2023年陕西省咸阳市永寿县二模数学试题（含解析）

这是一份2023年陕西省咸阳市永寿县二模数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年陕西省咸阳市永寿县二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，点A、B在数轴上对应的数分别是和3，则的长为（       ）
  
A．1 B．5 C．2 D．3
2．小丽将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在一个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是（        ）

A．有 B．事 C．竟 D．成
3．如图，已知直线，，，则的度数为（       ）

A．42° B．44° C．46° D．48°
4．计算的结果是（     ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形的对角线，相交于点O，点E为的中点，若，则菱形 的周长是（        ）

A．8 B．12 C．16 D．20
6．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是（       ）

A． B． C． D．
7．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，已知，则的度数是（       ）

A． B． C． D．
8．已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ）
A． B．2 C． D．1

二、填空题
9．比较大小∶ ．（填“”“”或“”）
10．如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为 ．

11．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，．则的结果为 ．
12．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，轴，垂足为点，连接，若的面积是4，则的值为 ．

13．如图，在正方形中，，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，的长为 ．


三、解答题
14．计算：．
15．求不等式的正整数解．
16．解方程：．
17．尺规作图：如图，已知点为直线外一点，求作直线，使．（不写作法，保留作图痕迹）

18．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：AC平分∠BAD．

19．对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”．例如∶对于三位数，则是“极差数”；对于三位数，则是“极差数”．求证：任意一个“极差数”一定能被11整除．
20．临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．

(1)甲坐在①号座位上的概率是______．
(2)用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率．
21．兴教寺塔(图1)位于陕西省西安市长安区少陵原畔兴教寺内，兴教寺塔并非单指玄奘舍利塔，而是兴教寺唯识宗祖师玄奘及其弟子窥基和圆测的三座灵塔的总称，是中国现存最古老的楼阁式塔．在一次综合实践活动中，某小组对其中最高的玄奘舍利塔进行了如下测量．如图，在处测得塔顶端的仰角为，沿方向移动到处有一棵树，在距地面高的树枝上处，测得塔顶端的仰角为，已知，，点、、在一条直线上．请你帮助该小组计算玄奘舍利塔的高度．结果保留根号

22．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距
20



身高




  (1)求出h与d之间的函数关系式；（不需要写出x取值范围）
(2)①小明爸爸的指距是22.6cm，小明爸爸的身高大约是多少?（保留整数）
②若小明身高为142cm，一般情况下他的指距应是多少?
23．【问题背景】某市教体局为全面了解学生的体质情况，从某校九年级学生中随机抽取的学生进行体质监测；
【评分标准】《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分~89分为良好；60分~79分为及格；60分以下为不及格，并将统计结果制成如下图表：
【图表信息】
等级
频数
频率
不及格


及格


良好


优秀


请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)填空：_______，_________；
(2)求参加本次测试学生的平均成绩；
(3)请估计该校九年级学生体质未达到“良好”及以上等级的学生人数．
24．如图,为的直径,与相切于点E，于点D，交于点C，连接．
  
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
25．陕西大樱桃发展十分迅速，后来居上，成为我国三大樱桃产地之一，其中，铜川大樱桃最为出名，先后荣获“国家地理标志保护产品”“中国优质甜樱桃之都”等殊荣，每到樱桃成熟的季节，就会有大批的水果商收购樱桃．今年某村在销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为万元/吨时，每天可售出吨，每吨每涨万元，每天的销量将减少1吨，据测算，每吨平均投入成本1万元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于万元/吨，不高于万元/吨．设樱桃的批发价为x(万元/吨)，每天获得的利润为y(万元)，请解答下列问题：
(1)用含x的代数式表示每天樱桃的销售量为_______(吨)，并求出每天获得的利润y (万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式；
(2)若该村每天批发樱桃要盈利15万元，求樱桃的批发价应定为多少万元/吨？
(3)当樱桃的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润．
26．【定义新知】
如图1，将矩形纸片沿BE折叠，点A的对称点F落在BC边上，再将纸片沿CE折叠，点D的对称点也与F重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形()，这个三角形称为叠合三角形．类似地，对多边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合矩形．
(1)图1中叠合的底边BC与高EF的长度之比为_______；
(2)将纸片按图2中的方式折叠成一个叠合矩形，若AD=13，MN=5，求叠合矩形的面积；
【问题解决】
(3)已知四边形ABCD纸片是一个直角梯形，满足，，AB 点F为BC的中点，EF⊥BC，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．
①如图3，若线段EF是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出AB和CD的长；
②如图4，若线段EF是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此时AB和CD的长．

