2024届高考数学一轮复习第5章第2节平面向量基本定理及坐标表示学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第5章第2节平面向量基本定理及坐标表示学案，共19页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第二节　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求：1．理解平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3．能用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

一、教材概念·结论·性质重现
1．平面向量基本定理与基底
平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

理解基底应注意以下两点
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
对于一组基底e1，e2，若a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则λ1=μ1，λ2=μ2.
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x12+y12．
(2)向量坐标的求法
①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2-x12+y2-y12．

1．向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
2．要区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息，也有大小的信息.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2.因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
4．常用结论
(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为x1+x22，y1+y22.
(3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为x1+x2+x33，y1+y2+y33.
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． (　×　)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. (　√　)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示． (　√　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1x2＝y1y2. (　×　)
(5)当向量的起点在坐标原点时，该向量的坐标等于向量终点的坐标． (　√　)
2．如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：

①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为该平面内其他向量的基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
B　解析：①中AD，AB不共线；③中CA，DC不共线，故①③能作为基底．
3．如图，AB＝2CA，OA＝a，OB＝b，OC＝c，下列等式中成立的是(　　)

A．c＝32b－12a B．c＝32a－12b
C．c＝2a－b D．c＝2b－a
B　解析：因为AB＝2CA，OA＝a，OB＝b，OC＝c，所以OB-OA＝2(OA-OC)，所以OC＝32OA-12OB，即c＝32a－12b.
4．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－23 B．43
C．12 D．13
A　解析：AB＝OB-OA＝(4－k，－7)，AC＝OC-OA＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.
5．若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则用a，b表示c为___________．
c＝12a－32b　解析：设c＝x1a＋x2b，因为向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，所以(－1，2)＝(x1＋x2，x1－x2)．
由x1+x2=-1，x1-x2=2，解得x1=12 ，x2=-32 ，
所以c＝12a－32b.


考点1　平面向量基本定理及坐标运算——基础性

1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
D　解析：a－b＝(4，－3)，故|a－b|＝42+-32＝5.
2．(多选题)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，下列四组向量中能作为基底的是(　　)
A．e2和e1＋e2
B．2e1－4e2和－e1＋2e2
C．e1和e1－e2
D．e1＋2e2和2e1＋e2
ACD　解析：由于e2和e1＋e2，e1 和e1－e2，e1＋2e2 和2e1＋e2这三组向量均不共线，故可以作为基底； 2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，故2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不可以作为基底．故选ACD.
3．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|＝2|AC|，则向量OB的坐标是_________．
(4，7)　解析：因为点C是线段AB上一点，且|BC|＝2|AC|，所以BC＝－2AC.设点B(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)．所以2-x=-2，3-y=-4，解得x=4，y=7.所以向量OB的坐标是(4，7)．

解答有关平面向量的坐标运算时要注意：
(1)掌握好向量加、减、数乘运算法则，否则易出错．
(2)运用 “向量相等，则坐标相同”这一结论，建立方程(组)求解，要特别注意运算的准确性．
(3)建立坐标系将线性运算转化为坐标运算将使解题更便捷，如第3题．
利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

考点2　平面向量共线的表示——应用性

考向1　利用向量共线求参数
已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝_________．
12　解析：因为2a＋b＝(4，2)，c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝12.

利用两向量共线求参数
已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便.
考向2　利用向量共线求向量或点的坐标
已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_________．
(3，3)　解析：方法一：由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP-OA＝(4λ－4，4λ)．又AC＝OC-OA＝(－2，6)，由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP＝34OB＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)．
方法二：设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)，且OP与OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)．

一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程组，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

1．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为_________．
－54　解析：AB＝(a－1，3)，AC＝(－3，4)，因为点A，B，C共线，所以AB∥AC，所以4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，所以a＝－54.
2．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_________．
(－4，－2)　解析：因为a与b的方向相反，所以可设a＝λb(λ