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2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A. 4，5，6 B. 1，1，2 C. 6，8，11 D. 5，12，13
2. 下列四边形不是轴对称的图形是( )
A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 圆
3. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
4. 菱形ABCD中，对角线长度分别为6和8，则菱形的面积是( )
A. 24 B. 12 C. 36 D. 10
5. 如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯顶A距地面4米，若梯子沿墙下滑1米，则梯足B外滑米．( )
A. 0.6
B. 0.8
C. 1
D. 2
6. 一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为( )
A. 4 B. 34 C. 4或 34 D. 2
7. 如图，在矩形ABCD中，△ADE沿AE折叠交BC于F，AD=10，∠DAE=15°，则CD长为( )
A. 5
B. 4
C. 5 3
D. 6
8. 下列说法正确的是( )
A. 一组对边平行且一组邻角相等的四边形是平行四边形
B. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
9. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且两条对角线的和为36cm，AB的长为5cm，则△OCD的周长为( )
A. 23cm B. 31cm C. 25cm D. 13cm
10. 如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，点E、F分别在直角边AB、AC上，且∠EDF=90°，连接EF、AD.下列结论：
①图中全等三角形共有三对；
②∠DEF=45°；
③三角形ABC的面积等于四边形AEDF面积的2倍；
④AE+AF= 2BD．
其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 将数字0.000000005用科学记数法可表示为______ ．
12. 把多项式ax2−9a分解因式的结果是______ ．
13. 计算 18+ 82的结果为______ ．
14. 若分式x−1x+1有意义，则x的取值范围是 ．
15. 如图，若菱形ABCD的边长为4，其中∠DAB=60°，则对角线AC长度为______ ．
16. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，若AC=8，则四边形CODE的周长是______．
17. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB=3cm，ED=1cm，则平行四边形ABCD的周长是______ ．
18. 如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=23BC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是______．
19. 已知，在菱形ABCD中，∠ABC=100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD=20°，则∠PDC的度数为 ．
20. 已知：如图，点E在矩形ABCD的边AB的垂直平分线上，连接AE、CE，若CD=8，AE=2 5，CE=2 13，则BC= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题7.0分)
先化简，再求值：(1+1m−2)÷m2−12m−4，其中m= 2−1．
22. (本小题7.0分)
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出以AB为一边的等腰直角△ABE，点E在小正方形的顶点上，且∠B为直角；
(2)在方格纸中画出以CD为腰的等腰△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为10.连接EF，请直接写出线段EF的长．
23. (本小题8.0分)
如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港口出发捕鱼，甲船以每小时15 2千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B处相遇．
(1)求∠B的度数；
(2)求乙船航行多少小时被甲船追上．
24. (本小题8.0分)
如图1，在平行四边形ABCD中，连接AC，点E为线段AD中点，连接CE并延长与BA的延长线交于F，连接DF．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)如图2，若∠ACD=90°，写出所有不含DF边的等腰三角形．
25. (本小题10.0分)
爱心企业要为学校图书馆提供书籍，计划购买科普、文学两种书籍.若购买8本科普书和5本文学书需用220元；若购买4本科普书和6本文学书需用152元．
(1)求每本科普、文学书各多少元？
(2)爱心企业决定购买科普、文学两种书籍35本，总费用不超过540元，那么最多可以购买多少本科普书？
26. (本小题10.0分)
我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)写出你所学过的四边形中是勾股四边形的图形的名称______ ；(在平行四边形，矩形，菱形中选择)
(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(3,0)，B(0,4)，请你画出以上述格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；并写出M点的坐标；连接OM，直接写出OM的长度；
(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD、DC，∠DCB=30°，求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
27. (本小题10.0分)
如图1，已知：四边形ABCD中，AD=BC，∠ADB=∠DBC．
(1)求证：AB=CD；
(2)如图2，当∠ADB=90°时，F是AB上一点，E是BC上一点，CF交DB于H，交DE于点G，BH=CE，BD=BE+2BH，求∠CGE的度数；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接HE，∠EDB−∠CDE=2∠CHE，DC−BE=9，求HG的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、∵42+52=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵1+1=2，
∴不能构成三角形，
