为BC上一点，一只电子蚂蚁从点A出发，其爬行路径为折线AD−DE，其中AD⊥DE，在DE段爬行的过程中，当时，电子蚂蚁停止移动.已知BC所在圆的半径为6，BC的长度为2π.结合题意，问当电子蚂蚁停止爬行时，线段AE是否存在最小距离？若存在，求出AE的最小距离；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−2)+3=+(3−2)=1．
故选：A．
利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．
此题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，∠1=50°，
∴∠1=∠DAB=50°，
∵∠2+∠CAD+∠DAB=180°，∠2=35°，
∴∠CAD=95°，
故选：C．
根据平行线的性质得出∠DAB=50°，根据平角的定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：(−3ab3)2=9a2b6．
故选：D．
直接由积的乘方与幂的乘方的性质求解即可求得答案．
此题考查了积的乘方与幂的乘方．此题比较简单，注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：C．
根据菱形的判定定理，即可求得答案．
此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∴一次函数y=−2x+b的图象与y轴交于点(0,−4)，
∴−2×0+b=−4，
∴b=−4，
∴一次函数解析式为y=−2x−4．
当y=0时，−2x−4=0，
解得：x=−2，
∴一次函数y=−2x+b的图象与x轴交于点(−2,0)，
∴当−4
由一次函数图象与y轴的交点坐标，可求出b值，进而可得出一次函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出当y=0时x的值，再结合一次函数的性质，即可得出当−4
6.【答案】A
【解析】解：如图，取网格点D，连接BD，
由网格图，可得：AD= 32+32=3 2，BD= 12+12= 2，AB= 22+42=2 5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴tanA=BDAD= 23 2=13，
故选：A．
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接OA，
∵AB为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠BAO=90°，
∵∠B=36°，
∴∠AOB=90°−∠B=54°，
∴∠C=12∠AOB=27°．
故选：D．
连接OA，由切线的性质得出∠BAO=90°，求出∠AOB=90°−∠B=54°，由圆周角定理可得出答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵点P(2−m,n)，Q(m+2,n)的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∴点P，Q关于直线x=12[(m+2−(2−m)]=2对称，
又∵点P，Q在抛物线L上，
∴抛物线L关于直线x=2对称，即抛物线L的对称轴为x=2，
∴−−(5−a)2a=2，
解得：a=1，
此时抛物线的解析式为：y=x2−4x+2，
∵判别式Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×2=8>0，
∴抛物线L与x轴有两个不同的交点，
又∵c=2，
∴抛物线与y轴的交点为(0,2)，
∴抛物线L与坐标轴的交点个数是3个．
故选：D．
首先观察点P，Q的坐标可得出点P，Q关于直线x=2对称，据此可得出抛物线L的对称轴为x=2，然后根据抛物线的对称轴可求出a的值，最后再将a的值代入抛物线L的解析式即可判定抛物线与坐标交点的个数．
此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，对称轴等，解答此题的关键是根据点P，Q关于直线x=2对称得出抛物线L的对称轴为x=2．
9.【答案】2(1+x)(1−x)
【解析】解：2−2x2
=2(1−x2)
=2(1+x)(1−x)，
故答案为：2(1+x)(1−x)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
10.【答案】1080°
【解析】解：设多边形边数为n，由题意得：
n−3=5，
n=8，
内角和：180°×(8−2)=1080°．
故答案为：1080°．
设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线可得n−3=5，计算出n的值，再根据多边形内角和180°(n−2)可得答案．
此题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，多边形内角和公式180°(n−2)．
11.【答案】1043
