2024届高考数学一轮复习第7章第4节数列求和学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第7章第4节数列求和学案，共20页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第四节　数列求和
考试要求：1．掌握等差、等比数列前n项和公式．
2．掌握非等差、非等比数列求和的几种方法，如分组求和、裂项相消以及错位相减等．

一、教材概念·结论·性质重现
1．求数列前n项和的常用方法
方法
数列
求和公式
公式法
等差数列
Sn＝na1+an2＝na1＋nn-12d
等比数列
Sn＝na1，q=1， a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q，q≠1
分组
求和法
等差±
等比
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相加(减)构成的数列求和
倒序
相加法
对偶型
将一个数列倒过来排列与原数列相加，主要用于倒序相加后对应项之和有公因式可提的数列求和
裂项
相消法
积商化
差型
适用于通项公式可以积商化差的数列求和
错位
相减法
等差×
等比
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘(除)构成的数列求和
并项
求和法
正负号
间隔
适用于奇数项与偶数项正负号间隔的数列求和，常需对n分奇偶讨论


一些常见数列的前n项和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn+12.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
(4)12＋22＋…＋n2＝nn+12n+16.
(5)13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝n2n+124.
2.常用结论
常见的裂项技巧
(1)1nn+1＝1n-1n+1.
(2)1nn+2＝121n-1n+2.
(3)12n-12n+1＝1212n-1-12n+1.
(4)1n+n+1＝n+1-n.
(5)1nn+1n+2＝121nn+1-1n+1n+2.
(6)loga1+1n＝loga(n＋1)－logan(a＞0且a≠1)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和为Sn＝a1-an+11-q.
(　√　)
(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和．
(　√　)
(3)当n≥2时，1n2-1＝121n-1-1n+1. (　√　)
(4)求数列12n+2n+3的前n项和可用分组求和法． (　√　)
2．在数列{an}中，an＝1nn+1，若{an}的前n项和为20192 020，则项数n为(　　)
A．2 016 B．2 017
C．2 018 D．2 019
D　解析：an＝1nn+1＝1n-1n+1，Sn＝1－12+12-13＋…＋1n-1n+1＝1－1n+1＝nn+1＝2 0192 020，所以n＝2 019.故选D．
3．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(　　)
A．－200 B．－100
C．200 D．100
D　解析：根据题意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.故选D．
4．已知数列：112，214，318，…，n+12n，…，则其前n项和为________．
nn+12＋1－12n 　解析：设所求的数列前n项和为Sn，则
Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12+14＋…＋12n＝nn+12＋1－12n.
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}满足bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝________，T30＝________．
24　650　解析：当n＝1时，a1＝S1＝9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－n2－[10(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋11，当n＝1时也满足上式，所以an＝－2n＋11(n∈N*)．所以当n≤5时，an>0，bn＝an，当n>5时，an0，可得an＋1－an＝3，所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
所以an＝3n－2.
(2)因为an＝3n－2，所以bn＝1anan+1＝13n-23n+1＝1313n-2-13n+1，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝131-14+14-17+…+13n-2-13n+1＝n3n+1.

本例的条件变为：an＝12n-1，bn＝an+1an+1an+1+1，求数列{bn}的前n项和．
解：因为bn＝12n12n-1+112n+1＝112n+1-112n-1+1，
所以b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1121+1-1120+1＋1122+1-1121+1+1123+1-1122+1＋…＋112n+1-112n-1+1＝112n+1-12＝2n-122n+1.


应用裂项相消法求和的注意点
(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n+n+k＝1k(n+k-n)，1nn+k＝1k1n-1n+k，裂项后可以产生连续相互抵消的项．
(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项等．

在等比数列{an}中，a1＝3，a2＋a3＝6.
(1)求an；
(2)设bn＝2nan+1an+1+1，且b4