2023年浙江省嘉兴市南湖区中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年浙江省嘉兴市南湖区中考二模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省嘉兴市南湖区中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若向东走米记为，则表示（   ）
A．向西走2米 B．向东走2米 C．向西走米 D．向北走2米
2．年卡塔尔世界杯决赛有近亿人观看，数据亿用科学记数法表示，结果为（   ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（   ）
A． B． C． D．
4．神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为． 这个数据体现了数学中的（   ）
  
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．黄金分割
5．如图是一个“凹”字形几何体，它的左视图是（   ）

A． B． C． D．
6．已知是实数，且，下列说法一定正确的是（   ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点在反比例函数的图象上，对角线与相交于坐标原点，若点，则的值为（   ）
  
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，，点在上，点在上，将矩形沿折叠，使得点的对应点落在的延长线上，交于点，若，则折痕的长为(   )
  
A． B． C．3 D．
9．如图，将半径为的扇形沿方向平移，得到扇形． 若，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ）
  
A． B．
C． D．
10．已知二次函数，下列说法中正确的个数是（   ）
（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；
（2）若点，点在此函数图象上，则；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；
（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
11．计算： ．
12．分解因式： ．
13．一个不透明的袋子里装有个红球和个黑球，他们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
14．如图，菱形中，以点为圆心，以长为半径画弧，分别交于点，． 若，则的度数为 ．

15．2023年是农历兔年，小曹同学用边长为的正方形纸片制作了一副七巧板，再用这副七巧板拼成一只兔子（如图所示），已知，则与之间的距离为 ．

16．在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．


三、解答题
17．（1）计算：．
（2）解方程：
18．化简：，以下是小曹同学的解答过程． 思考并完成以下任务．
解：原式        ①
                ②
                            ③
任务：
(1)小曹的解答过程是从第几步开始出错的，请指出错误的原因；
(2)请尝试写出正确的化简过程．
19．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图．

(1)在图1中的格点上找一点，使得；
(2)在图2中过点作一条直线，使点到直线的距离相等．
20．综合与实践
【情境】在数学活动课上，周老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【发现】同学们随机收集香柚树、桔子树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长和宽的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
数据      序号
类别










香柚树叶的长宽比










桔子树叶的长宽比










分析数据如下：

平均数
中位数
众数
方差
香柚树叶的长宽比




桔子树叶的长宽比




【探究】（1）上述表格中__________，__________；
（2）①小钱同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为香柚树叶的形状差别大．”
②小曹同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现桔子树叶的长约为宽的两倍． ”
上面两位同学的说法中，合理的是__________；（填序号）
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于香柚树、桔子树中的哪种树？并给出你的理由．

21．观察下列等式
第一个：；
第二个：
第三个：；
……
(1)尝试：__________；
(2)猜想：请用含（，且为整数）的代数式表示第个等式；
(3)验证：请你运用学过的知识证明你的猜想．
22．为了预防近视，要求学生写字姿势应保持“一尺、一拳、一寸”，即眼睛与书本距离约为一尺（约），胸前与课桌距离约为一拳，握笔的手指与笔尖距离约为一寸． 如图，为桌面，某同学眼睛看作业本的俯角为为身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．
    
(1)通过计算，请判断这位同学的眼睛与作业本的距离是否符合要求；
(2)为确保符合要求，需将作业本沿方向移动．当眼睛看作业本的俯角为时，求作业本移动的距离．（，． 结果精确到0.1）
23．某商家计划在抖音直播平台上直播销售当地特产，将其中一种特产在网上进行试销售．
该商家在试销售期间调查发现，每天销售量y（万件）与销售单价x（元/件）的数据如表：
x（元/件）
…
10
12
14
16
…
y（万件）
…
14
12
10
8
…
(1)根据所给数据判断函数类型，并求y关于x的函数表达式；
(2)总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在如图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线

①销售量不超过万件时，利润为万元，求此时的售价为多少元/件？
②当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额－总成本）
24．在等边中，，点是的中点，点分别是边上一点(不与点重合)．

