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2023年河南省三门峡市灵宝市中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省三门峡市灵宝市中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省三门峡市灵宝市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −25的绝对值是( )
A. −52 B. −25 C. 25 D. 52
2. 2023年春节全国旅游迎来大爆发.春节期间三门峡市共接待游客168.88万人次，实现旅游综合收入2.93亿元，同比增长56.15%.其中“2.93亿”用科学记数法可表示为( )
A. 0.293×109 B. 2.93×108 C. 2.93×109 D. 29.3×107
3. 如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A. 45°
B. 65°
C. 75°
D. 85°
5. 下列运算正确的是( )
A. 3a2+4a3=7a5 B. (2a)3=2a3 C. a6÷a2=a3 D. 2a2⋅3a=6a3
6. 如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，若AB=2，则OE的长度为( )
A. 6
B. 2 6
C. 4 2
D. 4 3
7. 关于x的一元二次方程kx2−2x+12=0有两个不相等的实数根，则k的值不可能是( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
8. 为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差(单位：分 2)如表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
96
98
95
98
方差
2
0.4
0.4
1.6
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9. 如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，已知点A(−3,0)，B(0,−4)，E(6,0)，点P是菱形ABCD边上的一个动点，连接PE，把PE绕着点E顺时针旋转90°得到EF，连接PF.若点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿A→D→C→B→A方向运动，则第2023秒时，点F的坐标为( )
A. (−1,6) B. (−2,6) C. (2,6) D. (10,−6)
10. 在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总(R总=R+R0)是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是( )
A. 反比例函数 B. 正比例函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 请写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于3：______ ．
12. 不等式组x+5<43x+12≥2x−1的解集是______ ．
13. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是______．
14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=2，点F是AB中点，点D，E分别为线段OB，AB上的点，连接DE，EF，当EF+ED的值最小时，图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=2，BC=4，点D为AB的中点，点E在AB的延长线上，将△DEF绕点D顺时针旋转α度(0<α<180)得到△DE′F，当△BDE′是直角三角形时，AE′的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：(−13)−1− 12−(2− 3)0；
(2)先化简，再求值；(1+1x)+x2−1x，其中x的值从−1，0，1，2中任意选取．
17. (本小题9.0分)
人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题.准确把握人口形势，有利于推动社会持续健康发展.某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息.信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：(数据分成6组：0≤x<20，20≤x<40，40≤x<60，60≤x<80，80≤x<100，100≤x≤120)
信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数(百万人)在40≤x<60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010−2021年全国大陆人口数及自然增长率：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______ 百万人；
(2)下列结论正确的是______ .(只填序号)
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100(百万人)的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010−2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
(3)2016−2021年，我国人口自然增长率持续下降.长此以往，未来我国可能会出现人口老龄化和劳动力不足的双重压力.为此，从国家政策引导的角度出发，你有什么好的建议？(提出一条即可)
18. (本小题9.0分)
如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(−1,−3)，B(3,n)两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)点C(0,m)为y轴上一个动点，请你利用尺规作图，过图中所标的C点作垂直于y轴的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于D，E两点，当点E位于点D右方时，请直接写出m的取值范围．
19. (本小题9.0分)
三门峡黄河公铁两用大桥位于山西省运城市平陆县与河南省三门峡市陕州区之间，链接黄河南北两岸，是蒙华铁路全线控制性工程.三门峡黄河公铁两用大桥建设将进一步提升山西省与河南省乃至中原地区的交通运输服务能力和水平，对促进两省及周边地区的经济发展有重要意义，五一期间，小明所在的综合实践研究小组开展了对三门峡黄河公铁两用大桥水面上门式空心墩墩柱高度的测量活动，设计了如下测量方案：
课题：测量三门峡黄河公铁两用大桥水面上门式空心墩墩柱的高度
测量工具
卷尺、测角仪
测量示意图
|
测量方案与测量数据
小明使用高度为1米的测角仪在地面A处测得墩墩柱CG顶端的仰角∠CMF=37°，沿水平方向向前走21米，在地面B处测得墩柱CG顶端的仰角∠CNF=45°，已知点D在AB的延长线上，点D到水面EG的距离为0.5米，AD//EG，图中所有的点均在同一平面内．
参考数据
sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75
请你根据小明测量所得的信息，求三门峡黄河公铁两用大桥水面上门式空心墩墩CG的高度(结果精确到0.1米)．
20. (本小题9.0分)
直播带货已经成为年轻人的购物时尚.为回馈粉丝，直播带货达人大杨哥推出促销措施，在直播间购买皮衣和毛衣，均可到线上客服处领取10%的补贴.粉丝丽丽在直播间购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去3000元，已知皮衣单价比毛衣单价的5倍还多600元．
(1)丽丽所买皮衣与毛衣的单价各是多少元？丽丽可以到线上客服处领取多少元补贴？
(2)大杨哥当日一共卖出了皮衣和毛衣共300件，为使当日线上客服处领取的补贴不超过50000元，那么至少要卖出毛衣多少件？
21. (本小题9.0分)
阅读与思考
请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
弥勒是德国著名数学家，他在1471年提出了著名的弥勒定理：
如图1，已知A，B是∠MON的边ON上的定点，当且仅当△ABC的外接圆与OM相切(⊙P与OM相切于点C)时∠ACB最大，此时OC=OA⋅OB．
小明思考后给出如下证明：
证明：如图2，在OM上任取一点C′，连接AC′，BC′，BC′与⊙P相交于点D，连接AD．
∵点C，D在⊙P上，
∴∠ACB=∠ADB(依据①)，
又∵∠ADB是△AC′D的一个外角，
∴∠ADB>∠AC′B，
∴∠ACB>∠AC′B，
即当且仅当△ABC的外接圆与OM相切(⊙P与OM相切于点C)时∠ACB最大．
如图3，过切点C作⊙P的直径CQ，连接BQ，则∠CBQ=90°，CQ⊥OM，
∴∠Q+∠BCQ=90°，∠BCQ+∠OCB=90°
∴∠Q=∠OCB，(依据②)
又∵∠Q=∠OAC，
…
∴OC2=OA⋅OB．
任务：
( 1)写出小明证明过程中的依据：
依据①：______ ，依据②：______ ；
(2)请你将小明的证明过程补充完整；
(3)结论应用：如图4，已知点A，B的坐标分别是(0,1)和(0,4)，C是x轴正半轴上一个动点，当∠ACB最大时，点C的坐为______ ．
22. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线的表达式为y=−x2+2nx−n2．
(1)当该抛物线过原点时，求n的值；
(2)坐标系内有一矩形OABC，其中A(4,0)，B(4,−3)．
①直接写出C点坐标；
②如果抛物线y=−x2+2nx−n2与该矩形的边有2个交点，求n的取值范围．
23. (本小题10.0分)
综合与实践
[经典再现]
人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证AE=EF.(提示；取AB的中点H，连接HE.)