故B不符合题意；
C、∵82+62=100，112=121，
∴82+62≠112，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：菱形、矩形、圆能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
平行四边形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE=3cm，即可求得AB=6cm．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴AB=2OE=2×3=6(cm)
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24，
故选：A．
由菱形的面积公式可求得答案．
本题主要考查菱形的面积，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，
由题意可知，AB=CD=5米，∠AOB=90°，AC=1米，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO= AB2−AO2= 52−42=3(米)，
在Rt△COD中，CO=AO−AC=4−1=3(米)，
由勾股定理得：DO= CD2−CO2= 52−32=4(米)，
∴BD=DO−BO=4−3=1(米)．
即梯足B外滑1米，
故选：C．
由勾股定理得BO=3米，再由勾股定理得DO=4米，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出BO和DO的长是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是4；
②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 32+52= 34．
故选：C．
因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论．
注意此类题一点要分情况进行讨论，熟练运用勾股定理进行求解．
7.【答案】A
【解析】解：∵将△ADE沿AE折叠交BC于F，
∴∠DAE=∠EAF=15°，AD=AF=10，
∴∠DAF=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//CB，AB=CD，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AFB=30°，
∴AB=12AF=5，
故选：A．
根据翻折的性质和平行线的性质可得∠DAF=∠AFB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、一组对边平行且一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A不符合题意，
反例：等腰梯形；
B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形，
∴对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故选项B不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
由矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5cm，
∴OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，AB=CD=5cm，
∵AC+BD=36cm，
∴OC+OD=18cm，
∴△OCD的周长是OC+OD+CD=18+5=23(cm)，
故选：A．
根据平行四边形的性质得出OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，求出OC+OD的值，代入OC+OD+CD求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=CD，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
在△ABD和△ACD中，
AD=AD∠ADB=∠ADCDB=DC，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
∠B=∠DAFBD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
同理可得△ADE≌△CDF，
图中全等三角形共有三对，所以①正确；
∵△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，
而∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，所以②正确；
∵△BDE≌△ADF，
∴S△BDE=S△ADF，
∴四边形AEDF面积=S△ABD，
∵S△ABC=2S△ABD，
∴三角形ABC的面积等于四边形AEDF面积的2倍；所以③正确；
∵△BDE≌△ADF，
∴BE=AF，
∴AE+AF=AE+BE=AB，
∵AB= 2BD，
∴AE+AF= 2BD，所以④正确．
故选：D．
先根据等腰直角三角形的性质得到AD⊥BC，AD=BD=CD，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，则利用“SAS”可判断△ABD≌△ACD，接着证明∠BDE=∠ADF，则可判断△BDE≌△ADF，同理可得△ADE≌△CDF，于是可对①进行判断；由△BDE≌△ADF得到DE=DF，则可判断△DEF为等腰直角三角形，于是可对②进行判断；由于△BDE≌△ADF得S△BDE=S△ADF，所以四边形AEDF面积=S△ABD，从而可对③进行判断；由于△BDE≌△ADF，所以BE=AF，则AE+AF=AB，然后利用等腰直角三角形的性质可对④进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰直角三角形的性质．
11.【答案】5×10−9
【解析】解：0.000000005=5×10−9．
故答案为：5×10−9．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
12.【答案】a(x−3)(x+3)
【解析】解：ax2−9a
=a(x2−9)
=a(x−3)(x+3)，
故答案为：a(x−3)(x+3)．
先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】4 2
【解析】解：原式=3 2+2 22
=3 2+ 2
=4 2．
故答案为：4 2．
先化简二次根式，再合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键．
14.【答案】x≠−1
【解析】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1．
故答案为：x≠−1．
根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．
15.【答案】4 3
