安徽省六安市田家炳实验中学2022-2023学年高一下学期第二次段考（期中）数学试题(含解析)

这是一份安徽省六安市田家炳实验中学2022-2023学年高一下学期第二次段考（期中）数学试题(含解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题（共70分)等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省六安市金安区田家炳实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分.）
1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，且＝2，则＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．如果||＝2，||＝3，＝4，则||的值是（　　）
A．24 B．2 C．﹣24 D．﹣2
3．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＝b+c，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
4．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（　　）
A．﹣8 B．8 C．6 D．﹣6
5．已知是夹角为60°的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量的模为（　　）
A． B．2 C． D．4
（多选）6．下列说法正确的是（　　）
A．平行向量不一定是共线向量
B．向量的长度与向量的长度相等
C．是与非零向量共线的单位向量
D．若四边形ABCD满足，则四边形ABCD是矩形
7．对于任意的平面向量，，，下列说法中正确的是（　　）
A．若∥且∥，则∥ B．（+）•＝•+•
C．若•＝•，且≠0，则＝ D．（•）＝（•）
8．将函数y＝cos（3x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则φ的一个可能值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分.）
（多选）9．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，1），若向量，则可使λ1λ2＜0成立的可能是（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
（多选）10．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
（多选）11．已知n∈N*，则以3，5，n为边长的钝角三角形的边长，则n的值可以是（　　）
A．3 B．6 C．7 D．9
（多选）12．向量满足：，，，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是（　　）
A．1 B． C． D．2
三、填空题（共20分）
13．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得的图象的函数解析式是　 　．
14．一艘船在静水中的航行速度为10km/h，河水的流速为4km/h，则船的实际航行的速度（单位：km/h）取值范围 　 　．
15．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为 　 　．
16．已知向量，且，则λ+μ＝　 　．
四、解答题（共70分)
17．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）先将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在上的值域．
18．如图，在平行四边形ABCD中，||＝3，||＝2，＝，＝，与的夹角为．
（1）若＝x+y，求x、y的值；
（2）求•的值；
（3）求与的夹角的余弦值．

19．已知的夹角为，
（1）求的值；
（2）当k为何值时，．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）若函数，且函数f（x）没有最值，求实数a的取值范围．
21．在△ABC中，，，D为AB的中点，点E为线段CD上一点，且ED＝2EC，AE延长线与BC交于点F．
（1）用向量与表示；
（2）用向量与表示．

22．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，sinB＝1+cosC，点D为边BC的中点，求AD的长．


参考答案
一、单选题（每小题5分，共40分.）
1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，且＝2，则＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据题意可得＝+＝（﹣）+（﹣）＝﹣﹣••（+），化简即可得出答案．
解：＝+＝（﹣）+（﹣）
＝﹣﹣••（+）＝﹣﹣﹣
＝﹣+
故选：A．