(1)请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出______ ≌ ______ ，进而得到AE=EF；
[类比探究]
(2)如图2，四边形ABCD是矩形，且ABBC=n，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交矩形外角的平分线CF于点F，求AEEF的值(用含n的式子表示)；
[综合应用]
(3)如图3，P为边CD上一点，连接AP，PF，在(2)的基础上，当n=32，∠PAE=45°，PF= 5时，请直接写出BC的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−25的绝对值是|−25|=25；
故选：C．
根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；
本题考查了绝对值的定义．注意一个正数的绝对值是它本身，0的算术平方根是0；负数的绝对值等于它的相反数．
2.【答案】B
【解析】解：2.93亿=2930000000=2.93×108；
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键要记住科学记数法的表示形式，正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：从上面看，最左面一列能看到3个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，靠右面一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到2个小立方块．
即主视图为：．
故选：B．
由已知条件可知，主视图有4列，每列小立方块数目分别为3，2，2，2，从而可以确定答案．
本题考查几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形是关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠2+60°+45°=180°，
∴∠2=75°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1=∠2=75°．
故选：C．
由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、3a2+4a3，不是同类项，不能相加，故A不正确，不符合题意；
B、(2a)3=8a3，故B不正确，不符合题意；
C、a6÷a2=a4，故C不正确，不符合题意；
D、2a2⋅3a=6a3，故D正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的运算法则，积的乘法法则，合并同类项法则，逐个判断即可．
本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘(除)，底数不变，指数相加(减)；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，
∴AC=2 2，
∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，
∴∠AOE=90°，∠AEO=30°，
∴AC=AE=2 2，AO= 2，
∴OE= AE2−OA2= (2 2)2−( 2)2= 6．
故选：A．
首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质与勾股定理求出OE．
本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综合性．
7.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+12=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0Δ=(−2)2−4×k×12>0，
解得：k<2且k≠0，
∴k的值不可能是0．
故选：C．
利用二次项系数非零及根的判别式Δ>0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之可得出k的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
∴应从乙和丁同学中选，
∵乙同学的方差比丁同学的小，
∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学；
故选：B．
先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵A(−3,0)，B(0,−4)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=BC=CD=AD=5．
∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿A→D→C→B→A方向运动，
∴点P的运动轨迹每4秒一个循环，
2023÷4=505……3，
∴第2023秒时，点F的坐标与第3秒时点F的坐标相同，第3秒时点P在B点．
如图，过点F作FG⊥x轴于点G，
∵∠OEF+∠OEB=90°，∠OBE+∠OEB=90°，
∴∠OEF=∠OBE，
又∵∠BOE=∠EGF=90°，且BE=EF，
∴△OBE≌△GEF(AAS)，
∴GE=OB=4，FG=OE=6，
∴OG=OE−GE=6−4=2，
∴F(2,6)．
故选：C．
首先根据四边形ABCD是菱形和A，B的坐标，求出AB=BC=CD=AD=5，再根据题中运动方式可知点P的运动轨迹每4秒一个循环，得到第2023秒时点F的坐标与第3秒时点F的坐标相同．画出第3秒时△PEF的位置，过点F作FG⊥x轴于点G，可证△OBE≌△GEF(AAS)，再根据全等三角形对应边相等，可得点F的坐标．
本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形判定与性质等知识点，发现运动规律，找到第2023秒是点P的位置，然后作辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V⋅R总=k(k为常数)，
由电流I与R总是反比例关系，设I⋅电流I⋅R总=k′(k为常数)，
∴VI=kk′，
∴V=kk′I(kk′为常数)，
∴I与V的函数关系是正比例函数，
故选：B．
由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V=kk′I(kk′为常数)，即可得到答案．
本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．
11.【答案】 3(答案不唯一)
【解析】解：− 3、−1.101001…，这些无理数的绝对值小于3．
故答案为： 3(答案不唯一)．
由于无理数就是无限不循环小数，只要找一个绝对值大于−1绝对值的负无理数即可求解．
此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
12.【答案】−1
由①得：x<−1，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为−1
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：画树形图得：
由树形图可知共4种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有2种，所以概率是24=12．
故答案是12．
列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
14.【答案】23π−23 3
【解析】解：如图，当FD⊥OB时，EF+ED最小，连接OF、BF，
∵EF+EC>DF，
∴当F、E、D在同一条线上时，即DF最小时，EF+ED最小，