【解析】解：设AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，AD=AB=4，
而∠DAB=60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴OD=12OA=2，
∴OA= AD2−OD2= 42−22=2 3，
∴AC=2OA=4 3，
故答案为：4 3．
设AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC，AD=AB=4，则可判断△ADB为等边三角形，根据等边三角形的性质得OA=2 3，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了等边三角形的判定与性质．
16.【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=8，AO=CO，BO=DO，
∴OC=OD=OA=OB=4，
∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形DOCE是平行四边形，
又∵OD=OC，
∴四边形DOCE是菱形，
∴四边形CODE的周长=4×4=16，
故答案为16．
由矩形的性质可得OC=OD=OA=OB=4，通过证明四边形DOCE是菱形，可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
17.【答案】14cm
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=3cm，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3cm，
∵DE=1cm，
∴AD=BC=4cm，
∴平行四边形ABCD的周长是2(3+4)=14cm．
故答案为14cm．
首先证明AB=AE，求出AD，再利用平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】5cm
【解析】解：侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm，
∵PC′=23BC′，
∴PC′=23×6=4cm，
在Rt△AC′P中，
AP2=AC′2+CP2，
∴AP= 32+42=5．
故答案为：5cm．
首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=23BC，求出PC′=23×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．
此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
19.【答案】30°或70°
【解析】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=100°，对角线AC和BD相交于点O，
∴AC，BD互相垂直平分，
∵∠ABC=∠ADC=100°，
∴∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO=12×100°=50°，
当点P如下图P点所在位置时：
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB=20°，
∴∠PDC=50°−20°=30°；
当点P如下图P′点所在位置时：
∵P′B=P′D，
∴∠P′BD=∠P′DB=20°，
∴∠P′DC=∠P′DB+∠CDO=70°；
综上：∠PDC的度数为30°或70°，
故答案为：30°或70°．
根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可．
本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论．
20.【答案】4
【解析】解：作EF⊥AB于点F，作EG⊥CB，交CB的延长线于点G，
∵点E在矩形ABCD的边AB的垂直平分线上，CD=8，AE=2 5，CE=2 13，
∴AF=4，BF=EG=4，
∵∠AFE=90°，∠EGC=90°，
∴EF= AE2−AF2= (2 5)2−42=2，
CG= EC2−EG2= (2 13)2−42=6，
∴GB=EF=2，
∴BC=CG−GB=6−2=4，
故答案为：4．
根据题意，先作出辅助线，然后根据勾股定理可以求得EF和CG的长，然后即可得到BC的长．
本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：原式=(m−2m−2+1m−2)÷(m+1)(m−1)2(m−2)，
=m−1m−2⋅2(m−2)(m+1)(m−1)，
=2m+1．
当m= 2−1时，原式=2 2−1+1= 2．
【解析】先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把m的值代入化简结果计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)AB=BE= 12+32= 10，AB2+BE2=20=AE2，
∴∠B=90°，如图所示：△ABE即为所求；
(2)∵CD= 32+42=5，
12×5×4=10，CF=5，
△CDF即为所求，
如图2所示；
由勾股定理得：EF= 12+32= 10．
【解析】(1)由勾股定理得出 12+32= 10，由勾股定理的定理得出∠B=90°，画出图形即可；
(2)由勾股定理得出CD= 32+42=5，由12×5×4=10，CF=5，得出△CDF即为所求；由勾股定理求出EF即可．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理，并能进行计算与作图是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)如图：
由题意得：
∠FAB=∠BAE=45°，∠BCN=90°−75°=15°，∠DAC=30°，MN//DE，
∴∠NCA=∠DAC=30°，
∴∠BCA=∠BCN+∠NCA=45°，
∵∠CAB=180°−∠DAC−∠BAE=105°，
∴∠B=180°−∠CAB−∠BCA=30°，
∴∠B的度数为30°；
(2)过点A作AG⊥CB，垂足为G，
由题意得：AC=2×15 2=30 2(千米)，
在Rt△ACG中，∠BCA=45°，
∴AG=AC⋅sin45°=30 2× 22=30(千米)，
CG=AC⋅cos45°=30 2× 22=30(千米)，
在Rt△ABG中，∠B=30°，
∴AB=2AG=60(千米)，
∴60÷15=4(小时)，
∴乙船航行4小时被甲船追上．
【解析】(1)根据题意可得：∠FAB=∠BAE=45°，∠BCN=90°−75°=15°，∠DAC=30°，MN//DE，从而可得∠NCA=∠DAC=30°，进而可得∠BCA=45°，然后利用平角定义求出∠CAB=105°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；