(1)如图1，当点为中点，点为中点时，求的长度；
(2)如图2，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当三点在同一条直线上时，求的长度；
(3)如图3，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，延长交线段于点，探索三条线段之间的关系．

参考答案：
1．A
【分析】根据正负数的意义，即可求解．
【详解】解：向东走米记为，则表示向西走2米，
故选：A．
【点睛】本题考查了正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
2．C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：亿．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3．D
【分析】根据幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．
4．D
【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．
【详解】解：∵黄金分割比为：，
∴动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为，体现了数学中的黄金分割，
故选．
【点睛】本题考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键．
5．B
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，中间有一条虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．
6．A
【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 若，，则，故该选项正确，符合题意；    
B. 若，，则，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若，则不一定成立，例如，则，故该选项不正确，不符合题意；    
D.同C选项，可得，若，则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
7．C
【分析】根据菱形的性质及勾股定理可知，再利用相似三角形的判定与性质可知，最后根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，过点作轴于点F，过点作轴于点E，过点A作轴于点H，过点D作轴于点G，
∴，
∵在菱形中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
∵点在第二象限，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故选：．
  
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
8．B
【分析】过点作于点，则四边形是矩形，将纸片折叠，可证是等腰三角形；设利用相似的性质可用表示相关线段，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
    
将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，
，，
，
，，
，
，
：：，
，，
设则
，
在中，由勾股定理得：
，
解得：舍去，
，，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
9．B
【分析】根据平移的性质可知，，最后利用扇形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵将半径为的扇形沿方向平移得到扇形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了平移的性质，扇形的面积公式，掌握平移的性质是解题的关键．
10．B
【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令，根据，求得 m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线上，可知直线与直线平行，求得两直线的距离即可判断④．
【详解】解：（1）当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，故该项错误；
（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，
则令，
整理得，
∴
解得，故该项错误；
（4）∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．

设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到 的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，故该项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
11．2a
【分析】按照合并同类项法则合并即可．
【详解】3a-a=2a，
故答案为：2a．
【点睛】本题考查了合并同类项，解题关键是熟练运用合并同类项法则进行计算．
12．/
【分析】根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
13．/
【分析】从袋中任意摸出一个球共有种等可能结果，其中是红球的有种结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球共有种等可能结果，其中是红球的有种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．/ 度
【分析】证，得，设，则，，再由求出，即可得出结论．
【详解】解：四边形是菱形，
，
由题意得：，，
， ，
，
在和中，

，
，
设，则，
，
四边形是菱形，

，
即，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15．
【分析】根据题意，分别求得①②号三角形的直角边长，根据⑥号平行四边形边上的高为④号正方形的边长，即①号直角三角形边长的一半，结合图形即可求解．
【详解】解：∵正方形的边长为，则①②号三角形的直角边长为
⑥号平行四边形边上的高为④号正方形的边长，即①号直角三角形边长的一半，
∴，
∴之间的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握七巧板的构成是解题的关键．
16．/
【分析】作于，取中点，连接，，由直角三角形的性质求出的长，的长，的长，的长，得到的长，由勾股定理求出的长，由，即可求出的最小值．
【详解】解：如图，作于，取中点，连接，，

，，，
，，
是中点，
，
，是中点，
，，
是的中点，
，
，，
，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：
【点睛】本题考查含角的直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，关键是通过作辅助线构造，由，求出，的长．
17．（1）（2），
【分析】（1）根据零指数幂的运算法则，开平方运算法则，特殊角的三角函数值解答即可；
（2）先化简得，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）

．
（2），
去括号得，，
移项得，，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了零指数幂的运算法则，开平方运算法则，特殊角的三角函数值，利用因式分解法解一元二次方程，熟练因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
18．(1)小曹的解答过程是从第①步开始出错的，
(2)见解析