∴当FD⊥OB时，EF+ED最小，
∵点F是AB中点，∠AOB=120°，
∴∠BOF=12∠AOB=12×120°=60°，
∵OF=OB，
∴△OBF是等边三角形，
∵FD⊥OB，
∴OD=BD=12OB=12×2=1，
∴DF= OF2−OD2= 22−12= 3，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OBA=∠OAB=30°，
∴DE=tan30°⋅BD= 33×1= 33，
∴S扇形OFB=nπr2360=60π×22360=2π3，S△ODF=12OD⋅DF=12×1× 3= 32，S△DEB=12DB⋅DE=12×1× 33= 36，
∴S阴影=S扇形OFB−S△ODF−S△DEB=2π3− 32− 36=2π3−2 33，
故答案为：2π3−2 33．
当FD⊥OB时，EF+ED最小，连接OF、BF，根据点F是AB中点，∠AOB=120°，可得∠FOB=60°，由OF=OB，可得△FOB为等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数可得DF= 3,OBD=1,DE= 33，分别计算出S扇形OFB、S△ODF、S△DEB，由S阴影=S扇形OFB−S△ODF−S△DEB，进行计算即可得到答案．
本题主要考查了扇形的面积计算—求不规则图形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，添加适当的辅助线，掌握等边三角形的判定与性质，将不规则图形面积进行转换为S扇形OFB−S△ODF−S△DEB，是解题的关键．
15.【答案】5或 35
【解析】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=4，
∴根据勾股定理可得：AB= AC2+BC2=2 5，
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴DE=AB=2 5，
∵△DEF绕点D顺时针旋转得到△DE′F′，
∴DE=DE′=2 5，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=12AB= 5，
①当∠BDE′=90°时，
∵∠BDE′=90°，
∴∠ADE′=90°，
∴AE′= AD2+DE′2= ( 5)2+(2 5)2=5；
②当∠DBE′=90°时，
在Rt△DBE′中，BE′= DE′2−BD2= (2 5)2−( 5)2= 15，
在Rt△ABE′中，AE′= BE′2+AB2= ( 15)2+(2 5)2= 35，
综上：AE′的长为5或 35．
故答案为：5或 35．
根据勾股定理可求出AB=2 5，则AD=BD=12AB= 5，然后进行分类讨论：①当∠BDE′=90°时，②当∠DBE′=90°时，据此解答．
本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握勾股定理的内容，以及旋转前后对应边相等的性质．
16.【答案】解：(1)原式=−3−2 3−1
=−4−2 3；
(2)原式=x+1x+x2−1x
=x(x+1)x
=x+1，
当x=2时，
原式=2+1=3．
【解析】(1)利用负整数指数幂的意义，二次根式的性质和零指数幂的意义化简运算即可；
(2)利用分式的混合运算的法则化简后，取使原分式有意义的x值代入运算即可．
本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，负整数指数幂的意义，二次根式的性质和零指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
17.【答案】40 ①②
【解析】解：(1)将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，
故答案为：40；
(2)①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100(百万人)的有2个地区，故原结论正确，符合题意；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
③2010−2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010−2012，2013−2014，2015−2016年增长率持续上升；2012−2013，2014−2015，2016−2021年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②；
(3)2016−2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负(答案不唯一)．
(1)根据已知发现中位数在第三组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数即可求出中位数；
(2)①根据频数分布直方图进行判断即可；
②根据条形图与折线图即可判断；
③根据折线图即可判断；
(3)根据条形图与折线图可写出2016−2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．
本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
18.【答案】解：(1)∵点A(−1,−3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=3，
∴反比例函数解析式为：y=3x．
∵B(3,n)点在y=3x图象上，
∴n=1，B(3,1)．
∵点A(−1,−3)，B(3,1)在一次函数y=ax+b的图象上，
∴−a+b=−33a+b=1，解得a=1b=−2，
∴一次函数解析式为：y=x−2．
(2)点E位于点D右方时，如图示：m>1或−3
(2)根据点E在点D的右方，可从图象上直接写出函数值的取值范围即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式．
19.【答案】解：由题意得：MF⊥CG，AM=BN=1米，FG=NB+DE=1.5米，MN=AB=21米，
设NF=x米，
∴MF=MN+NF=(x+21)米，
在Rt△CNF中，∠CNF=45°，
∴CF=NF⋅tan45°=x(米)，
在Rt△CMF中，∠CMF=37°，
∴CF=MF⋅tan37°≈0.75(x+21)米，
∴x=0.75(x+21)，
解得：x=63，
∴CF=63米，
∴CG=CF+FG=63+1.5=64.5(米)，
∴三门峡黄河公铁两用大桥水面上门式空心墩墩CG的高度约为64.5米．
【解析】根据题意可得：MF⊥CG，AM=BN=1米，FG=NB+DE=1.5米，MN=AB=21米，然后设NF=x米，则MF=(x+21)米，在Rt△CNF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△CMF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，
由题意得：x+y=3000x−5y=600，
解得：x=2600y=400，
3000×10%=300(元)，
答：丽丽所买皮衣的单价是2600元，毛衣的单价是400元；丽丽可以到线上客服处领取300元补贴．
(2)设大杨哥卖出毛衣a件，则卖出皮衣(300−a)件，
由题意得：10%×[2600(300−a)+400a]≤50000，
解得：a≥127311，
因为a为正整数，
所以至少要卖出毛衣128件．
【解析】(1)设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得x，y的值，再利用3000乘以10%即可得补贴的钱数；
(2)设大杨哥卖出毛衣a件，则卖出皮衣(300−a)件，根据领取的补贴不超过50000元建立不等式，解不等式即可得．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
