新教材2023高中数学第八章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验8.3.2独立性检验分层演练新人教A版选择性必修第三册

这是一份新教材2023高中数学第八章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验8.3.2独立性检验分层演练新人教A版选择性必修第三册，共7页。

8.3 列联表与独立性检验 8.3.2 独立性检验
A级　基础巩固
1.在某次飞行航程中遭遇恶劣天气,55名男乘客中有24名晕机,34名女乘客中有8名晕机,在检验这些乘客晕机是否与性别有关联时,采用的数据分析方法应是 (　　)
A.频率分布直方图
B.回归分析法
C.独立性检验
D.用样本估计总体
答案:C
2.为了研究高中生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢)与性别是否有关联,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算得χ2=8.01,参照下列数值表,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关联”犯错误的概率不大于
(　　)
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A.0.001　　B.0.99　　C.0.005　　D.0.999
解析:因为χ2=8.01>7.879=x0.005,所以推断“高中生喜欢乡村音乐与性别有关联”犯错误的概率不大于0.005.
答案:C
3.有人发现,多看电视容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果:
单位:人
看电视
态度
合计
冷漠
不冷漠
多看电视
68
42
110
少看电视
20
38
58
合计
88
80
168
则在犯错误的概率不超过多少的前提下,认为多看电视与人变冷漠有关联 (　　)
A.0.001 B.0.05 C.0.01 D.0.1
解析:可计算χ2≈11.377>10.828=x0.001,故在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为多看电视与人变冷漠有关联.
答案:A
4.为了判断高中生的选修类别与性别是否有关联,现随机抽取50名学生,得到2×2列联表如下:
单位:名
性别
选修类别
合计
理科类学科
文科类学科
男
13
10
23
女
7
20
27
合计
20
30
50
已知P(χ2≥3.841)=0.05,P(χ2≥6.635)=0.01.根据表中数据,经计算可知,根据小概率值α=0.05的独立性检验,认为选修类别与性别有关联.
解析:零假设为H0:高中生的选修类别与性别独立,即高中生的选修类别与性别没有关联.
根据列联表中的数据,经计算得到
χ2=≈4.844>3.841=x0.05.
所以根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为高中生的选修类别与性别有关联.
5.有两个分类变量X和Y,其2×2列联表如下:
X
Y
合计
Y=y1
Y=y2
X=x1
a
15-a
15
X=x2
20-a
30+a
50
合计
20
45
65
其中a,15-a均为大于5的整数,则a=9时,根据小概率值α=0.01的独立性检验,认为X和Y之间有关联.
附:
α
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
解析:根据表中数据,得
χ2==.
由题意,可得χ2≥6.635.
因为a>5,且15-a>5,a∈N,
所以9≤a<10,且a∈N,所以a=9.
6.(2021·全国甲卷)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
机床
质量
合计
一级品
二级品
甲
150
50
200
乙
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:χ2=.
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解:(1)由题意可得,甲机床、乙机床生产总数均为200件,
因为甲的一级品的频数为150,所以甲的一级品的频率为=;
因为乙的一级品的频数为120,所以乙的一级品的频率为=.
(2)根据列联表中数据,
可得χ2==≈10.256>6.635.
所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
B级　拓展提高
7.“数学文化大讲堂”活动中,某老师对“喜欢数学文化和性别是否有关联”作了一次调查,其中被调查的女生人数是男生人数的,男生喜欢数学文化的人数占男生人数的,女生喜欢数学文化的人数占女生人数,根据小概率值α=0.01的独立性检验,认为喜欢数学文化和性别有关联,则男生至少有(　　)
A.24人 B.22人 C.20人 D.18人
解析:设男生有x人,依题意可得列联表如下:
单位:人
性别
数学文化
合计
喜欢数学文化
不喜欢数学文化
男
x
x
x
女
x
x
x
合计
x
x
x
根据表中数据可得χ2==x.
由题意可得χ2≥6.635,解得x≥.
因为x和x都为整数,所以xmin=18,即男生至少有18人.
故选D.
答案:D
8.为大力提倡“厉行节约,反对浪费”,某市通过随机询问100名居民是否能做到“光盘”行动,得到如下2×2列联表:
单位:名
性别
光盘
合计
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
得到的正确结论是 (　　)
A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为该市居民能否做到“光盘”与性别有关联
B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为该市居民能否做到“光盘”与性别有关联
C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为该市居民能否做到“光盘”与性别无关联
D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为该市居民能否做到“光盘”与性别有关联
解析:根据列联表中数据,
计算得χ2=≈3.030>2.706=x0.1,
故在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为该市居民能否做到“光盘”与性别有关联.
答案:D
9.(2022·新高考全国Ⅰ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
组别
卫生习惯
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
①证明:R=·;
②利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用①的结果给出R的估计值.
附:χ2=.
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
(1) 解:补充列联表为:
组别
卫生习惯
合计
不够良好
良好
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
合计
50
150
200
计算χ2==24>6.635,
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)①证明:R=∶=·=·==
·=·;
②解:利用调查数据,P(A|B)==,
P(A|)==,P(|B)=1-P(A|B)=,P(|)=1-P(A|)=,
所以R=×=6.
C级　挑战创新
10.多选题以下关于独立性检验的说法中,正确的是(　　)
A.独立性检验依赖于小概率原理
B.独立性检验得到的结论一定准确
C.样本不同,独立性检验的结论可能有差异
D.独立性检验不是判断两变量是否相关的唯一方法
答案:ACD
11.多选题分类变量X和Y的抽样数据列联表如下,试根据χ2=的含义来判断下列说法错误的是(　　)
X
Y
合计
Y=0
Y=1
X=0
a
b
a+b
X=1
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
A.ad-bc越小,说明X与Y的关联性越弱
B.ad-bc越大,说明X与Y的关联性越强
C.(ad-bc)2越大,说明X与Y的关联性越强
D.(ad-bc)2越接近于0,说明X与Y的关联性越强
解析:列联表可以较为准确地判断两个变量之间的关联性,
由χ2=可知,
当(ad-bc)2越大时,χ2越大,表明X与Y的关联性越强.
当(ad-bc)2越接近0时,说明X和Y无关联的可能性越大.即只有C项中说法正确,故选ABD.
答案:ABD
12.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:
单位:人
对电脑游戏的态度
对作业量的想法
合计
认为多
认为不多
喜欢
18
9
27
不喜欢
8
15
23
合计
26
24
50
下列叙述中,正确的是(　　)
A.依据小概率值α=0.01的独立性检验,认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关联”
B.依据小概率值α=0.05的独立性检验,“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关联”
C.依据小概率值α=0.01的独立性检验,“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少无关联”
D.依据小概率值α=0.05的独立性检验,“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关联”
解析:根据2×2联列表中的数据,
计算得到χ2=≈5.059>3.841=x0.05.
所以依据小概率值α=0.05的独立性检验,认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关联”.
答案:D
13.多空题对196位接受心脏搭桥手术的病人和196位接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是否又发作心脏病,调查结果如下表所示:
单位:位
手术类型
是否又发作心脏病
合计
是
否
心脏搭桥
39
157
196
血管清障
29
167
196
合计
68
324
392
试根据上述数据计算χ2≈1.779(保留三位小数),依据小概率值α=
0.1的独立性检验,能否得出“这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别”的结论?不能(填“能”或“不能”).
解析:零假设为H0:这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.
根据列联表中的数据,得
χ2=≈1.779<2.706=x0.1.
根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,
因此可以认为H0成立,即认为两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别,所以不能得出“这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别”的结论.