【解析】解：2023=2×83+0×82+2×81+3×80
=1024+0+16+3
=1043．
故答案为：1043．
根据题意，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得的结果相加即可．
本题考查了有理数的混合运算，掌握题意找到进制转化的方法是关键．
12.【答案】−4
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，
因为△ABO是等腰直角三角形，且S△OAB=4，
所以S△AMO=12S△OAB=2．
令A(m,n)，
则OM=−m，AM=n，
所以12(−m)n=2，得mn=−4．
又点A在y=kx的图象上，
所以k=mn=−4．
故答案为：−4．
根据反比例函数y=kx中k的几何意义，构造出相应的直角三角形，再根据该直角三角形的面积，可求出k的值．
本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过反比例函数图象上的任意一点，作坐标轴的垂线，该点、垂足以及坐标原点三点构成的直角三角形的面积可表示为：|k|2．
13.【答案】4 5
【解析】解：连接AC、BD，过点E作EH⊥CB的延长线于点H，
∵O为菱形ABCD对角线的交点，
∴AC过点O，BD过点O，
∵S△AOB=14S菱形ABCD，
又∵S四边形OEBF=14S菱形ABCD，
∴S△AOB=S四边形OEBF，
即S△AOE+S△BOE=S△BOF+S△BOE，
∴S△AOE=S△BOF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴点O到AB、BC的距离相等，
∴△AOE的边AE上的高与△BOF的边BF上的高相等，
∴AE=BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠EBH=∠BAD，
∴sin∠EBH=sin∠BAD，
在Rt△EBH中，sin∠EBH=EHBE=sin∠BAD=45，
∴设EH=4a，BE=5a，
由勾股定理得BH= BE2−EH2=3a，
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AB=10，
∴AE=AB−BE=10−5a，
∴BF=10−5a，
∴HF=BH+BF=3a+10−5a=10−2a，
在Rt△EHF中，由勾股定理得EF2=EH2+HF2，
∴EF2=(4a)2+(10−2a)2
=16a2+100−40a+4a2
=20a2−40a+100
=20(a−1)2+80，
∵20>0，开口向上，
∴当a=1时，EF2有最小值，为80，
∴EF= 80=4 5，
故答案为：4 5．
连接AC、BD，过点E作EH⊥CB的延长线于点H，由sin∠EBH=sin∠BAD，在Rt△EHB中，设EH=4a，BE=5a，得出HB=3a，再根据面积之间的关系得出△AOE和△BOF的面积相等，根据它们的高相等，得出AE=BF，表示出AE的长，即可得到BF的长，从而得出HF的长，最后在Rt△EHF中根据勾股定理求出EF2，再根据二次函数的性质求出其最小值即可．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线，利用二次函数求出最小值．
14.【答案】解： 10÷ 5−|3−2 2|+(13)−1
= 2−(3−2 2)+3
= 2−3+2 2+3
=3 2．
【解析】先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.【答案】解：x−3(x−4)>8①2x−13≤x+12②，
解不等式①得：x<2，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组解集为x<2．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
16.【答案】解：原方程两边同乘2(x−3)，去分母得：−2(2−x)=x−3−2，
去括号得：−4+2x=x−3−2，
移项，合并同类项得：x=−1，
检验：将x=−1代入2(x−3)得：2×(−4)=−8≠0，
故原分式方程的解为：x=−1．
【解析】根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程后进行检验即可．
17.【答案】解：如图，点M即为所求．
理由：根据作法得：AB=AE=BD=DE，
∴四边形ABDE是菱形，
∴BE是线段AD的垂直平分线，
∴AM=MD，
∴△AMB≌△DMB(SSS)，
∴∠AMB=∠BMD．
【解析】分别以A、D为圆心，AB长为半径作弧交于点F，连接BF，交AC于点M，则∠AMB=∠BMD，点M即为所作．
本题主要考查了尺规作图一作已知线段的垂直平分线，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握已知线段的垂直平分线的作法，菱形的判定和性质是解题的关键．
18.【答案】证明：∵▱ABCD，
∴AE//CF，