21.【答案】同弧所对的圆周角相等 同角的余角相等 (2,0)
【解析】(1)解：依据①：同弧所对的圆周角相等，
依据②：同角的余角相等．
故答案为：同弧所对的圆周角相等，同角的余角相等；
(2)证明：在OM上任取一点C′，连接AC′，BC′，BC′与⊙P相交于点D，连接AD，如图，
∵点C，D在⊙P上，
∴∠ACB=∠ADB，
又∵∠ADB是△AC′D的一个外角，
∴∠ADB>∠AC′B，
∴∠ACB>∠AC′B，
∵⊙P与OM相切于点C，
∴点C为⊙P与OM的唯一公共点，
即当且仅当△ABC的外接圆与OM相切(⊙P与OM相切于点C)时∠ACB最大．
过切点C作⊙P的直径CQ，连接BQ，如图，
则∠CBQ=90°，CQ⊥OM，
∴∠Q+∠BCQ=90°，∠BCQ+∠OCB=90°
∴∠Q=∠OCB，
又∵∠Q=∠OAC，
∴△OCQ∽△OBC，
∴OCOA=OBOC，
∴OC2=OA⋅OB；
(3)解：∵点A，B的坐标分别是(0,1)和(0,4)，
∴OA=1，OB=4，
∴A，B是∠xOy的边Oy上的定点，
∴由弥勒定理可知：当且仅当△ABC的外接圆与Ox相切时∠ACB最大，此时OC2=OA⋅OB，
∴OC2=1×4，
∴OC=2．
∴C(2,0)．
故答案为：(2,0)．
(1)利用圆周角定理和直角三角形的性质解答即可；
(2)利用圆周角定理和三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角的性质解答即可得出∠ACB最大；再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
(3)利用弥勒定理求出线段OC即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，三角形的外角的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角和经过切点法直径是解决此类问题常添加的辅助线．
22.【答案】解：(1)把(0,0)代入y=−x2+2nx−n2得−n2=0，解得n=0；
(2)①∵四边形OABC是矩形，
∴OA//BC，OC//AB，
∵A(4,0)，B(4,−3)．
∴C点坐标为(0,−3)；
②∵y=−x2+2nx−n2=−(x−n)2，
∴抛物线开口向下，顶点在x轴上，顶点坐标为(n,0)，
当对称轴右半部分的抛物线经过点C时，抛物线与矩形OABC的边恰有1个交点，此时−(0−n)2=−3，
解得n1=− 3，n2= 3，
当抛物线经过原点时，抛物线与矩形OABC的边恰有2个交点，此时n3=0，
∴当− 3
当对称轴左侧的抛物线经过点B时，抛物线与矩形OABC的边恰有1个交点，此时−(4−n)2=−3，
解得n5=4− 3，n6=4+ 3．
∴当4≤n<4+ 3时，抛物线与矩形OABC的边有2个交点；
综上所述，抛物线y=x2−2nx+n2与该矩形的边有2个交点时n的取值范围为− 3
【解析】(1)把(0,0)代入y=−x2+2nx−n2得−n2=0，即可得到n的值；
(2)①由四边形OABC是矩形得到OA//BC，OC//AB，由A(4,0)，B(4,−3)即可得到点C的坐标；
②由y=−x2+2nx−n2=−(x−n)2得到抛物线开口向下，顶点在x轴上，顶点坐标为(n,0)，分情况讨论和数形结合即可得到答案．
此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的图象和性质、矩形性质，数形结合和准确计算是解题的关键．
23.【答案】△HAE △CEF
【解析】解：(1)取AB的中点H，连接HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵H、E分别是AB和BC的中点，
∴AH=BH=CE=BE，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵EF交正方形外角的平分线CF于点F，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF+∠BAE=∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CEF=∠BAE，
∴△HAE≌△CEF(ASA)，
∴AE=EF，
故答案为：△HAE，△CEF；
(2)在AB上取点H，使BH=BE，连接HE，
由(1)同理可得△HAE∽△CEF，
∴AEEF=AHCE，
∵ABBC=n，
设BC=2x，
则BH=BE=CE=x，AB=2nx，
∴AH=(2n−1)x，
∴AEEF=AHCE=(2n−1)xx=2n−1；
(3)延长AP、EF交于点Q，作QM⊥BC，交BC延长线于M，QN⊥CD于N，
∵∠PAE=45°，AE⊥EF，
∴△AEQ是等腰直角三角形，
∴AE=EQ，
由(1)同理可得△BAE≌△MEQ(ASA)，
∴QM=BE，AE=EQ，
∵ABBC=32，AEEF=2n−1，
∴AE=2EF，
∴EQ=2EF，
设BE=CE=x，
则AB=EM=3x，
∴CM=NQ=AD=2x，
∵∠D=∠QNP，∠APD=∠NPQ，
∴△ADP≌△QNP(AAS)，
∴AP=QP，
∴PF为△AEQ的中位线，
∴AE=2PF=2 5，
∴x2+(3x)2=(2 5)2，
解得x= 2，
∴BC=2BE=2 2．
(1)取AB的中点H，连接HE，根据正方形的性质，利用ASA证明△HAE≌△CEF，得AE=EF；
(2)在AB上取点H，使BH=BE，连接HE，由(1)同理可得△HAE∽△CEF，得AEEF=AHCE，设BC=2x，则BH=BE=CE=x，AB=2nx，AH=(2n−1)x，代入计算即可；
(3)延长AP、EF交于点Q，作QM⊥BC，交BC延长线于M，QN⊥CD于N，证明PF为△AEQ的中位线，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
2023年河南省三门峡市灵宝市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −25的绝对值是( )
A. −52 B. −25 C. 25 D. 52
2. 2023年春节全国旅游迎来大爆发.春节期间三门峡市共接待游客168.88万人次，实现旅游综合收入2.93亿元，同比增长56.15%.其中“2.93亿”用科学记数法可表示为( )
A. 0.293×109 B. 2.93×108 C. 2.93×109 D. 29.3×107
3. 如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A. 45°
B. 65°
C. 75°
D. 85°
5. 下列运算正确的是( )
A. 3a2+4a3=7a5 B. (2a)3=2a3 C. a6÷a2=a3 D. 2a2⋅3a=6a3
6. 如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，若AB=2，则OE的长度为( )
A. 6
B. 2 6
C. 4 2
D. 4 3
7. 关于x的一元二次方程kx2−2x+12=0有两个不相等的实数根，则k的值不可能是( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
8. 为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差(单位：分 2)如表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
96
98
95
98
方差
2
0.4
0.4
1.6
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9. 如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，已知点A(−3,0)，B(0,−4)，E(6,0)，点P是菱形ABCD边上的一个动点，连接PE，把PE绕着点E顺时针旋转90°得到EF，连接PF.若点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿A→D→C→B→A方向运动，则第2023秒时，点F的坐标为( )