【点评】本题考查平面向量基本定理，属于中档题．
2．如果||＝2，||＝3，＝4，则||的值是（　　）
A．24 B．2 C．﹣24 D．﹣2
【分析】直接利用向量数量积的运算性质||＝求解即可
解：∵||＝2，||＝3，＝4，
则||＝＝
＝＝2
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．
3．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＝b+c，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
【分析】直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换判断三角形的形状．
解：已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＝b+c，
利用正弦定理：sinAcosC＝sinB+＝sinAcosC+cosAsinC+，
化简得：，
由于A、C∈（0，π），
所以sinC＞0，
故，
所以A．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（　　）
A．﹣8 B．8 C．6 D．﹣6
【分析】先求出，然后利用存在实数λ使，列方程求k的值．
解：由已知得，
∵三点A，B，D共线，
∴存在实数λ使，
∴，
∴，解得k＝﹣8．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量相等，属于基础题．
5．已知是夹角为60°的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量的模为（　　）
A． B．2 C． D．4
【分析】根据条件可求出的值，然后根据投影向量模的计算公式即可求出答案．
解：是夹角为60°的两个单位向量，
∴，∴＝，
∴在上的投影向量的模为：．
故选：A．
【点评】本题考查了投影和投影向量的计算公式，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
（多选）6．下列说法正确的是（　　）
A．平行向量不一定是共线向量
B．向量的长度与向量的长度相等
C．是与非零向量共线的单位向量
D．若四边形ABCD满足，则四边形ABCD是矩形
【分析】根据平行向量、相反向量和相等向量的定义判断即可．
解：对于A，平行向量也叫共线向量，故A错误；
对于B，向量与向量互为相反向量，长度相等，故B正确；
对于C，表示与非零向量共线的单位向量，故C正确；
对于D，若四边形ABCD满足，则四边形ABCD是平行四边形，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了共线向量、相等向量和相反向量的概念，属于基础题．
7．对于任意的平面向量，，，下列说法中正确的是（　　）
A．若∥且∥，则∥ B．（+）•＝•+•
C．若•＝•，且≠0，则＝ D．（•）＝（•）
【分析】平面向量共线的传递性可得A错误，由向量乘法的分配律可得B正确，由向量垂直的运算可得C，D错误，得解．
解：∥且∥，当为零向量时，则与不一定共线，即A错误，
由向量乘法的分配律可得：（+）•＝•+•，即B正确，
因为•＝•，则•（−）＝，又≠，则＝或⊥（−），即C错误，
取，，为非零向量，且，垂直，，不垂直，则（•）•＝，•（•）≠，即D错误，
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量共线的传递性、向量乘法的分配律，向量垂直的运算，属基础题．
8．将函数y＝cos（3x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则φ的一个可能值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得φ的一个可能值．
解：∵将函数y＝cos（3x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，
得到的函数y＝cos（3x+φ+）的图象关于原点对称，
∴y＝cos（3x+φ+）为奇函数，故有φ+＝kπ+，k∈Z．
∴φ＝kπ+，k∈Z，则φ的一个可能值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
二、多选题（每小题5分，共20分.）
（多选）9．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，1），若向量，则可使λ1λ2＜0成立的可能是（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
【分析】向量＝（2λ2﹣λ1，2λ1+λ2），结合选项进行分析即可求解．
解：＝（﹣1，2），＝（2，1），
∴向量＝（﹣λ1，2λ1）+（2λ2，λ2），
＝（2λ2﹣λ1，2λ1+λ2），
若使λ1λ2＜0成立，
＝（1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，
＝（0，1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意，
＝（﹣1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，
＝（0，﹣1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意，
故选：AC．
【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础试题．
（多选）10．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据向量平行得到，得到，再计算模长得到答案．
解：，
则，即，即；
，所以＝．
故选：AC．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
（多选）11．已知n∈N*，则以3，5，n为边长的钝角三角形的边长，则n的值可以是（　　）
A．3 B．6 C．7 D．9
【分析】由已知结合余弦定理及三角形的三边关系即可求解．
解：钝角三角形中，其中一边的平方大于另两边的平方和，
由题意，当5为钝角三角形的最大边时，有：32+n2＜52，
解得：0＜n＜4，由三角形三边关系可得，得2＜n＜8，
所以2＜n＜4，由于n∈N*，此时，n＝3；
当n为钝角三角形的最大边时，有：32+52＜n2，解得：＜n，
由三角形三边关系可得，得2＜n＜8，
所以，由于n∈N*，此时，n＝6，7．
故答案为：BC．
【点评】本题主要考查了余弦定理在三角形形状判断中的应用，属于基础题．
（多选）12．向量满足：，，，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是（　　）
A．1 B． C． D．2
【分析】根据题意，结合向量在向量上的投影向量的模公式，即可求解．
解：由题意，向量满足且，
所以向量在向量上的投影向量的模为．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查向量投影的公式，属于基础题．
三、填空题（共20分）
13．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得的图象的函数解析式是　　．
【分析】根据三角函数的图形平移关系进行平移即可．
解：将函数y＝sinx的图象向左平移个单位得到y＝sin（x+），
然后再向上平移2个单位得到，
故答案为：
【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数图象变换关系是解决本题的关键．
14．一艘船在静水中的航行速度为10km/h，河水的流速为4km/h，则船的实际航行的速度（单位：km/h）取值范围 　[6，14]　．
【分析】由向量的模的性质求解．
解：由公式及等号成立的条件可知，
一艘船在静水中的航行速度为10km/h，河水的流速为4km/h，
当船速与水速方向相同时，船的实际航行的速度最大，为10+4＝14（km/h）；
当船速与水速方向相反时，船的实际航行的速度最小，为10﹣4＝6（km/h）．
故答案为：[6，14]．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，属于基础题．
15．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为 　60°　．
【分析】由已知求得与（）•的值，再由数量积求夹角公式求解．
解：∵，，，的夹角为150°，
∴＝＝1，
＝＝，
∴cos＜，＞＝，则与的夹角为60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查由平面向量数量积求两个向量的夹角，是基础题．
16．已知向量，且，则λ+μ＝　﹣1　．
【分析】先求得的坐标，再利用向量相等求解．
解：因为，
所以，
又因为，
所以，
解得λ＝﹣3，
∴λ+μ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
四、解答题（共70分)
17．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）先将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在上的值域．
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
（2）由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
解：（1）∵函数
＝（sin2xcos+cos2xsin）﹣sin2x﹣cos2x﹣2sinxcosx+1
＝sin2x+cos2x﹣sin2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），
∴函数f（x）的最小正周期为＝π．
（2）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到函数y＝sin（2x+）的图象；
再将该图象所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到g（x）＝sin（4x+）的图象．
由，求得﹣≤4x+≤，
故当 时，﹣≤sin（4x+）≤1，
∴函数g（x）在上的值域为[﹣，1]．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．
18．如图，在平行四边形ABCD中，||＝3，||＝2，＝，＝，与的夹角为．
（1）若＝x+y，求x、y的值；
（2）求•的值；
（3）求与的夹角的余弦值．