参考答案：
1．B
【分析】根据数轴上两点间的距离公式计算解题．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，熟记距离公式是解题的关键．
2．C
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案．
【详解】解：由正方体的展开图可知，
“志”字所在面相对的面上的汉字是“竟”，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．
3．A
【分析】证明，，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
4．D
【分析】根据单项式乘以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
5．C
【分析】根据菱形的性质，得到，结合点E为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算，根据周长为计算即可．
【详解】∵菱形的对角线，相交于点O，
∴，
∵点E为的中点，，
∴，
∴，
故菱形的周长为16．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
6．B
【分析】先求点的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．
【详解】解：代入得，解得，
所以点坐标为，
方程组的解就是一次函数的图象与的图象交点的坐标，
所以方程组的解．
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7．D
【分析】根据等腰三角形的性质得出，求出，再求出，根据圆内接四边形对角互补求出即可．
【详解】解：，，
，
，
，
∵四边形是的内接四边形，
，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的性质是解此题的关键．
8．A
【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越小，再分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质结合当时，函数的最小值为进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越近函数值越小，
当时，
∵当时，函数的最小值为，
∴，解得（舍去）；
当时，则，
∵当时，函数的最小值为，
∴当时， ，
∴，
解得；
综上所述，，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键，
．
9．
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可比较大小．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查零指数幂和负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键．
10．
【分析】如图，剪去部分为4个全等的等腰直角三角形，设直角边长为x，根据勾股定理构建方程，求得，进而得出正方形边长．
【详解】解：如图，剪去部分为4个全等的等腰直角三角形，设直角边长为x，则
，解得
∴正方形的边长为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，勾股定理，正多边形性质，掌握勾股定理是解题的关键．
11．
【分析】根据定义分别求出每一项，然后再根据有理数的加减混合运算法则计算即可
【详解】解：∵，
∴,
根据题意得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了定义新运算，和有理数的运算，计算较为简单，关键弄清楚定义．
12．
【分析】先设出来A的坐标，根据题意得出点B、C的坐标，根据三角形的面积列出等式，即可求得结果．
【详解】∵点A在双曲线上
∴设
∵轴
∴B点横坐标为a
∴
又∵轴，且C在y轴上
∴
则

∴
则，解得
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数与几何图形综合，解题的关键是用未知数表示出面积，进而求出系数的值．
13．
【分析】过点A、M作与相切于点,记的中点为N,与交于点Q,连接,则，证明四边形是矩形, 再求出圆的半径，利用勾股定理和矩形的性质即可求解．
【详解】解：过点A、M作与相切于点,记的中点为N,与交于点Q,连接,

则，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∵M是的中点，
∴，
∵过点A、M作与相切于点，
∴，
∵的中点为N,
∴，，
∴，
∴四边形是矩形,
∴,
在中,
，
∴,
∴当点P运动到点时，最大，
此时，
故答案为：
【点睛】本题考查了最大张角问题，涉及到了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、正方形的性质、勾股定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与相切且经过D点和M点的圆上且位于切点处时张角最大．
14．

【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．
【详解】解:原式
.
．
【点睛】本题考查了去绝对值运算、求算术平方根、特殊角的三角函数值．熟记相关结论是解题关键．
15．它的正整数解为1，2
【分析】先去分母求解一元一次不等式的解集，再从解集中求得正整数解即可．
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，系数化1，得，
∴该不等式的解集为，
∴它的正整数解为1，2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法，正确求解是解答的关键．
16．．
【分析】先把分式方程转化成整式方程，再解方程即可．
【详解】解∶
去分母得∶，
去括号得：，
移项得∶，
合并同类项得∶，
解得∶，
经检验是分式方程的解
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题关键是熟练运用解分式方程的方法求解，注意检验．
17．见解析
【分析】作直线交于，作即可．
【详解】解：如图，直线即为所求作．