又∵AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵AC=BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形．
【解析】先证明四边形AECF是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得∠AEC=90°即可证明结论．
本题主要考查了矩形的判定、等腰三角形的性质等知识点，掌握一个内角是直角的平行四边形是矩形成为解答本题的关键．
19.【答案】解：设数字A为x，则数字B为(x+6)，
根据题意得：x(x+6)=7，
整理得：x2+6x−7=0，
解得：x1=−7，x2=1(不符合题意，舍去)．
答：数字A为−7．
【解析】设数字A为x，则数字B为(x+6)，根据数字A与数字B的积为7，可列出关于x的一元二次方程，解之取其负值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】12
【解析】解：(1)从盒子中随机抽取1张卡片，该卡片写有的数字为2的概率=24=12；
故答案为：12；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中所得的两位数大于21的结果数为8，
所以这个两位数大于21的概率=812=23．
(1)直接利用概率公式计算；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出所得的两位数大于21的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
21.【答案】解：(1)∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象过点(−3,a)，(a,−27)，
∴−3k=aak=−27，解得k=3a=−9或k=−3a=9，
由题意可知a>−3，
∴a的值为9；
(2)由(1)可知k=−3，
∴正比例函数为y=−3x，
∵点P(m−2,1+n)在该正比例函数的图象上，
∴1+n=−3(m−2)，
∴n=−3m+5；
(3)∵n=−3m+5中−3<0，
∴n随x的增大而减小，
∵m=0时，n=5，
∴当m>0时，n<5．
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)把P(m−2,1+n)代入y=−3x即可求得；
(3)根据一次函数的性质即可求得．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】解：延长NM交PQ于点E，过点A作AF⊥NE，垂足为E，过点C作CG⊥NE，垂足为G，
由题意得：AB=EF=1.6m，CD=GE=1.75m，AF=BE，CG=DE，NE⊥PQ，
设AF=BE=x m，
∵DB=15m，
∴CG=DE=DB+BE=(x+15)m，
在Rt△AFM中，tan∠1=0.8，
∴MF=AF⋅tan∠1=0.8x(m)，
∴NE=MN+MF+EF=(MN+0.8x+1.6)m，
在Rt△CGN中，tan∠2=0.8，
∴NG=CG⋅tan∠2=0.8(x+15)m，
∴NE=NG+GE=[0.8(x+15)+1.75]m，
∴MN+0.8x+1.6=0.8(x+15)+1.75，
解得：MN=12.15，
∴无人机直上飞行的距离MN为12.15m．
【解析】延长NM交PQ于点E，过点A作AF⊥NE，垂足为E，过点C作CG⊥NE，垂足为G，根据题意可得：AB=EF=1.6m，CD=GE=1.75m，AF=BE，CG=DE，NE⊥PQ，然后设AF=BE=x m，则CG=DE=(x+15)m，在Rt△AFM中，利用锐角三角函数的定义求出MF的长，从而求出NE的长，再在Rt△CGN中，利用锐角三角函数的定义求出NG的长，从而求出NE的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】120 C
【解析】解：(1)在这次抽样调查中，共调查了36÷30%=120(名)，
C组的人数为120−6−36−30=48(人)，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：120；
(2)∵中位数是第60和第61个数的平均数，
∴每周运动时间的中位数落在C组；
故答案为：C；
(3)1600×30120=400(人)，
答：估计该校学生一周在家运动时间达标的人数为400人．
(1)根据B组的人数和所占的百分比即可求出调查的人数，用总人数减去其它组的人数求出C组的人数即可补全频数分布直方图；
(2)根据中位数的定义判断即可；
(3)用总人数乘以运动时间达标的百分比即可．
本题考查频数分布直方图、中位数、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】(1)证明：连接OD，OE，
∵⊙O分别与边AC，BC相切于点D和点E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∵OD=OE，
∴CO为∠ACB的平分线．
(2)解：∵OE//AC，
