专题05 直线方程重难点题型巩固（高考真题专练）（解析版）

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专题05 直线方程重难点题型巩固
题型一 概念梳理（多选题）
1．过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：当直线经过原点时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
当直线不过原点时，设直线的方程为，
代入点可得，
所以所求直线方程为，即．
综上可得，所求直线方程为：或．
故选：．
2．已知直线，，则下列说法正确的是　　
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：已知直线，，
若，则，求得 或，故正确，不正确．
若，则，求得，故不正确，正确，
故选：．
3．下列说法正确的是　　
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过，，，两点的直线方程为
C．直线与直线相互垂直
D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
【解答】解：直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故正确；
当或时，式子无意义，故不正确；
线与直线的斜率之积为，故线与直线垂直，故正确；
经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为或，故错误，
故选：．
4．已知直线和直线，下列说法正确的是　　
A．始终过定点
B．若，则或
C．若，则或2
D．当时，始终不过第三象限
【解答】解：过点，正确；
当时，，重合，故错误；
由，得或2，故正确；
始终过，斜率为负，不会过第三象限，故正确．
故选：．
5．下列说法正确的是　　
A．不能表示过点，且斜率为的直线方程
B．在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为
C．直线与轴的交点到原点的距离为
D．过两点，，的直线方程为
【解答】解： 表示过点，且斜率为的两条射线（以为端点，不含点方程，故正确；
在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为，但当或时，不能用此方程，故错误；
直线与轴的交点到原点的距离为，故错误；
过两点，，的直线方程为（不含、两点），
转化为，故正确，
故选：．
6．下面说法中错误的是　　
A．经过定点，的直线都可以用方程表示
B．经过定点，的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
E．经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示
【解答】解：当直线的斜率不存在时，经过定点，的直线方程为，不能写成的形式，故错误．
当直线的斜率等于零时，经过定点，的直线方程为，不能写成 的形式，故错误．
当直线的斜率不存在时，经过定点的直线都方程为，不能用方程表示，故错误．
不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为的形式，故错误．
经过任意两个不同的点，，，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，
能用方程表示；
当直线的斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示，故正确，
故选：．

题型二 直线过定点问题
7．已知直线为实数）过定点，则点的坐标为　　．
【解答】解：直线为实数），即，
该直线经过 和的交点，
故答案为：．
8．设直线的方程为，则直线经过定点　　；若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为　　．
【解答】解：直线的方程为，即，
令，求得，，可得该直线经过定点．
由于直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，方程为，即．
若直线不过原点，设它的方程为，再把点代入，求得，
故直线的方程为．
综上可得，直线的方程为，或．
9．已知直线过定点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
【解答】解：（1）直线与直线垂直，设直线的方程，将定点代入可得，解得，
故直线的方程为；
（2）①当直线经过原点时，可得直线方程为：，即，
②当直线不经过原点时，可设直线方程为，
把点代入可得，解得，可得直线方程为，
综上所述：所求的直线方程为：或．
10．已知直线与平行，则实数的值为　　
A． B．2
C．或2 D．以上答案均不对
【解答】解：直线与平行，
，
解得，
故选：．
11．已知函数与直线均过定点，且直线在，轴上的截距依次为和．
（1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程．
【解答】解：（1）因为（1），所以定点，
因为直线在，轴上的截距相等，
当时，直线经过原点，设，又经过点，则有，所以直线的方程为；
当时，设直线的方程为，代入点，解得，所以直线的方程为．
综上可得，直线的方程为或．
（2）由题意可知直线的斜率必存在，设斜率为，则有，
设直线的方程为，
令，解得，令，则，
所以三角形的面积为，
因为，则，
所以，当且，即时取等号，
所以此时直线的方程为，即．
12．若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点　　
A． B． C． D．
【解答】解：由于直线恒过定点，其关于点对称的点为，
又由于直线与直线关于点对称，
直线恒过定点．
故选：．

题型三 最值问题
13．点到直线距离的最大值为　　
A．1 B． C． D．2
【解答】解：方法一：因为点到直线距离；
要求距离的最大值，故需；
，当且仅当时等号成立，
可得，当时等号成立．
方法二：由可知，直线过定点，
记，则点到直线距离．
故选：．
14．在平面直角坐标系中，从点向直线作垂线，垂足为，则点与点的距离的最小值是　　
A． B． C． D．17
【解答】解：直线过定点，
，
可知点是在以为直径的圆上，
又，
可得：，
故选：．
15．已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为　4　．
【解答】解：设、，，，，方程为，点代入得
，（当且仅当，时，等号成立），故三角形面积，
故答案为 4．
16．若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由直线与直线互相垂直，
所以，
即；
又、为正实数，所以，
即，当且仅当，时取“”；
所以的最大值为．
故选：．
17．过点的动直线和过点的动直线交于点（点异于、，且，则的最大值是　　
A． B．5 C． D．
【解答】解：因为，则，
所以，
则，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
故选：．
18．设直线的方程为．
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程；
（2）若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．
【解答】解：（1）对于直线的方程为，
当直线经过原点时，，求得，此时它的方程为；
当直线不经过原点时，它的方程即，由于它两坐标轴上的截距相等，
故有，求得，它的方程为，
综上可得，的一般式方程为，或．
（2）与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，
的横坐标，的纵坐标，求得．
求为坐标原点）面积的为
，当且仅当时，取等号，
故为坐标原点）面积的最小值为6．