A. (−1,6) B. (−2,6) C. (2,6) D. (10,−6)
10. 在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总(R总=R+R0)是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是( )
A. 反比例函数 B. 正比例函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 请写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于3：______ ．
12. 不等式组x+5<43x+12≥2x−1的解集是______ ．
13. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是______．
14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=2，点F是AB中点，点D，E分别为线段OB，AB上的点，连接DE，EF，当EF+ED的值最小时，图中阴影部分的面积为______ ．
15. 如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=2，BC=4，点D为AB的中点，点E在AB的延长线上，将△DEF绕点D顺时针旋转α度(0<α<180)得到△DE′F，当△BDE′是直角三角形时，AE′的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：(−13)−1− 12−(2− 3)0；
(2)先化简，再求值；(1+1x)+x2−1x，其中x的值从−1，0，1，2中任意选取．
17. (本小题9.0分)
人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题.准确把握人口形势，有利于推动社会持续健康发展.某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息.信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：(数据分成6组：0≤x<20，20≤x<40，40≤x<60，60≤x<80，80≤x<100，100≤x≤120)
信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数(百万人)在40≤x<60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010−2021年全国大陆人口数及自然增长率：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______ 百万人；
(2)下列结论正确的是______ .(只填序号)
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100(百万人)的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010−2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
(3)2016−2021年，我国人口自然增长率持续下降.长此以往，未来我国可能会出现人口老龄化和劳动力不足的双重压力.为此，从国家政策引导的角度出发，你有什么好的建议？(提出一条即可)
18. (本小题9.0分)
如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(−1,−3)，B(3,n)两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)点C(0,m)为y轴上一个动点，请你利用尺规作图，过图中所标的C点作垂直于y轴的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于D，E两点，当点E位于点D右方时，请直接写出m的取值范围．
19. (本小题9.0分)
三门峡黄河公铁两用大桥位于山西省运城市平陆县与河南省三门峡市陕州区之间，链接黄河南北两岸，是蒙华铁路全线控制性工程.三门峡黄河公铁两用大桥建设将进一步提升山西省与河南省乃至中原地区的交通运输服务能力和水平，对促进两省及周边地区的经济发展有重要意义，五一期间，小明所在的综合实践研究小组开展了对三门峡黄河公铁两用大桥水面上门式空心墩墩柱高度的测量活动，设计了如下测量方案：
课题：测量三门峡黄河公铁两用大桥水面上门式空心墩墩柱的高度
测量工具
卷尺、测角仪
测量示意图
|
测量方案与测量数据
小明使用高度为1米的测角仪在地面A处测得墩墩柱CG顶端的仰角∠CMF=37°，沿水平方向向前走21米，在地面B处测得墩柱CG顶端的仰角∠CNF=45°，已知点D在AB的延长线上，点D到水面EG的距离为0.5米，AD//EG，图中所有的点均在同一平面内．
参考数据
sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75
请你根据小明测量所得的信息，求三门峡黄河公铁两用大桥水面上门式空心墩墩CG的高度(结果精确到0.1米)．
20. (本小题9.0分)
直播带货已经成为年轻人的购物时尚.为回馈粉丝，直播带货达人大杨哥推出促销措施，在直播间购买皮衣和毛衣，均可到线上客服处领取10%的补贴.粉丝丽丽在直播间购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去3000元，已知皮衣单价比毛衣单价的5倍还多600元．
(1)丽丽所买皮衣与毛衣的单价各是多少元？丽丽可以到线上客服处领取多少元补贴？
(2)大杨哥当日一共卖出了皮衣和毛衣共300件，为使当日线上客服处领取的补贴不超过50000元，那么至少要卖出毛衣多少件？
21. (本小题9.0分)
阅读与思考
请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
弥勒是德国著名数学家，他在1471年提出了著名的弥勒定理：
如图1，已知A，B是∠MON的边ON上的定点，当且仅当△ABC的外接圆与OM相切(⊙P与OM相切于点C)时∠ACB最大，此时OC=OA⋅OB．
小明思考后给出如下证明：
证明：如图2，在OM上任取一点C′，连接AC′，BC′，BC′与⊙P相交于点D，连接AD．
∵点C，D在⊙P上，
∴∠ACB=∠ADB(依据①)，
又∵∠ADB是△AC′D的一个外角，
∴∠ADB>∠AC′B，
∴∠ACB>∠AC′B，
即当且仅当△ABC的外接圆与OM相切(⊙P与OM相切于点C)时∠ACB最大．
如图3，过切点C作⊙P的直径CQ，连接BQ，则∠CBQ=90°，CQ⊥OM，
∴∠Q+∠BCQ=90°，∠BCQ+∠OCB=90°
∴∠Q=∠OCB，(依据②)
又∵∠Q=∠OAC，
…
∴OC2=OA⋅OB．
任务：
( 1)写出小明证明过程中的依据：
依据①：______ ，依据②：______ ；
(2)请你将小明的证明过程补充完整；
(3)结论应用：如图4，已知点A，B的坐标分别是(0,1)和(0,4)，C是x轴正半轴上一个动点，当∠ACB最大时，点C的坐为______ ．
22. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线的表达式为y=−x2+2nx−n2．
(1)当该抛物线过原点时，求n的值；
(2)坐标系内有一矩形OABC，其中A(4,0)，B(4,−3)．
①直接写出C点坐标；
②如果抛物线y=−x2+2nx−n2与该矩形的边有2个交点，求n的取值范围．
23. (本小题10.0分)
综合与实践
[经典再现]
人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证AE=EF.(提示；取AB的中点H，连接HE.)