【分析】（1）由平行四边形法则得，而分别是，再结合数乘运算、平面向量基本定理中的“唯一性”不难求出x、y；
（2）由题意可以为基底，将用基底表示，再利用内积的定义及运算可求得•的值；
（3）直接套用夹角公式cos＜，＞＝计算．
解：（1）∵||＝3，||＝2，＝，＝，
∴＝3+2＝x+y，
∴x＝3，y＝2．

（2）由向量的运算法则知，＝2﹣3，
∴．
（3）∵与的夹角为，∴与的夹角为，
又，
∴＝＝＝＝，
∴＝＝＝＝，
设与的夹角为θ，可得，
∴与的夹角的余弦值为．

【点评】利用平面向量基本定理解题，一般先以不共线的、模长及夹角都知道的两个向量作为基底，然后利用基底把已知的、所求的向量表示出来，再进行有关的运算化简和证明；数量积的考查是重点也是热点，一般是距离和角的计算居多，要以数量积的定义为出发点进行思考，要注意结合图形寻找解题思路．
19．已知的夹角为，
（1）求的值；
（2）当k为何值时，．
【分析】（1）运用向量的数量积的定义和向量的模的平方即为斜率的平方，计算即可得到；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程即可得到k．
解：（1）由||＝4，||＝2，与的夹角是为，
则＝4×2×cos＝﹣4，
所以||＝＝＝＝2；
（2）由（+2）⊥（k﹣），
则（+2）•（k﹣）＝0，
即k﹣2+（2k﹣1）＝0，
即有16k﹣2×4﹣4（2k﹣1）＝0，
解得k＝．
即有当k为时，（+2）⊥（k﹣）．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量垂直的条件：数量积为0，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）若函数，且函数f（x）没有最值，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据向量得出方程进行求解即可；
（2）先表示函数f（x），转化为二次函数在给定区间上的最值问题进行求解即可．
解：（1）∵，，，
∴sinxcosx＝sinx（1﹣cosx）．
又，
∴sinx≠0，
∴，
∴．
（2），
∵，
∴，
令t＝cosx，则f（x）＝g（t）＝﹣2t2+（a+1）t+1，．
∴函数f（x）没有最值等价于函数g（t）在区间上无最值．
∴ 或．
∴实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示，二次函数及余弦函数性质的应用，属于中档题．
21．在△ABC中，，，D为AB的中点，点E为线段CD上一点，且ED＝2EC，AE延长线与BC交于点F．
（1）用向量与表示；
（2）用向量与表示．

【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解；
（2）根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解；
解：（1）由，，D为AB的中点，
得，
∵ED＝2EC，
∴，
∴．
（2）设，则，①
设，则②
∵，不共线，由①②得，解得，
∴．
【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
22．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，sinB＝1+cosC，点D为边BC的中点，求AD的长．
【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）在第一问的基础上，结合sinB＝1+cosC，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到a＝b＝2，由余弦定理求出答案．
解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即．
由余弦定理可得，
又A∈（0，π），所以．
（2）因为sinB＝1+cosC，
所以，
即，
又0＜B＜π，则，所以．
所以a＝b，．
所以，
所以a＝b＝2．
在△ACD中，由余弦定理可得，
即．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．