福建省宁德市2022-2023学年高二数学上学期期中试题（A卷）（Word版附解析）

这是一份福建省宁德市2022-2023学年高二数学上学期期中试题（A卷）（Word版附解析），共17页。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 已知直线过，两点，且倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率公式直接列方程求解即可.
【详解】因为直线过，两点，且倾斜角为，
所以，解得，
故选：C.
2. 已知为正项等比数列，且，，则（ ）
A. 8B. 9C. 12D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
【详解】解：已知，则，
解得或（舍去），
故，解得．
故选：D．
3. 在等差数列中，以表示的前项和，则使达到最大值的是（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列性质求出数列公差d，再求出其通项公式，并探讨数列的单调性即可得解.
【详解】在等差数列中，，，即，，从而得等差数列公差，，
于是得的通项公式为，则是单调递减等差数列，其前10项均为正，从第11项起的以后各项均为负，
因此，数列的前10项和最大，
所以，使达到最大值的n是10.
故选：B.
4. 圆与圆的位置关系是（ ）
A 相切B. 相交C. 内含D. 外离
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
于是，
所以两圆相交.
故选：B
5. 《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有九十二问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织四百二十尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（ ）
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为等差数列问题，通过，，由等差数列前项和公式解出公差，从而得到结果.
【详解】设每天所织布的尺数为，则数列为等差数列,设公差为，
由题意可知：，，
则，解得：.
那么此女子每日织布增长尺.
故选：C.
6. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则 （ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，根据题中条件可求得的值，进而可求得，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则，
由于，，成等差数列，则，即，
因为，整理得，即，
，解得，
因此，.
故选：A .
7. 已知，圆，圆， 若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】设直线的方程为，
由直线与圆相切，则，
解得，即，
即直线的方程为，
又圆的圆心坐标为，半径为，
圆圆心到直线距离为，
则直线被圆所截弦长为.
故选：A
8. 已知数列的首项为，其余各项为或，且在第个和第个之间有个，即数列为：，，，，，，，，，，，，，…．记数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. 3997D. 3999
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合题设中数列的规律，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】将数列第个和第个之间有个，记作第组，
即为第1组，共有项，为第2组，共有项，，
为第组，共有项，
所以前组共有的项数为项，
又由，其中，
所以第2022项在第45组中的第42个数，故，
又由第2022项中共有45项为1，其余项都为2，
所以.
故选：D.
二、多项选择题（本题每小题5分， 共20分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知数列，则下列说法正确的是（ ）
A. 此数列的通项公式是B. 是它的第项
C. 此数列的通项公式是D. 是它的第项
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解.
【详解】数列，
即，
则此数列的通项公式为，A正确，C错，
令，解得，故B正确，D错.
故选：AB
10. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的一个方向向量为B. 的一个法向量为
C. 与直线平行D. 与直线垂直
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件，结合方向向量，法向量的定义，以及直线平行、垂直的性质，即可求解.
【详解】直线的倾斜角等于，
则直线的斜率为，
对于A，因为直线的斜率为，
则的一个方向向量为，A正确；
对于B，，
法向量与直线不垂直，B错；
对于C，直线的斜率为，且不过，C正确；
对于D，直线的斜率为，
则斜率之积，故两直线垂直，D正确.
故选：ACD
11. 已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 （ ）
A. 直线与圆相切B. 圆截轴所得的弦长为
C. 的最大值为D. 的面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】求得圆的圆心，半径，以及，根据，可判定A正确；由圆的弦长公式，可判定B不正确；求得，得到的最大值为，可判定C正确；求得圆心到直线的距离为，求得最小距离，结合面积公式，可判定D正确.
【详解】由圆，可得，可得圆心，半径为，
因为点分别为直线与轴、轴的交点，可得，
对于A中，因为圆心到直线的距离为，所以A正确；
对于B中，由圆截轴的弦长为，所以B不正确；
对于C中，点在圆上，且，其中，所以的最大值为，所以C正确；
对于D中，因为圆心到直线的距离为，
则圆上点到直线的最小距离为，
因为，所以的面积的最小值为，所以D正确.