(2)过点A作AG⊥CB，垂足为G，根据题意可得：AC=30 2千米，然后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG，CG的长，再在Rt△ABG中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AB的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵平行四边形ABCD中，E是AD的中点，
∴AE=ED，BF//CD，
∴∠FAE=∠CDE，
在△AEF和△DCE中，
∠FAE=∠CDEAE=ED∠AEF=∠DEC，
∴△AEF≌△DCE(ASA)，
∴AF=CD，
又BF//CD，
即AF//CD，
∴四边形ACDF是平行四边形；
(2)解：∵四边形ACDF是平行四边形，∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴AD=CF，AE=DE，EF=CE，
∴AE=DE=EF=CE，
∴所有的等腰三角形为△ACE，△AEF，△CDE(舍去等腰三角形△DEF边)．
【解析】(1)由已知平行四边形ABCD中，E是AD的中点，可得AE=ED，BF//CD，则∠FAE=∠CDE，所以AF=CD，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得其为平行四边形；
(2)证得四边形ACDF是矩形，根据矩形的性质得到AE=DE，EF=CE，即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25.【答案】解：(1)设每本科普书x元，文学书y元，
根据题意得：8x+5y=2204x+6y=152，
解得：x=20y=12．
答：每本科普书20元，文学书12元；
(2)设购买m本科普书，则购买(35−m)本文学书，
根据题意得：20m+12(35−m)≤540，
解得：m≤15，
∴m的最大值为15．
答：最多可以购买15本科普书．
【解析】(1)设每本科普书x元，文学书y元，根据“购买8本科普书和5本文学书需用220元；购买4本科普书和6本文学书需用152元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m本科普书，则购买(35−m)本文学书，利用总价=单价×数量，结合总价不超过540元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】矩形
【解析】(1)解：矩形．理由是矩形的对角线等于邻边的平方和．
故答案为：矩形；
(2)解：答案如图所示．M(3,4)或M′(4,3)；
(3)证明：连接EC，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
即四边形ABCD是勾股四边形．
(1)只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．
(2)OM=AB知以格点为顶点的M共两个：M(3,4)或M(4,3)．
(3)欲证明DC2+BC2=AC2，只需证明∠DCE=90°．
本题考查勾股定理，及考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
27.【答案】(1)证明：∵∠ADB=∠DBC，
∴AD//BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD；
(2)解：方法一，如图1，
延长AD至Q，使DQ=CE，连接CQ，
∵BH=CE，
∴BH=DQ，
∵BD=BH+DH，BD=BE+2BH，
∴BE+2BH=BH+DH，
∴BE+BH=DH，
∴BE+CE=DH，
∴BC=DH，
由(1)得：AD//BC，
∴四边形CEDQ是平行四边形，
∴∠HDQ=180°−∠DBC=90°，DE//CQ，
∴∠HDQ=∠CBH=90°，∠CGE=∠HCQ，
∴△CBH≌△HDQ(SAS)，
∴HQ=HC，∠DHQ=∠BCH，
∴∠DHQ+∠BHC=∠BCH+∠BHC=90°，
∴∠QHC=90°，
∴∠HCQ=∠CQH=45°，
∴∠CGE=45°，
方法二，如图，
作CR⊥AD，交AD的延长线于R，作HV⊥CR于V，连接DV，作VX⊥DE于X，连接CX，XH，
可得∠HDR=∠R=∠HVR=90°，
∴四边形HVRD是矩形，
可得矩形BCVH，
∴HV=BC，VC=BH=CE，∠BCV=90°，
∴∠VEC=45°，
由上可知：DH=BC，
∴DH=HV，
∴矩形DHVR是正方形，
∴∠DVH=45°，
∵∠VXG+∠BCV=90°+90°=180°，
∴点X、E、C、V共圆，
∴∠CXE=∠VEC=45°，
∵∠DHV=∠DXV=90°，
∴D、H、X、V共圆，
∴∠DXH=∠DVH=45°，
∴∠DXH=∠CXE，
∴H、X、C共线，此时X在G处，
∴∠CEG=45°；
(3)解：如图4，
作EQ//CD，交AD于Q，交BD于O，作HT⊥EQ于H，
可得四边形CEQD是平行四边形，∠CDE=∠DEQ，
∴DQ=CE=BH，
∵∠DBE=90°，
∴∠BDE+∠BED=90°，
∴∠BDE+∠BEH+∠DEQ=90°，
∴∠BDE+∠BEH+∠CDE=90°①，
∵∠CGE是∠HGE的外角，
∴∠CHE+∠HEG=∠CGE，
∴∠CHE+∠TEH+∠DEQ=45°，
∴∠CHE+∠TEH+∠CDE=45°②，
又∠BDE−∠CDE=2∠CHE③，
由①②③得，
∠BEH=∠TEH，
∴BH=HT，BE=ET，
∴DQ=HT，
∵CD−BE=9，
∴EQ−ET=9，
∴QT=9，
∵∠QDO=∠OTH=90°，∠DOQ=∠HOT，
∴△DOQ≌△TOH(AAS)，
∴OD=OT，OQ=OH，
∴OT+OQ=OD+OH，
∴DH=QT=9，
∴BC=DH=9，
设CE=BH=x，则BD=9+x，BE=ET=9−x，
∴CD=EQ=ET+TQ=(9−x)+9=18−x，
在Rt△BCD中，BC=9，CD=18−x，BD=9+x，
∴(18−x)2−(9+x)2=92，
∴x=3，
∴CE=BH=3，
∴CH= BH2+BC2=3 10，
如图5，
作EP⊥CG于P，
∴PG=PE=CE⋅sin∠BCH=3⋅BHCH=3×33 10=3 1010，
PC=3⋅cos∠BCH=3⋅BCCH=9 1010，
∴GH=CH−PC−PG=3 10−3 1010−9 1010=9 105．
【解析】(1)可证明四边形ABCD是平行四边形，从而得出结论；
(2)延长AD至Q，使DQ=CE，连接CQ，可证明△CBH≌△HDQ，从而HQ=HC，∠DHQ=∠BCH，进而证得△CHQ是等腰直角三角形，进一步得出结果；
(3)作EQ//CD，交AD于Q，交BD于O，作HT⊥EQ于H，可得出∠BDE+∠BEH+∠CDE=90°①，∠CHE+∠TEH+∠CDE=45°②，∠BDE−∠CDE=2∠CHE③，从而推出∠BEH=∠TEH，从而得出依次推出BH=HT，BE=ET，DQ=HT，QT=9，可证得△DOQ≌△TOH，从而OD=OT，OQ=OH，进而得出DH=QT=BC=9，设CE=BH=x，则BD=9+x，BE=ET=9−x，CD=EQ=ET+TQ=(9−x)+9=18−x，从而在Rt△BCD中根据勾股定理列出方程求得x的值，进一步得出结果．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形以及根据角之间的数量关系，倒角出角的平分线．