(1)请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出______ ≌ ______ ，进而得到AE=EF；
[类比探究]
(2)如图2，四边形ABCD是矩形，且ABBC=n，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交矩形外角的平分线CF于点F，求AEEF的值(用含n的式子表示)；
[综合应用]
(3)如图3，P为边CD上一点，连接AP，PF，在(2)的基础上，当n=32，∠PAE=45°，PF= 5时，请直接写出BC的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−25的绝对值是|−25|=25；
故选：C．
根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；
本题考查了绝对值的定义．注意一个正数的绝对值是它本身，0的算术平方根是0；负数的绝对值等于它的相反数．
2.【答案】B
【解析】解：2.93亿=2930000000=2.93×108；
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键要记住科学记数法的表示形式，正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：从上面看，最左面一列能看到3个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，靠右面一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到2个小立方块．
即主视图为：．
故选：B．
由已知条件可知，主视图有4列，每列小立方块数目分别为3，2，2，2，从而可以确定答案．
本题考查几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形是关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠2+60°+45°=180°，
∴∠2=75°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1=∠2=75°．
故选：C．
由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、3a2+4a3，不是同类项，不能相加，故A不正确，不符合题意；
B、(2a)3=8a3，故B不正确，不符合题意；
C、a6÷a2=a4，故C不正确，不符合题意；
D、2a2⋅3a=6a3，故D正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的运算法则，积的乘法法则，合并同类项法则，逐个判断即可．
本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘(除)，底数不变，指数相加(减)；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，
∴AC=2 2，
∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，
∴∠AOE=90°，∠AEO=30°，
∴AC=AE=2 2，AO= 2，
∴OE= AE2−OA2= (2 2)2−( 2)2= 6．
故选：A．
首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质与勾股定理求出OE．
本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综合性．
7.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+12=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0Δ=(−2)2−4×k×12>0，
解得：k<2且k≠0，
∴k的值不可能是0．
故选：C．
利用二次项系数非零及根的判别式Δ>0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之可得出k的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大，
∴应从乙和丁同学中选，
∵乙同学的方差比丁同学的小，
∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学；
故选：B．
先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵A(−3,0)，B(0,−4)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=BC=CD=AD=5．
∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿A→D→C→B→A方向运动，
∴点P的运动轨迹每4秒一个循环，
2023÷4=505……3，
∴第2023秒时，点F的坐标与第3秒时点F的坐标相同，第3秒时点P在B点．
如图，过点F作FG⊥x轴于点G，
∵∠OEF+∠OEB=90°，∠OBE+∠OEB=90°，
∴∠OEF=∠OBE，
又∵∠BOE=∠EGF=90°，且BE=EF，
∴△OBE≌△GEF(AAS)，
∴GE=OB=4，FG=OE=6，
∴OG=OE−GE=6−4=2，
∴F(2,6)．
故选：C．
首先根据四边形ABCD是菱形和A，B的坐标，求出AB=BC=CD=AD=5，再根据题中运动方式可知点P的运动轨迹每4秒一个循环，得到第2023秒时点F的坐标与第3秒时点F的坐标相同．画出第3秒时△PEF的位置，过点F作FG⊥x轴于点G，可证△OBE≌△GEF(AAS)，再根据全等三角形对应边相等，可得点F的坐标．
本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形判定与性质等知识点，发现运动规律，找到第2023秒是点P的位置，然后作辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V⋅R总=k(k为常数)，
由电流I与R总是反比例关系，设I⋅电流I⋅R总=k′(k为常数)，
∴VI=kk′，
∴V=kk′I(kk′为常数)，
∴I与V的函数关系是正比例函数，
故选：B．
由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V=kk′I(kk′为常数)，即可得到答案．
本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．
11.【答案】 3(答案不唯一)
【解析】解：− 3、−1.101001…，这些无理数的绝对值小于3．
故答案为： 3(答案不唯一)．
由于无理数就是无限不循环小数，只要找一个绝对值大于−1绝对值的负无理数即可求解．
此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
12.【答案】−1
由①得：x<−1，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为−1
