河南省郑州市中原区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份河南省郑州市中原区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市中原区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）六月是高考季，考上大学是每个学子的目标，河南也有很多不错的大学，以下是河南部分大学的校徽，其中是中心对称图形的是（　　）

A．河南大学 B．郑州大学
C．河南农业大学 D．河南工业学校
2．（3分）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（2x+y）（2x﹣y）＝4x2﹣y2 B．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
C．x2+4x+5＝（x+2）2+1 D．10xy2＝2x•5y2
3．（3分）下列不等式中不成立的是（　　）
A．若x＞y，则﹣2x＜﹣2y B．若x＞y＞0，则x2＞y2
C．若x＞y，则 D．若x+1＜y+1，则x＜y
4．（3分）如图，已知△ABC的周长为，连接△ABC的三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形3边的中点构成第三个三角形…，依次类推，则第2023个三角形的周长为（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）下列命题中
①等腰三角形的角平分线、高线、中线互相重合；
②一个三角形有两个内角互余，则这个三角形是直角三角形；
③有一个内角为60°的三角形是等边三角形；
④在同一个三角形中，两个内角相等，则两内角所对的边长相等；
⑤三角形中最多有两个直角．
正确的有（　　）
A．② B．②④ C．①③⑤ D．①②③④
6．（3分）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，就是平面图形的镶嵌．只用下面一种图形能够进行平面镶嵌的是（　　）
A．正三角形 B．正五边形 C．正八边形 D．正十二边形
7．（3分）如图，已知函数y1＝﹣3x与y2＝kx+b的图象交于A（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b＜﹣3x的解集为（　　）

A．x＞﹣1 B．x＞3 C．x＜﹣1 D．x＜3
8．（3分）袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么x满足怎样的分式方程？（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝4，把一块含有30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（∠F＝30°），将△DEF绕点D按顺时针方向旋转a度（E始终在点B上方），则△ABC与△DEF重叠部分的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，过点A1（2，0）作A1B1⊥x轴，与直线交于点B1，以原点O为圆心，以OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3；…按照这样的作法进行下去，则点A20的坐标是（　　）

A．（218，0） B．（219，0） C．（220，0） D．（221，0）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个含有字母的分式，且无论x取任何实数，分式都有意义，这个分式可以是　 　．
12．（3分）某次知识竞赛共有20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣6分．如果得分要超过95分，设小新答对了x道题，依题意可列不等式为 　 　．
13．（3分）若a，b，c为△ABC的三边，且a2﹣c2﹣bc+ab＝0，则△ABC的形状是 　 　．
14．（3分）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠A的度数为 　 　．

15．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C的方向以2cm/s的速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．那么运动到第 　 　秒时，点A，M，N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：5×1012﹣992×5；
（2）解方程：．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕A1顺时针旋转90°后得到△A1B2C2，画出△A1B2C2，并写出顶点A1，B2，C2的坐标．

18．（9分）下面是小新同学进行分式化简的过程，请认真阅读．

＝…第一步，
＝…第二步，
＝…第三步，
＝…第四步，
＝…第五步，
＝…第六步．
（1）第 　 　步开始出现错误，正确的化简结果是 　 　；
（2）请从不等式组的整数解中选择一个合适的值作为x的值代入，求出的值．
19．（9分）尺规作图题
已知：如图，线段a，c（a＜c），直角α．
求作：Rt△ABC，使∠c＝∠α，BC＝a，AB＝c．
（注：不写作法，保留作图痕迹）

20．（9分）小新同学在证明三角形中位线定理时，画出了以下图形，写出了已知和求证，请你帮小新完成证明过程．
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，．
证明：

21．（9分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如表：
甲方案
乙方案


分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
请回答下列问题：
（1）对以上方案的判断，你认为正确的是：　 　．
A．甲方案可行，乙方案不可行；
B．甲方案不可行，乙方案可行；
C．甲乙两方案均可行；
D．甲乙两方案均不可行；
（2）选择其中一种你认为正确的方案进行证明，若以上两种方案均不可行，也可以自行设计一种方案进行说明；
我选的是方案：　 　；
证明：
（3）在（2）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝10，则▱ABCD的面积为 　 　．
22．（10分）端午节到了，郑州某食品厂家设计了一款名叫小贝塔的卡通造型的香粽，受到众人的喜爱．该食品厂家计划加急生产一批香粽，已知A车间每天生产的数量是B车间每天生产数量的1.5倍，两车间各生产24000个香粽时，A车间比B车间少用2天．
（1）求A、B两车间每天各生产多少个香粽？
（2）已知A、B两车间生产香粽每天的费用分别是1800元和1000元，该厂家计划生产150000个香粽，如果总生产费用不超过39000元，那么B车间至少要生产多少天？
23．（10分）已知：△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边上的任意一点，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转α，使点A落在点E处，连接AE、BE．
（1）当α＝120°时，如图1，此时AD恰好平分∠EAC，则AE和AC的数量关系是：　 　；
（2）当α＝90°时：
①请判断线段BA，BD，BE的数量关系，并根据图2进行证明（提示：过点D作DF⊥BC，交AB与F）；
②若AB＝6，在点D的移动过程中，当△ADC是等腰三角形时，直接写出此时△ABE的面积．