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A. 4，5，6 B. 1，1，2 C. 6，8，11 D. 5，12，13
2. 下列四边形不是轴对称的图形是( )
A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 圆
3. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
4. 菱形ABCD中，对角线长度分别为6和8，则菱形的面积是( )
A. 24 B. 12 C. 36 D. 10
5. 如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯顶A距地面4米，若梯子沿墙下滑1米，则梯足B外滑米．( )
A. 0.6
B. 0.8
C. 1
D. 2
6. 一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为( )
A. 4 B. 34 C. 4或 34 D. 2
7. 如图，在矩形ABCD中，△ADE沿AE折叠交BC于F，AD=10，∠DAE=15°，则CD长为( )
A. 5
B. 4
C. 5 3
D. 6
8. 下列说法正确的是( )
A. 一组对边平行且一组邻角相等的四边形是平行四边形
B. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
9. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且两条对角线的和为36cm，AB的长为5cm，则△OCD的周长为( )
A. 23cm B. 31cm C. 25cm D. 13cm
10. 如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，点E、F分别在直角边AB、AC上，且∠EDF=90°，连接EF、AD.下列结论：
①图中全等三角形共有三对；
②∠DEF=45°；
③三角形ABC的面积等于四边形AEDF面积的2倍；
④AE+AF= 2BD．
其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 将数字0.000000005用科学记数法可表示为______ ．
12. 把多项式ax2−9a分解因式的结果是______ ．
13. 计算 18+ 82的结果为______ ．
14. 若分式x−1x+1有意义，则x的取值范围是 ．
15. 如图，若菱形ABCD的边长为4，其中∠DAB=60°，则对角线AC长度为______ ．
16. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，若AC=8，则四边形CODE的周长是______．
17. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB=3cm，ED=1cm，则平行四边形ABCD的周长是______ ．
18. 如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=23BC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是______．
19. 已知，在菱形ABCD中，∠ABC=100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD=20°，则∠PDC的度数为 ．
20. 已知：如图，点E在矩形ABCD的边AB的垂直平分线上，连接AE、CE，若CD=8，AE=2 5，CE=2 13，则BC= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题7.0分)
先化简，再求值：(1+1m−2)÷m2−12m−4，其中m= 2−1．
22. (本小题7.0分)
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出以AB为一边的等腰直角△ABE，点E在小正方形的顶点上，且∠B为直角；
(2)在方格纸中画出以CD为腰的等腰△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为10.连接EF，请直接写出线段EF的长．
23. (本小题8.0分)
如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港口出发捕鱼，甲船以每小时15 2千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B处相遇．
(1)求∠B的度数；
(2)求乙船航行多少小时被甲船追上．
24. (本小题8.0分)
如图1，在平行四边形ABCD中，连接AC，点E为线段AD中点，连接CE并延长与BA的延长线交于F，连接DF．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)如图2，若∠ACD=90°，写出所有不含DF边的等腰三角形．
25. (本小题10.0分)
爱心企业要为学校图书馆提供书籍，计划购买科普、文学两种书籍.若购买8本科普书和5本文学书需用220元；若购买4本科普书和6本文学书需用152元．
(1)求每本科普、文学书各多少元？
(2)爱心企业决定购买科普、文学两种书籍35本，总费用不超过540元，那么最多可以购买多少本科普书？
26. (本小题10.0分)
我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)写出你所学过的四边形中是勾股四边形的图形的名称______ ；(在平行四边形，矩形，菱形中选择)
(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(3,0)，B(0,4)，请你画出以上述格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；并写出M点的坐标；连接OM，直接写出OM的长度；
(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD、DC，∠DCB=30°，求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
27. (本小题10.0分)
如图1，已知：四边形ABCD中，AD=BC，∠ADB=∠DBC．
(1)求证：AB=CD；
(2)如图2，当∠ADB=90°时，F是AB上一点，E是BC上一点，CF交DB于H，交DE于点G，BH=CE，BD=BE+2BH，求∠CGE的度数；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接HE，∠EDB−∠CDE=2∠CHE，DC−BE=9，求HG的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、∵42+52=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵1+1=2，
∴不能构成三角形，
故B不符合题意；
C、∵82+62=100，112=121，