题型四 对称问题
19．与直线关于轴对称的直线的方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设所求对称直线的点的坐标，关于轴的对称点的坐标在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：．
故选：．
20．点关于直线的对称点是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是．
故选：．
21．已知点，直线，点关于直线的对称点的坐标是 　　．
【解答】解：设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，，
故点，
故答案为：．
22．直线关于对称的直线方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为直线即的斜率为1，
故有将其代入直线即得：，
整理即得．
故选：．
23．已知点与关于直线对称，则，的值分别为　　
A．1，3 B． C．，0 D．，
【解答】解：因为点与关于直线对称，
所以直线与直线垂直且线段的中点在直线上，
直线的斜率为，线段的中点为，
则有，解得．
故选：．
24．与直线关于坐标原点对称的直线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设直线点，关于点对称的直线上的点，
所求直线关于点的对称直线为，
由中点坐标公式得，；
解得，代入直线，
得，
整理得：，
即所求直线方程为：．
故选：．
25．点关于直线对称的点的坐标为 　　．
【解答】解：设所求的对称点为，
则，解得，
故所求对称点的坐标为．
故答案为：．
26．直线关于对称的直线方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线的图象关于对称，可得对称直线方程为：，
即可．
故选：．
27．直线的倾斜角为，则直线关于直线对称的直线的倾斜角不可能为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设直线的倾斜角为，则，，，
直线和直线关于直线对称，
则也关于对称，
故或，
当，故选项正确；
当，故选项正确；
当，故选项正确．
故选：．
28．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：联立，解得，，
所以直线与直线的交点坐标为，，
设直线的方程为，即，
在直线上取点，
由题设知点到直线，的距离相等，
所以由点到直线的距离得，
化简得，
解得或，
当时，直线为，与重合，舍，
所以．
故选：．

题型五 光的反射问题
29．一束光线从点射向轴上一点，又从点以轴为镜面反射到轴上一点，最后从点以轴为镜面反射，该光线经过点，则该光线从点运行到点的距离为　　
A． B．13 C． D．12
【解答】解：如图，点关于轴对称的点为，
点关于轴对称的点为，
则该光线从点运行到点的距离为．
故选：．

30．一条经过点的入射光线的斜率为，若入射光线经轴反射后与轴交于点，为坐标原点，则的面积为　　
A．16 B．12 C．8 D．6
【解答】解：设直线与轴交于点，因为的方程为，所以点的坐标为，
从而反射光线所在直线的方程为，易求，
所以的面积为，
故选：．
31．光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为　　．
【解答】解：由得，故入射光线与反射轴的交点为，在入射光线上再取一点，
则点关于反射轴的对称点在反射光线上．
，解得，，
根据、两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为：，即．
故答案为：．
32．光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程．
【解答】解：由得，故入射光线与反射轴的交点为，
在入射光线上再取一点，
则点关于反射轴的对称点在反射光线上．
，解得，，，
根据、两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为：，即．
所求反射光线所在的直线方程为．
33．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据光学性质可知点关于直线的对称点在反射光线所在直线上，
由两点式可得反射光线所在直线方程为：，化简得：．
故选：．
34．已知光线通过点，被直线反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是　　．
【解答】解：光线通过点，直线的对称点，
即，，
，
的斜率为6，
反射光线所在直线的方程是，
故答案为：，

35．如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，，
直线方程为，直线方程为
如图，作关于的对称点，，，
再作关于的对称点，则，
连接、交与点，则直线方程为，
连接、分别交为点、，
则直线方程为，直线方程为，
，，
连接，，则，之间即为点的变动范围．
直线方程为，直线的斜率为
斜率的范围为
故选：．

36．在等腰直角三角形中，，点是边边上异于的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点（如图），若光线经过的重心，则三角形周长等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意知，，，
则直线 的方程为，设，，
由对称知识可得点 关于直线 的对称点 的坐标为，
点 关于 轴的对称点 的坐标为，
根据反射定理可知 就是光线 所在的直线．
由 两点坐标可得直线 的方程为，
设 的重心为，易知．
因为重心 在光线 上，
所以，
即，所以 或，
因为，所以，即．
所以，结合对称关系可知，，
所以 的周长即线段 的长度，即．
故选：．