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：画树形图得：
由树形图可知共4种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有2种，所以概率是24=12．
故答案是12．
列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
14.【答案】23π−23 3
【解析】解：如图，当FD⊥OB时，EF+ED最小，连接OF、BF，
∵EF+EC>DF，
∴当F、E、D在同一条线上时，即DF最小时，EF+ED最小，
∴当FD⊥OB时，EF+ED最小，
∵点F是AB中点，∠AOB=120°，
∴∠BOF=12∠AOB=12×120°=60°，
∵OF=OB，
∴△OBF是等边三角形，
∵FD⊥OB，
∴OD=BD=12OB=12×2=1，
∴DF= OF2−OD2= 22−12= 3，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OBA=∠OAB=30°，
∴DE=tan30°⋅BD= 33×1= 33，
∴S扇形OFB=nπr2360=60π×22360=2π3，S△ODF=12OD⋅DF=12×1× 3= 32，S△DEB=12DB⋅DE=12×1× 33= 36，
∴S阴影=S扇形OFB−S△ODF−S△DEB=2π3− 32− 36=2π3−2 33，
故答案为：2π3−2 33．
当FD⊥OB时，EF+ED最小，连接OF、BF，根据点F是AB中点，∠AOB=120°，可得∠FOB=60°，由OF=OB，可得△FOB为等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数可得DF= 3,OBD=1,DE= 33，分别计算出S扇形OFB、S△ODF、S△DEB，由S阴影=S扇形OFB−S△ODF−S△DEB，进行计算即可得到答案．
本题主要考查了扇形的面积计算—求不规则图形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，添加适当的辅助线，掌握等边三角形的判定与性质，将不规则图形面积进行转换为S扇形OFB−S△ODF−S△DEB，是解题的关键．
15.【答案】5或 35
【解析】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=4，
∴根据勾股定理可得：AB= AC2+BC2=2 5，
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴DE=AB=2 5，
∵△DEF绕点D顺时针旋转得到△DE′F′，
∴DE=DE′=2 5，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=12AB= 5，
①当∠BDE′=90°时，
∵∠BDE′=90°，
∴∠ADE′=90°，
∴AE′= AD2+DE′2= ( 5)2+(2 5)2=5；
②当∠DBE′=90°时，
在Rt△DBE′中，BE′= DE′2−BD2= (2 5)2−( 5)2= 15，
在Rt△ABE′中，AE′= BE′2+AB2= ( 15)2+(2 5)2= 35，
综上：AE′的长为5或 35．
故答案为：5或 35．
根据勾股定理可求出AB=2 5，则AD=BD=12AB= 5，然后进行分类讨论：①当∠BDE′=90°时，②当∠DBE′=90°时，据此解答．
本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握勾股定理的内容，以及旋转前后对应边相等的性质．
16.【答案】解：(1)原式=−3−2 3−1
=−4−2 3；
(2)原式=x+1x+x2−1x
=x(x+1)x
=x+1，
当x=2时，
原式=2+1=3．
【解析】(1)利用负整数指数幂的意义，二次根式的性质和零指数幂的意义化简运算即可；
(2)利用分式的混合运算的法则化简后，取使原分式有意义的x值代入运算即可．
本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，负整数指数幂的意义，二次根式的性质和零指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
17.【答案】40 ①②
【解析】解：(1)将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，
故答案为：40；
(2)①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100(百万人)的有2个地区，故原结论正确，符合题意；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
③2010−2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010−2012，2013−2014，2015−2016年增长率持续上升；2012−2013，2014−2015，2016−2021年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②；
(3)2016−2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负(答案不唯一)．
(1)根据已知发现中位数在第三组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数即可求出中位数；
(2)①根据频数分布直方图进行判断即可；
②根据条形图与折线图即可判断；
③根据折线图即可判断；
(3)根据条形图与折线图可写出2016−2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．
本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
18.【答案】解：(1)∵点A(−1,−3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=3，
∴反比例函数解析式为：y=3x．
∵B(3,n)点在y=3x图象上，
∴n=1，B(3,1)．
∵点A(−1,−3)，B(3,1)在一次函数y=ax+b的图象上，
∴−a+b=−33a+b=1，解得a=1b=−2，
∴一次函数解析式为：y=x−2．
(2)点E位于点D右方时，如图示：m>1或−3
(2)根据点E在点D的右方，可从图象上直接写出函数值的取值范围即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式．
19.【答案】解：由题意得：MF⊥CG，AM=BN=1米，FG=NB+DE=1.5米，MN=AB=21米，
设NF=x米，
∴MF=MN+NF=(x+21)米，
在Rt△CNF中，∠CNF=45°，
∴CF=NF⋅tan45°=x(米)，
在Rt△CMF中，∠CMF=37°，
∴CF=MF⋅tan37°≈0.75(x+21)米，
∴x=0.75(x+21)，
解得：x=63，
∴CF=63米，
∴CG=CF+FG=63+1.5=64.5(米)，
∴三门峡黄河公铁两用大桥水面上门式空心墩墩CG的高度约为64.5米．