∴82+62≠112，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：菱形、矩形、圆能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
平行四边形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE=3cm，即可求得AB=6cm．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴AB=2OE=2×3=6(cm)
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24，
故选：A．
由菱形的面积公式可求得答案．
本题主要考查菱形的面积，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，
由题意可知，AB=CD=5米，∠AOB=90°，AC=1米，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO= AB2−AO2= 52−42=3(米)，
在Rt△COD中，CO=AO−AC=4−1=3(米)，
由勾股定理得：DO= CD2−CO2= 52−32=4(米)，
∴BD=DO−BO=4−3=1(米)．
即梯足B外滑1米，
故选：C．
由勾股定理得BO=3米，再由勾股定理得DO=4米，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出BO和DO的长是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是4；
②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 32+52= 34．
故选：C．
因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论．
注意此类题一点要分情况进行讨论，熟练运用勾股定理进行求解．
7.【答案】A
【解析】解：∵将△ADE沿AE折叠交BC于F，
∴∠DAE=∠EAF=15°，AD=AF=10，
∴∠DAF=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//CB，AB=CD，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AFB=30°，
∴AB=12AF=5，
故选：A．
根据翻折的性质和平行线的性质可得∠DAF=∠AFB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、一组对边平行且一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A不符合题意，
反例：等腰梯形；
B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形，
∴对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故选项B不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
由矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5cm，
∴OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，AB=CD=5cm，
∵AC+BD=36cm，
∴OC+OD=18cm，
∴△OCD的周长是OC+OD+CD=18+5=23(cm)，
故选：A．
根据平行四边形的性质得出OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，求出OC+OD的值，代入OC+OD+CD求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=CD，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
在△ABD和△ACD中，
AD=AD∠ADB=∠ADCDB=DC，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
∠B=∠DAFBD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
同理可得△ADE≌△CDF，
图中全等三角形共有三对，所以①正确；
∵△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，
而∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，所以②正确；
∵△BDE≌△ADF，
∴S△BDE=S△ADF，
∴四边形AEDF面积=S△ABD，
∵S△ABC=2S△ABD，
∴三角形ABC的面积等于四边形AEDF面积的2倍；所以③正确；
∵△BDE≌△ADF，
∴BE=AF，
∴AE+AF=AE+BE=AB，
∵AB= 2BD，
∴AE+AF= 2BD，所以④正确．
故选：D．
先根据等腰直角三角形的性质得到AD⊥BC，AD=BD=CD，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，则利用“SAS”可判断△ABD≌△ACD，接着证明∠BDE=∠ADF，则可判断△BDE≌△ADF，同理可得△ADE≌△CDF，于是可对①进行判断；由△BDE≌△ADF得到DE=DF，则可判断△DEF为等腰直角三角形，于是可对②进行判断；由于△BDE≌△ADF得S△BDE=S△ADF，所以四边形AEDF面积=S△ABD，从而可对③进行判断；由于△BDE≌△ADF，所以BE=AF，则AE+AF=AB，然后利用等腰直角三角形的性质可对④进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰直角三角形的性质．
11.【答案】5×10−9
【解析】解：0.000000005=5×10−9．
故答案为：5×10−9．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
12.【答案】a(x−3)(x+3)
【解析】解：ax2−9a
=a(x2−9)
=a(x−3)(x+3)，
故答案为：a(x−3)(x+3)．
先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】4 2
【解析】解：原式=3 2+2 22
=3 2+ 2
=4 2．
故答案为：4 2．
先化简二次根式，再合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键．
14.【答案】x≠−1
【解析】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠−1．
故答案为：x≠−1．
根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．
15.【答案】4 3
【解析】解：设AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，AD=AB=4，