2022-2023学年河南省郑州市中原区八年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）六月是高考季，考上大学是每个学子的目标，河南也有很多不错的大学，以下是河南部分大学的校徽，其中是中心对称图形的是（　　）

A．河南大学 B．郑州大学
C．河南农业大学 D．河南工业学校
【解答】解：选项A、B、C中的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
2．（3分）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（2x+y）（2x﹣y）＝4x2﹣y2 B．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
C．x2+4x+5＝（x+2）2+1 D．10xy2＝2x•5y2
【解答】解：A．（2x+y）（2x﹣y）＝4x2﹣y2，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．x2+4x+5＝（x+2）2+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意
D．10xy2＝2x•5y2，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列不等式中不成立的是（　　）
A．若x＞y，则﹣2x＜﹣2y B．若x＞y＞0，则x2＞y2
C．若x＞y，则 D．若x+1＜y+1，则x＜y
【解答】解：A、若x＞y，则﹣2x＜﹣2y，成立，不符合题意；
B、若x＞y＞0，则x2＞y2，成立，不符合题意；
C、若x＞y，则＞，原变形错误，符合题意；
D、若x+1＜y+1，则x＜y，成立，不符合题意．
故选：C．
4．（3分）如图，已知△ABC的周长为，连接△ABC的三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形3边的中点构成第三个三角形…，依次类推，则第2023个三角形的周长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，EF＝AB，DF＝BC，
∵△ABC的周长为，
∴AB+AC+BC＝，
∴DE+DF+EF＝×＝（）2，
∴第2个三角形的周长为（）2，
同理可得：第3个三角形的周长为（）3，
…
则第2023个三角形的周长为（）2023，
故选：D．

5．（3分）下列命题中
①等腰三角形的角平分线、高线、中线互相重合；
②一个三角形有两个内角互余，则这个三角形是直角三角形；
③有一个内角为60°的三角形是等边三角形；
④在同一个三角形中，两个内角相等，则两内角所对的边长相等；
⑤三角形中最多有两个直角．
正确的有（　　）
A．② B．②④ C．①③⑤ D．①②③④
【解答】解：①等腰三角形的顶角角平分线、底边高线、底边中线互相重合，故本结论不正确；
②一个三角形有两个内角互余，则这个三角形是直角三角形，正确；
③有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本结论不正确；
④在同一个三角形中，两个内角相等，则两内角所对的边长相等，正确；
⑤三角形中最多有一个直角．故本结论不正确；
故选：B．
6．（3分）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，就是平面图形的镶嵌．只用下面一种图形能够进行平面镶嵌的是（　　）
A．正三角形 B．正五边形 C．正八边形 D．正十二边形
【解答】解：A、正三角形的每个内角是60°，360°÷60＝6，一种图形能够进行平面镶嵌，符合题意；
B、正五形的每个内角是108°，108°不能被360°整除，一种图形不能够进行平面镶嵌，不符合题意；
C、正八边形的每个内角是135°，135°不能被360°整除，一种图形不能够进行平面镶嵌，不符合题意；
D、正十二边形的每个内角为150°，150°不能被360°整除，一种图形不能够进行平面镶嵌，不符合题意．
故选：A．
7．（3分）如图，已知函数y1＝﹣3x与y2＝kx+b的图象交于A（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b＜﹣3x的解集为（　　）

A．x＞﹣1 B．x＞3 C．x＜﹣1 D．x＜3
【解答】解：观察函数图象，当x＜﹣1时，kx+b＜﹣3x，
所以关于x的不等式kx+b＜﹣3x的解集为x＜﹣1．
故选：C．
8．（3分）袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么x满足怎样的分式方程？（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，且第一块试验田每公顷的产量为xkg，
∴第二块试验田每公顷的产量为（x+1500）kg．
根据题意得：＝．
故选：B．
9．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝4，把一块含有30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（∠F＝30°），将△DEF绕点D按顺时针方向旋转a度（E始终在点B上方），则△ABC与△DEF重叠部分的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，连接BD，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD＝2，∠CBD＝∠A＝45°，BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠EDF＝90°，
∴∠BDM＝∠ADN，
∴△ADN≌△BDM（ASA），
∴S△ADN＝S△BDM，
∴S四边形BMDN＝S△ABD＝×2×2＝2，
故选：B．