【解析】根据题意可得：MF⊥CG，AM=BN=1米，FG=NB+DE=1.5米，MN=AB=21米，然后设NF=x米，则MF=(x+21)米，在Rt△CNF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△CMF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，
由题意得：x+y=3000x−5y=600，
解得：x=2600y=400，
3000×10%=300(元)，
答：丽丽所买皮衣的单价是2600元，毛衣的单价是400元；丽丽可以到线上客服处领取300元补贴．
(2)设大杨哥卖出毛衣a件，则卖出皮衣(300−a)件，
由题意得：10%×[2600(300−a)+400a]≤50000，
解得：a≥127311，
因为a为正整数，
所以至少要卖出毛衣128件．
【解析】(1)设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得x，y的值，再利用3000乘以10%即可得补贴的钱数；
(2)设大杨哥卖出毛衣a件，则卖出皮衣(300−a)件，根据领取的补贴不超过50000元建立不等式，解不等式即可得．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
21.【答案】同弧所对的圆周角相等 同角的余角相等 (2,0)
【解析】(1)解：依据①：同弧所对的圆周角相等，
依据②：同角的余角相等．
故答案为：同弧所对的圆周角相等，同角的余角相等；
(2)证明：在OM上任取一点C′，连接AC′，BC′，BC′与⊙P相交于点D，连接AD，如图，
∵点C，D在⊙P上，
∴∠ACB=∠ADB，
又∵∠ADB是△AC′D的一个外角，
∴∠ADB>∠AC′B，
∴∠ACB>∠AC′B，
∵⊙P与OM相切于点C，
∴点C为⊙P与OM的唯一公共点，
即当且仅当△ABC的外接圆与OM相切(⊙P与OM相切于点C)时∠ACB最大．
过切点C作⊙P的直径CQ，连接BQ，如图，
则∠CBQ=90°，CQ⊥OM，
∴∠Q+∠BCQ=90°，∠BCQ+∠OCB=90°
∴∠Q=∠OCB，
又∵∠Q=∠OAC，
∴△OCQ∽△OBC，
∴OCOA=OBOC，
∴OC2=OA⋅OB；
(3)解：∵点A，B的坐标分别是(0,1)和(0,4)，
∴OA=1，OB=4，
∴A，B是∠xOy的边Oy上的定点，
∴由弥勒定理可知：当且仅当△ABC的外接圆与Ox相切时∠ACB最大，此时OC2=OA⋅OB，
∴OC2=1×4，
∴OC=2．
∴C(2,0)．
故答案为：(2,0)．
(1)利用圆周角定理和直角三角形的性质解答即可；
(2)利用圆周角定理和三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角的性质解答即可得出∠ACB最大；再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
(3)利用弥勒定理求出线段OC即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，三角形的外角的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角和经过切点法直径是解决此类问题常添加的辅助线．
22.【答案】解：(1)把(0,0)代入y=−x2+2nx−n2得−n2=0，解得n=0；
(2)①∵四边形OABC是矩形，
∴OA//BC，OC//AB，
∵A(4,0)，B(4,−3)．
∴C点坐标为(0,−3)；
②∵y=−x2+2nx−n2=−(x−n)2，
∴抛物线开口向下，顶点在x轴上，顶点坐标为(n,0)，
当对称轴右半部分的抛物线经过点C时，抛物线与矩形OABC的边恰有1个交点，此时−(0−n)2=−3，
解得n1=− 3，n2= 3，
当抛物线经过原点时，抛物线与矩形OABC的边恰有2个交点，此时n3=0，
∴当− 3
当对称轴左侧的抛物线经过点B时，抛物线与矩形OABC的边恰有1个交点，此时−(4−n)2=−3，
解得n5=4− 3，n6=4+ 3．
∴当4≤n<4+ 3时，抛物线与矩形OABC的边有2个交点；
综上所述，抛物线y=x2−2nx+n2与该矩形的边有2个交点时n的取值范围为− 3
【解析】(1)把(0,0)代入y=−x2+2nx−n2得−n2=0，即可得到n的值；
(2)①由四边形OABC是矩形得到OA//BC，OC//AB，由A(4,0)，B(4,−3)即可得到点C的坐标；
②由y=−x2+2nx−n2=−(x−n)2得到抛物线开口向下，顶点在x轴上，顶点坐标为(n,0)，分情况讨论和数形结合即可得到答案．
此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的图象和性质、矩形性质，数形结合和准确计算是解题的关键．
23.【答案】△HAE △CEF
【解析】解：(1)取AB的中点H，连接HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵H、E分别是AB和BC的中点，
∴AH=BH=CE=BE，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵EF交正方形外角的平分线CF于点F，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF+∠BAE=∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CEF=∠BAE，
∴△HAE≌△CEF(ASA)，
∴AE=EF，
故答案为：△HAE，△CEF；
(2)在AB上取点H，使BH=BE，连接HE，
由(1)同理可得△HAE∽△CEF，
∴AEEF=AHCE，
∵ABBC=n，
设BC=2x，
则BH=BE=CE=x，AB=2nx，
∴AH=(2n−1)x，
∴AEEF=AHCE=(2n−1)xx=2n−1；
(3)延长AP、EF交于点Q，作QM⊥BC，交BC延长线于M，QN⊥CD于N，
∵∠PAE=45°，AE⊥EF，
∴△AEQ是等腰直角三角形，
∴AE=EQ，
由(1)同理可得△BAE≌△MEQ(ASA)，
∴QM=BE，AE=EQ，
∵ABBC=32，AEEF=2n−1，
∴AE=2EF，
∴EQ=2EF，
设BE=CE=x，
则AB=EM=3x，
∴CM=NQ=AD=2x，
∵∠D=∠QNP，∠APD=∠NPQ，
∴△ADP≌△QNP(AAS)，
∴AP=QP，
∴PF为△AEQ的中位线，
∴AE=2PF=2 5，
∴x2+(3x)2=(2 5)2，
解得x= 2，
∴BC=2BE=2 2．
(1)取AB的中点H，连接HE，根据正方形的性质，利用ASA证明△HAE≌△CEF，得AE=EF；
(2)在AB上取点H，使BH=BE，连接HE，由(1)同理可得△HAE∽△CEF，得AEEF=AHCE，设BC=2x，则BH=BE=CE=x，AB=2nx，AH=(2n−1)x，代入计算即可；
(3)延长AP、EF交于点Q，作QM⊥BC，交BC延长线于M，QN⊥CD于N，证明PF为△AEQ的中位线，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
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