而∠DAB=60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴OD=12OA=2，
∴OA= AD2−OD2= 42−22=2 3，
∴AC=2OA=4 3，
故答案为：4 3．
设AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC，AD=AB=4，则可判断△ADB为等边三角形，根据等边三角形的性质得OA=2 3，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了等边三角形的判定与性质．
16.【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=8，AO=CO，BO=DO，
∴OC=OD=OA=OB=4，
∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形DOCE是平行四边形，
又∵OD=OC，
∴四边形DOCE是菱形，
∴四边形CODE的周长=4×4=16，
故答案为16．
由矩形的性质可得OC=OD=OA=OB=4，通过证明四边形DOCE是菱形，可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
17.【答案】14cm
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=3cm，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3cm，
∵DE=1cm，
∴AD=BC=4cm，
∴平行四边形ABCD的周长是2(3+4)=14cm．
故答案为14cm．
首先证明AB=AE，求出AD，再利用平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】5cm
【解析】解：侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm，
∵PC′=23BC′，
∴PC′=23×6=4cm，
在Rt△AC′P中，
AP2=AC′2+CP2，
∴AP= 32+42=5．
故答案为：5cm．
首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=23BC，求出PC′=23×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．
此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
19.【答案】30°或70°
【解析】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=100°，对角线AC和BD相交于点O，
∴AC，BD互相垂直平分，
∵∠ABC=∠ADC=100°，
∴∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO=12×100°=50°，
当点P如下图P点所在位置时：
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB=20°，
∴∠PDC=50°−20°=30°；
当点P如下图P′点所在位置时：
∵P′B=P′D，
∴∠P′BD=∠P′DB=20°，
∴∠P′DC=∠P′DB+∠CDO=70°；
综上：∠PDC的度数为30°或70°，
故答案为：30°或70°．
根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可．
本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论．
20.【答案】4
【解析】解：作EF⊥AB于点F，作EG⊥CB，交CB的延长线于点G，
∵点E在矩形ABCD的边AB的垂直平分线上，CD=8，AE=2 5，CE=2 13，
∴AF=4，BF=EG=4，
∵∠AFE=90°，∠EGC=90°，
∴EF= AE2−AF2= (2 5)2−42=2，
CG= EC2−EG2= (2 13)2−42=6，
∴GB=EF=2，
∴BC=CG−GB=6−2=4，
故答案为：4．
根据题意，先作出辅助线，然后根据勾股定理可以求得EF和CG的长，然后即可得到BC的长．
本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：原式=(m−2m−2+1m−2)÷(m+1)(m−1)2(m−2)，
=m−1m−2⋅2(m−2)(m+1)(m−1)，
=2m+1．
当m= 2−1时，原式=2 2−1+1= 2．
【解析】先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把m的值代入化简结果计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)AB=BE= 12+32= 10，AB2+BE2=20=AE2，
∴∠B=90°，如图所示：△ABE即为所求；
(2)∵CD= 32+42=5，
12×5×4=10，CF=5，
△CDF即为所求，
如图2所示；
由勾股定理得：EF= 12+32= 10．
【解析】(1)由勾股定理得出 12+32= 10，由勾股定理的定理得出∠B=90°，画出图形即可；
(2)由勾股定理得出CD= 32+42=5，由12×5×4=10，CF=5，得出△CDF即为所求；由勾股定理求出EF即可．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理，并能进行计算与作图是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)如图：
由题意得：
∠FAB=∠BAE=45°，∠BCN=90°−75°=15°，∠DAC=30°，MN//DE，
∴∠NCA=∠DAC=30°，
∴∠BCA=∠BCN+∠NCA=45°，
∵∠CAB=180°−∠DAC−∠BAE=105°，
∴∠B=180°−∠CAB−∠BCA=30°，
∴∠B的度数为30°；
(2)过点A作AG⊥CB，垂足为G，
由题意得：AC=2×15 2=30 2(千米)，
在Rt△ACG中，∠BCA=45°，
∴AG=AC⋅sin45°=30 2× 22=30(千米)，
CG=AC⋅cos45°=30 2× 22=30(千米)，
在Rt△ABG中，∠B=30°，
∴AB=2AG=60(千米)，
∴60÷15=4(小时)，
∴乙船航行4小时被甲船追上．
【解析】(1)根据题意可得：∠FAB=∠BAE=45°，∠BCN=90°−75°=15°，∠DAC=30°，MN//DE，从而可得∠NCA=∠DAC=30°，进而可得∠BCA=45°，然后利用平角定义求出∠CAB=105°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；
(2)过点A作AG⊥CB，垂足为G，根据题意可得：AC=30 2千米，然后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG，CG的长，再在Rt△ABG中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AB的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵平行四边形ABCD中，E是AD的中点，