10．（3分）在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，过点A1（2，0）作A1B1⊥x轴，与直线交于点B1，以原点O为圆心，以OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3；…按照这样的作法进行下去，则点A20的坐标是（　　）

A．（218，0） B．（219，0） C．（220，0） D．（221，0）
【解答】解：∵A1（2，0），
把x＝2代入y＝得，y＝，即A1B2＝，
在Rt△OA1B1中，由勾股定理得，OB1＝4，
∴A2坐标为（4，0）．
同理可得，A3坐标为（8，0），A4坐标为（16，0）．
根据A1（2，0），A2（4，0），A3（8，0），A4（16，0）找规律，可得A20坐标为（220，0）．
故答案为：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个含有字母的分式，且无论x取任何实数，分式都有意义，这个分式可以是　　．
【解答】解：由题意得：，
故答案为：．
12．（3分）某次知识竞赛共有20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣6分．如果得分要超过95分，设小新答对了x道题，依题意可列不等式为 　10x﹣6（20﹣x）＞95　．
【解答】解：设小新答对了x道题，依题意可列不等式为：10x﹣6（20﹣x）＞95．
故答案为：10x﹣6（20﹣x）＞95．
13．（3分）若a，b，c为△ABC的三边，且a2﹣c2﹣bc+ab＝0，则△ABC的形状是 　等腰三角形　．
【解答】解：由a2﹣c2﹣bc+ab＝0得
（a+c）（a﹣c）+b（a﹣c）＝0，
即 （a﹣c）（a+b+c）＝0；
又a，b，c为△ABC的三边，
所以a+b+c≠0，
则a﹣c＝0，即a＝c，
因此△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
14．（3分）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝60°，∠2＝40°，则∠A的度数为 　110°　．

【解答】解：设BE，DC交于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
由翻折可知：∠ABD＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠CDB，∠E＝∠A，
∴FB＝FD，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴∠1＝∠FBD+∠FDB＝60°，
∴∠FBD＝∠FDB＝30°，
由翻折可知：∠EDB＝∠2＝40°，
∴∠EDF＝∠EDB﹣∠FDB＝40°﹣30°＝10°，
∴∠E＝180°﹣60°﹣10°＝110°，
∴∠A＝∠E＝110°．
故答案为：110°．

15．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C的方向以2cm/s的速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．那么运动到第 　2或6　秒时，点A，M，N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形．

【解答】解：①当0≤t≤时，点M、N、D的位置如图1所示：

∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM＝AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDB＝∠C＝60°，∠NDC＝∠B＝60°，
∴∠NDC＝∠C，
∴ND＝NC，
∴DM+DN＝AN+NC＝AC＝10，
即：3t+2t＝10，
∴t＝2；
②当＜t≤5时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③5＜t≤时，点M、N、D的位置如图2所示：

∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN＝AM，AM∥DN，
∴∠NDB＝∠ACB＝60°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠NDB＝∠B，
∴ND＝NB，
∴NB+MC＝AM+CM＝10，3t﹣10+2t﹣10＝10，
解得：t＝6，
④当＜t≤10时，点M、N、D的位置如图3所示：

则BN＝20﹣2t，BM＝30﹣3t，
由题意可知：△BNM为等边三角形，
∴BN＝BM，即：20﹣2t＝30﹣3t，解得t＝10，此时M、N重合，不能构成平行四边形．
综上所述：t的值为2或6，
故答案为：2或6．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：5×1012﹣992×5；
（2）解方程：．
【解答】解：（1）5×1012﹣992×5
＝5×（1012﹣992）
＝5×（101+99）（101﹣99）
＝5×200×2
＝2000；
（2），
方程两边都乘x﹣4，得3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣4≠0，
所以分式方程的解是x＝3．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕A1顺时针旋转90°后得到△A1B2C2，画出△A1B2C2，并写出顶点A1，B2，C2的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A1B2C2为所作；A1（﹣3，1），B2（﹣2，﹣2），C2（0，0）．

18．（9分）下面是小新同学进行分式化简的过程，请认真阅读．

＝…第一步，
＝…第二步，
＝…第三步，
＝…第四步，
＝…第五步，
＝…第六步．
（1）第 　五　步开始出现错误，正确的化简结果是 　　；
（2）请从不等式组的整数解中选择一个合适的值作为x的值代入，求出的值．
【解答】解：（1）第五步开始出现错误，