∴△OEF∽△CAF，
∴OE：AC=EF：AF，
∵2AF=3FE，
∴EF：AF=2：3，
∴OE：AC=2：3，
∵△BOE∽△BAC，
∴BE：BC=OE：AC=2；3，
∵BE=8，
∴BC=12，
∴CE=BC−BE=4，
∵OE//AC，OD//CE，OD=OE，∠ACB=90°，
∴四边形ODCE是正方形，
∴OD=CE=4，
∴⊙O的半径是4．
【解析】(1)连接OD，OE，由切线的性质定理，得到OD⊥AC，OE⊥BC，又OD=OE，因此CO为∠ACB的平分线．
(2)由△OEF∽△CAF，得到OE：AC=2：3，由△BOE∽△BAC，即可求出BE的长，得到CE的长，即可解决问题．
本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线，关键是由△OEF∽△CAF，得到OE：AC=2：3，由△BOE∽△BAC，求出BE的长．
25.【答案】解：(1)由题意，y=ax(x+2)，令y=0，
∴ax(x+2)=0．
∴x1=0，x2=−2．
∴A(−2,0)．
(2)①当m=1时，M(1,0)．
∴O(0,0)点关于M对称的点E(2,0)；A(−2,0)点关于M对称的点F(4,0)．
②由题意，作出如下草图．
A、F关于点M对称，D、G关于点M对称．
∴AM=FM，DM=GM．
∴四边形ADFG是平行四边形．
∵当S四边形ADFG=12时，
∴S△ADF=12S四边形ADFG=12×12=6．
∵S△ADF=12AF⋅DH=6，AF=6，
∴DH=2．
∵A(−2,0)，O(0,0)，D为顶点，
∴D(−1,2)．
∴D关于点M的对称点G为(3,−2)．
设抛物线C′上任意一点P′(x,y)，
∴P′关于点M(1,0)的P(2−x,−y)．
∵P在抛物线C上，
∴−y=a(2−x)2+2a(2−x)．
∴y=−a(2−x)(4−x)．
又G(3,−2)在y=−a(2−x)(4−x)上，
∴−2=−a(2−3)(4−3)．
∴a=−2．
∴抛物线C′的表达式为y=2(2−x)(4−x)，即y=2x2−12x+16．
【解析】(1)由题意，令y=0，然后解方程即可得抛物线与x轴交点的横坐标，进而判断即可得解．
(2)①由题意，根据点关于点的对称性，利用中点坐标公式即可分别求出E、F两点的坐标．
②根据题意，由抛物线C’与抛物线C关于点M对称，不妨设抛物线C’上任意一点坐标P’(x,y)，再求出对称点P的坐标，然后代入抛物线C的解析式，进而利用条件，即可得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，解题时要能熟练掌握并灵活运用．
26.【答案】12
【解析】解：(1)当AB，CD为直径时，AB+CD的值最大，为6+6=12．
故答案为：12；
(2)作点A关于直线BC的对称点F，过点F作FE⊥AB，交BC于点D，交AB于点E．
根据对称性可知AD=FD，AC=CF=1，
∴AD+DE=DF+DE，
要求AD+DE最小，即求DF+DE最小，
当点D，E，F三点共线，且EF⊥AB时，DF+DE最小．
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
在Rt△AEF中，sin∠EAF=EFAF，
即sin60°=EF2，
解得EF= 3，
AD+DE的最小值是 3；
(3)存在，AE=4 21−12．
设圆心为点O，连接AO，BO，CO，DO．
∵BC的长度是2π，且⊙O的半径是6，
∴nπ×6180=2π，
解得n，=60°，
即∠BOC=60°．
∵BO=CO，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠CBO=60°，BC=BO=6．
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO=90°，
∴∠ABC=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAB，
即sin60°=6AB⋅
解得AB=4 3．
在Rt△ABO中，AO= AB2+BO2= (4 3)2+62=2 21，
根据三题意可知AD+DO≥AO，
即AD≥AO−DO．
∴AD的最小值为2 21−6．
在Rt△AED中，cos∠EAD=ADAE，
即cos60°=2 21−6AE，
解得AE=4 21−12．
(1)根据直径是最长的弦得出答案；
(2)根据轴对称和垂线段最短得出点E的位置，再根据勾股定理求出答案；
(3)设圆心O，连接相应线段，再根据弧长公式求出∠BOC，可得出△BOC是等边三角形，根据切线的性质得出∠ABO=90°，进而求出∠ACB=90°，再根据勾股定理求出AO，即可求出AD的最小值，进而得出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，弧长公式，特殊角的三角函数值，三角形的三边关系，切线的性质，等边三角形的性质和判定，根据轴对称求线段和最小等，勾股定理是求线段长的常用方法．
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