∴AE=ED，BF//CD，
∴∠FAE=∠CDE，
在△AEF和△DCE中，
∠FAE=∠CDEAE=ED∠AEF=∠DEC，
∴△AEF≌△DCE(ASA)，
∴AF=CD，
又BF//CD，
即AF//CD，
∴四边形ACDF是平行四边形；
(2)解：∵四边形ACDF是平行四边形，∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴AD=CF，AE=DE，EF=CE，
∴AE=DE=EF=CE，
∴所有的等腰三角形为△ACE，△AEF，△CDE(舍去等腰三角形△DEF边)．
【解析】(1)由已知平行四边形ABCD中，E是AD的中点，可得AE=ED，BF//CD，则∠FAE=∠CDE，所以AF=CD，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得其为平行四边形；
(2)证得四边形ACDF是矩形，根据矩形的性质得到AE=DE，EF=CE，即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25.【答案】解：(1)设每本科普书x元，文学书y元，
根据题意得：8x+5y=2204x+6y=152，
解得：x=20y=12．
答：每本科普书20元，文学书12元；
(2)设购买m本科普书，则购买(35−m)本文学书，
根据题意得：20m+12(35−m)≤540，
解得：m≤15，
∴m的最大值为15．
答：最多可以购买15本科普书．
【解析】(1)设每本科普书x元，文学书y元，根据“购买8本科普书和5本文学书需用220元；购买4本科普书和6本文学书需用152元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m本科普书，则购买(35−m)本文学书，利用总价=单价×数量，结合总价不超过540元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】矩形
【解析】(1)解：矩形．理由是矩形的对角线等于邻边的平方和．
故答案为：矩形；
(2)解：答案如图所示．M(3,4)或M′(4,3)；
(3)证明：连接EC，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
即四边形ABCD是勾股四边形．
(1)只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．
(2)OM=AB知以格点为顶点的M共两个：M(3,4)或M(4,3)．
(3)欲证明DC2+BC2=AC2，只需证明∠DCE=90°．
本题考查勾股定理，及考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
27.【答案】(1)证明：∵∠ADB=∠DBC，
∴AD//BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD；
(2)解：方法一，如图1，
延长AD至Q，使DQ=CE，连接CQ，
∵BH=CE，
∴BH=DQ，
∵BD=BH+DH，BD=BE+2BH，
∴BE+2BH=BH+DH，
∴BE+BH=DH，
∴BE+CE=DH，
∴BC=DH，
由(1)得：AD//BC，
∴四边形CEDQ是平行四边形，
∴∠HDQ=180°−∠DBC=90°，DE//CQ，
∴∠HDQ=∠CBH=90°，∠CGE=∠HCQ，
∴△CBH≌△HDQ(SAS)，
∴HQ=HC，∠DHQ=∠BCH，
∴∠DHQ+∠BHC=∠BCH+∠BHC=90°，
∴∠QHC=90°，
∴∠HCQ=∠CQH=45°，
∴∠CGE=45°，
方法二，如图，
作CR⊥AD，交AD的延长线于R，作HV⊥CR于V，连接DV，作VX⊥DE于X，连接CX，XH，
可得∠HDR=∠R=∠HVR=90°，
∴四边形HVRD是矩形，
可得矩形BCVH，
∴HV=BC，VC=BH=CE，∠BCV=90°，
∴∠VEC=45°，
由上可知：DH=BC，
∴DH=HV，
∴矩形DHVR是正方形，
∴∠DVH=45°，
∵∠VXG+∠BCV=90°+90°=180°，
∴点X、E、C、V共圆，
∴∠CXE=∠VEC=45°，
∵∠DHV=∠DXV=90°，
∴D、H、X、V共圆，
∴∠DXH=∠DVH=45°，
∴∠DXH=∠CXE，
∴H、X、C共线，此时X在G处，
∴∠CEG=45°；
(3)解：如图4，
作EQ//CD，交AD于Q，交BD于O，作HT⊥EQ于H，
可得四边形CEQD是平行四边形，∠CDE=∠DEQ，
∴DQ=CE=BH，
∵∠DBE=90°，
∴∠BDE+∠BED=90°，
∴∠BDE+∠BEH+∠DEQ=90°，
∴∠BDE+∠BEH+∠CDE=90°①，
∵∠CGE是∠HGE的外角，
∴∠CHE+∠HEG=∠CGE，
∴∠CHE+∠TEH+∠DEQ=45°，
∴∠CHE+∠TEH+∠CDE=45°②，
又∠BDE−∠CDE=2∠CHE③，
由①②③得，
∠BEH=∠TEH，
∴BH=HT，BE=ET，
∴DQ=HT，
∵CD−BE=9，
∴EQ−ET=9，
∴QT=9，
∵∠QDO=∠OTH=90°，∠DOQ=∠HOT，
∴△DOQ≌△TOH(AAS)，
∴OD=OT，OQ=OH，
∴OT+OQ=OD+OH，
∴DH=QT=9，
∴BC=DH=9，
设CE=BH=x，则BD=9+x，BE=ET=9−x，
∴CD=EQ=ET+TQ=(9−x)+9=18−x，
在Rt△BCD中，BC=9，CD=18−x，BD=9+x，
∴(18−x)2−(9+x)2=92，
∴x=3，
∴CE=BH=3，
∴CH= BH2+BC2=3 10，
如图5，
作EP⊥CG于P，
∴PG=PE=CE⋅sin∠BCH=3⋅BHCH=3×33 10=3 1010，
PC=3⋅cos∠BCH=3⋅BCCH=9 1010，
∴GH=CH−PC−PG=3 10−3 1010−9 1010=9 105．
【解析】(1)可证明四边形ABCD是平行四边形，从而得出结论；
(2)延长AD至Q，使DQ=CE，连接CQ，可证明△CBH≌△HDQ，从而HQ=HC，∠DHQ=∠BCH，进而证得△CHQ是等腰直角三角形，进一步得出结果；
(3)作EQ//CD，交AD于Q，交BD于O，作HT⊥EQ于H，可得出∠BDE+∠BEH+∠CDE=90°①，∠CHE+∠TEH+∠CDE=45°②，∠BDE−∠CDE=2∠CHE③，从而推出∠BEH=∠TEH，从而得出依次推出BH=HT，BE=ET，DQ=HT，QT=9，可证得△DOQ≌△TOH，从而OD=OT，OQ=OH，进而得出DH=QT=BC=9，设CE=BH=x，则BD=9+x，BE=ET=9−x，CD=EQ=ET+TQ=(9−x)+9=18−x，从而在Rt△BCD中根据勾股定理列出方程求得x的值，进一步得出结果．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形以及根据角之间的数量关系，倒角出角的平分线．
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