【分析】（1）根据二次根式的性质可知解答即可；
（2）根据二次根式的性质及二次根式的加减混合运算法则解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴小曹的解答过程是从第①步开始出错的，
错误原因是：；
（2）解：



．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减混合运算法则，掌握二次根式的性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）以为直角边作等腰直角三角形即可；
（2）以，为邻边作平行四边形即可．
【详解】（1）解：如图，点C即为所求；

∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）如图，直线所在的直线即为所求；

∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点到直线的距离相等．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（1）；；（2）；（3）这片树叶更可能来自桔子树
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据题目给出的数据判断即可；
（3）根据树叶的长宽比判断即可．
【详解】解：（1）把片香柚树叶的长宽比从小到大排列，
，，，，，，，，，
排在中间的两个数分别为、，
故；
片桔子树叶的长宽比中出现次数最多的是，故；
故答案为：；；
（2），
香柚树叶的形状差别小，故小钱同学说法不合理；
桔子树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
小曹同学说法合理．
故答案为：；
（3）这片树叶更可能来自桔子树，理由如下：
这片树叶长，宽，长宽比大约为，
根据平均数这片树叶可能来自桔子树．
【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的关键．
21．(1)
(2)
(3)证明见解析

【分析】（1）观察第一个等式、第二个等式，第三个等式可得第四个等式为；
（2）观察第一个等式、第二个等式，第三个等式可得第个等式为；
（3）利用分式的混合运算的法则可得，对比解答即可．
【详解】（1）解：∵第一个：，
第二个：，
第三个：，
∴第四个：，
故答案为；
（2）解：∵第一个：，
第二个：，
第三个：，
∴第个：；
（3）证明：∵，
，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了分式的混合运算，数字类规律的探索，根据已知式子找出规律是解题的关键．
22．(1)不符合要求
(2)作业本移动的距离约为

【分析】（1）依题意，，在中，求得的长，比较大小，即可求解．
（2）依题意，移动后，，在中，求得的长，与在（1）中求得，求差即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，依题意，，
  
在中，，
∴，
∵
∴这位同学的眼睛与作业本的距离不符合要求；
（2）依题意，移动后，，
在中，
∴
∴
答：作业本移动的距离约为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键．
23．(1)y关于x的函数表达式为；
(2)①此时的售价为或元/件；②当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．

【分析】（1）根据表格数据，用待定系数法求函数解析式；
（2）①先求出P关于x的解析式，再根据利润=销售额-总成本列出方程，解方程即可，再根据的关系式求出x的取值范围，从而得出结论；②设利润为w万元，分两种情况求出w的最大值，然后比较即可．
【详解】（1）解：根据表格中数据可知，y与x是一次函数类型．
设y关于x的函数表达式为,
将，代入解析式得：，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：①设时，，
将，代入解析式得：，
解得，
,
，
整理得：，
解得，
，即，
，
∴此时的售价为或元/件；
②设利润为w万元，
当时，即，
则，，
当时，w有最大值，最大值为；
当时，
把代入
得， ，
解得，
，
，
，
当时，w有最大值，最大值为，
此时，
综上所述，当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用，数形结合并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据等边三角形的性质以及已知条件可得，根据中位线的性质可得；
（2）根据题意可得是等边三角形，则，进而得出，则，证明，则，，即可得出；
（3）过点作交于点，过点作交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、、，则是等边三角形，证明、、、四点共圆，可得；证明、、、四点共圆，进而得出，证明，可得，证明，可得；，根据，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵等边中，，点是的中点，
∴，
∵点为中点，点为中点，
∴
（2）解：∵线段绕着点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，则
∵等边中，，点是的中点，
∴，
∴
∴，则
∴
∴，
∵
∴
∴，
又
∴
∴
∴，
∴；
（3）如图，过点作交于点，过点作交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、、，

将线段绕点顺时针旋转得到线，
是等边三角形，
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
，，
，
；
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
，，
，，
，，
，
在和中，

，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，

，
；
，，
，

，
，
即．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，等边三角形的性质于判定，旋转的性质，圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．