＝
＝
＝
＝
＝
＝，
故答案为：五，；
（2），
解不等式组得：，
则其整数解有：1，2，3，
∵x2﹣9≠0，
∴x≠±3，
∴当x＝1时，原式＝；
当x＝2时，原式＝．
故分式的值为：或．
19．（9分）尺规作图题
已知：如图，线段a，c（a＜c），直角α．
求作：Rt△ABC，使∠c＝∠α，BC＝a，AB＝c．
（注：不写作法，保留作图痕迹）

【解答】解：如图，Rt△ABC即为所求．

20．（9分）小新同学在证明三角形中位线定理时，画出了以下图形，写出了已知和求证，请你帮小新完成证明过程．
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，．
证明：

【解答】解：证明：延长DE到F，使FE＝DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
∴CF∥AB，
∵BD＝AD，
∴CF＝BD，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC．

21．（9分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如表：
甲方案
乙方案


分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
请回答下列问题：
（1）对以上方案的判断，你认为正确的是：　C　．
A．甲方案可行，乙方案不可行；
B．甲方案不可行，乙方案可行；
C．甲乙两方案均可行；
D．甲乙两方案均不可行；
（2）选择其中一种你认为正确的方案进行证明，若以上两种方案均不可行，也可以自行设计一种方案进行说明；
我选的是方案：　甲方案或乙方案　；
证明：
（3）在（2）的基础上，若EF＝3AE，S△AED＝10，则▱ABCD的面积为 　100　．
【解答】解：（1）∵甲乙两方案均可行，
∴C正确，
故答案为：C；
（2）甲方案，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴AE＝AO，CF＝CO，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
乙方案，证明如下：
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
四边形BEDF是平行四边形；
（3）由（2）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EF＝3AE，
∴AC＝5AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC＝S△ADC＝5S△AED＝5×10＝50，
∴S▱ABCD＝2×50＝100，
故答案为：100．
22．（10分）端午节到了，郑州某食品厂家设计了一款名叫小贝塔的卡通造型的香粽，受到众人的喜爱．该食品厂家计划加急生产一批香粽，已知A车间每天生产的数量是B车间每天生产数量的1.5倍，两车间各生产24000个香粽时，A车间比B车间少用2天．
（1）求A、B两车间每天各生产多少个香粽？
（2）已知A、B两车间生产香粽每天的费用分别是1800元和1000元，该厂家计划生产150000个香粽，如果总生产费用不超过39000元，那么B车间至少要生产多少天？
【解答】解：（1）设B车间每天生产x个香粽，则A车间每天生产1.5x个香粽，
由题意得：＝+2，
解得：x＝4000，
经检验，x＝4000是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×4000＝6000，
答：A车间每天生产6000个香粽，B车间每天生产4000个香粽；
（2）设B车间生产m天，则A车间要生产 天，
由题意得：1000m+1800×≤39000，
解得：m≥30，
答：B车间至少要生产30天．
23．（10分）已知：△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边上的任意一点，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转α，使点A落在点E处，连接AE、BE．
（1）当α＝120°时，如图1，此时AD恰好平分∠EAC，则AE和AC的数量关系是：　AE＝AC　；
（2）当α＝90°时：
①请判断线段BA，BD，BE的数量关系，并根据图2进行证明（提示：过点D作DF⊥BC，交AB与F）；
②若AB＝6，在点D的移动过程中，当△ADC是等腰三角形时，直接写出此时△ABE的面积．

【解答】解：（1）如图：

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝30°，
∵将线段AD绕点D逆时针旋转120°，使点A落在点E处，
∴AD＝ED，∠ADE＝120°，
∴∠E＝30°＝∠C，
∵AD恰好平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴AE＝AC；
故答案为：AE＝AC；
（2）①过点D作DF⊥BC，交AB与F，如图：

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝BD，BD＝FD，
∵∠ADE＝∠BDF＝90°，
∴∠BDE＝∠FDA，
由旋转可得DE＝DA，
∴△BDE≌△FDA（SAS），
∴BE＝AF，
∵AB＝BF+AF，
∴AB＝BD+BE；
②当D与B重合时，此时AD＝AC，如图，

∵AB＝6，
∴BE＝AD＝6，
∵∠ADE＝90°，
∴S△ABE＝×6×6＝18；
当AC＝CD时，如图：

∵AB＝6＝AC＝CD，
∴BC＝AB＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣6，
由①可知，AB＝BD+BE，
∴BE＝AB﹣BD＝6﹣（6﹣6）＝6﹣6，
同①可得△BDE≌△FDA，
∴∠DBE＝∠DFA＝135°，
∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°，
∴S△ABE＝BE•AB＝×（6﹣6）×6＝18﹣18；
当AD＝CD时，如图：

此时△ABE不存在，不符合题意；
综上所述，△ABE的面积为18或18﹣18．