【点睛】本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．见解析.
【分析】根据全等三角形的判定得出Rt△ABC≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC即可．
【详解】证明：∵∠B=∠D=90°，
∴在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC （HL），
∴∠BAC=∠DAC，
即AC平分∠BAD．
【点睛】本题考查了角平分线定义和全等三角形的性质和判定，能求出Rt△ABC≌Rt△ADC 是解此题的关键．
19．证明见解析．
【分析】设出任意一个“极差数”的形式，根据定义即可求证．
【详解】证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，
∵，
∴，
∴能被11整除，
∴任意一个“极差数”一定能被11整除
【点睛】本题考查数字类型的材料问题．旨在考查学生的信息处理能力．
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据随机事件的特点即可求解；
（2）按照座位画出树状图或列表即可求解．
【详解】（1）解：因为甲、乙、丙三人坐在①号座位上的概率相同
故甲坐在①号座位上的概率是：
（2）解：画树状图如下∶

由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，
所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为
【点睛】本题考查概率的相关知识点．掌握列表法和画树状图是求解概率的关键．
21．玄奘舍利塔的高度为．
【分析】过点作，则四边形是矩形，设．在中，求得，在中，求得根据，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解∶过点作，则四边形是矩形．
设．在中，
，
四边形是矩形，
，
．

在中，


解得

故玄奘舍利塔的高度，为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
22．(1)
(2)①小明爸爸的身高大约是；②一般情况下他的指距应是

【分析】（1）根据数表，运用待定系数法求解；
（2）根据解析式，将自变量值、函数值代入解析式，解方程求得答案．
【详解】（1）解：设h与d之间的函数关系式为，
根据题意可得.
解得
∴h与d之间的函数关系式为．
（2）①当时， ，
∴小明爸爸的身高大约是183cm
②当时，，
解得，
∴一般情况下他的指距应是18cm．
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，根据函数式求函数值，自变量值，理解函数与方程的联系是解题的关键．
23．(1)，
(2)参加本次测试学生的平均成绩是分
(3)估计该校九年级学生体质未达到“良好”及以上等级的学生人数是人

【分析】（1）先求出调查的总人数，再根据频数、频率与总数之间的关系，分别得出答案；
（2）根据平均数的计算公式进行计算即可；
（3）用抽查的未达到“良好”及以上等级的学生人数除以即可解答．
【详解】（1）解：调查总人数：（人）
（人）

故答案为：，．
（2）解：（分）
∴参加本次测试学生的平均成绩是分．
（3）解：（人），
∴估计该校九年级学生体质未达到“良好”及以上等级的学生人数是人．
【点睛】本题考查平均数，理解频数、频率和总人数之间的关系是解题关键．
24．(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)由切于点E知, 结合于点D知, 从而得, 即可得证；
(2)连接交于点F，证四边形是矩形，根据三角形的中位线，即可得出答案．
【详解】（1）证明∶∵与相切于点E，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解∶连接交于点F，
  
∵是的直径，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵,点O是的中点,
，
∴
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理及矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识点是解题的关键.
25．(1)，
(2)若该村每天批发樱桃要盈利15万元，樱桃的批发价应定为4万元/吨
(3)当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元

【分析】（1）根据“批发价为万元/吨时，每天可售出吨，每吨每涨万元，每天的销量将减少1吨” 用含x的代数式表示每天樱桃的销售量即可，再根据销售量乘以每吨的利润列出每天获得的利润y (万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式可得，解方程后根据即可得到答案；
（3）由题意得到，根据和二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解: 每天樱桃的销售量为（吨），
故答案为：
根据题意得，
∴每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式为．
（2）根据题意可得，
解得．
∵，
∴，
答：若该村每天批发樱桃要盈利15万元，樱桃的批发价应定为4万元/吨；
（3），
∵，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，
最大值为，
∴当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元．
【点睛】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，读懂题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
26．(1)2：1；
(2)60；
(3)①，；②，．

【分析】（1）根据条件可得四边形为全等的正方形，即可求解；
（2）证，结合勾股定理即可求解；
（3）根据【定义新知】结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得 ：
故四边形为全等的正方形

故的底边BC与高EF的长度之比为：
（2）解：由四边形是叠合矩形，可得．
易得
∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
在和中，
∴
∴，
∴
∵
，
∴叠合矩形的面积
（3）解：①叠合正方形的示意图如图1所示
  
由折叠的性质可得
由平行线分线段成比例可得
∵四边形EFCG是叠合正方形，
∴,
∴
∴
②叠合正方形EGFH的示意图如图2所示.作于点N,
由题意可得E是AD的中点，
  

，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等．利用相关几何知识进行严密的逻辑推理是解题关键．