故选：ACD.
12. 已知等比数列前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列的通项公式为B.
C. 数列是等比数列D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AD，利用等比数列的基本量法求得公比和，从而求得，由此得以判断；对于C，利用等比数列的定义判断即可；对于D，利用分组求和法求得，再利用作差法即可判断．
【详解】由于等比数列前项和为，且，
所以，整理得，所以数列的公比；
由于是与的等差中项，故，
整理得，解得.
故，故A正确；
所以，故B正确；
由于数列满足，
所以当时，不为常数，
所以数列不是等比数列，故C错误；
，
又，
所以
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题选项D的解决关键是利用分组求和法求得，再利用作差法，结合二次函数的性质证得，计算量大，需要多加练习熟悉.
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置）
13. 和的等比中项是__________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设和的等比中项是a，则.
考点：等比中项的性质.
14. 数列的前项和，则的通项公式___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据求得，当时，利用求得的表达式，验证首项是否适合，即可得答案.
【详解】由题意数列的前项和，则，
当时，，
不适合上式，
故的通项公式，
故答案为：
15. 若两条平行直线与之间的距离是，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】由两直线平行列方程求出，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值，从而可求出结果.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得且，
所以直线为，
直线化为，
因为两平行线间的距离为，
所以，得，
因为
所以，得，
所以，
故答案为：3
16. 设动圆：，则圆心的轨迹方程为___________﹔若直线：被所截得的弦长为定值，则___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用消参法可得圆C的圆心轨迹方程；转化为直线与直线平行，可求得结果．
【详解】设，则，消去得
所以圆C的圆心轨迹方程是；
因为圆的半径为定值，且直线被圆C所截得的弦长为定值，
由弦长为定值，
所以圆心到直线的距离为定值，
因为圆心的轨迹为直线，所以直线与直线平行，
所以，所以
故答案为：，．
【点睛】关键点点睛：转化为直线与直线平行求解是解题关键．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ）
17. 已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求直线的方程；
（2）求顶点C的坐标.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）方法一：由题意求出，则，再利用点斜率可求出直线的方程；方法二：由题意设直线的方程为，再将点的坐标代入可求出，从而可求出直线的方程；
（2）联立直线与直线的方程可求出顶点C的坐标.
【小问1详解】
方法一：由边上的高所在直线方程为得：.
所以，
又，所以边所在直线方程为，即，
方法二：由边上的高所在直线方程为得：
故可设直线的一般式方程为：，
把的坐标代入上述方程，得：，
所以边所在直线方程为:，
【小问2详解】
联立直线与直线的方程得，
，解得
所以顶点的坐标为.
18. 国家汽车产业振兴规划的政策极大地刺激了小排量汽车的销售，据分析预测，某地今年小排量型车每月的销量将以的增长率增长，小排量型车的销量每月递增辆．已知该地今年月份销售型车和型车均为辆，据此推测，该地今年底这两款车的销售总量能否超过辆？（参考数据：，，）
【答案】推测该地区今年这两款车的总销量能超过辆．
【解析】
【分析】设该地今年第月型车和型车的销量分别为辆和辆，由题意可得是首项，公比的等比数列， 是首项，公差的等差数列，利用等差数列和等比数列的前项和求解即可.
【详解】解：设该地今年第月型车和型车的销量分别为辆和辆，
依题意，得是首项，公比的等比数列，
是首项，公差的等差数列．
设的前项和为，则，
设的前项和为，则
所以，
可推测该地区今年这两款车的总销量能超过辆．
19. 设等比数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记 为数列的前项和，求前n项的和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意有，解方程求出，即可求数列的通项公式；
（2）求出，可得数列是首项为1，公差为1的等差数列，再由等差数列的前项和求出，继而求出，再由裂项相消法求前n项的和．
【小问1详解】
设等比数列的公比为，根据题意有，
消去得：.解得：
解得:，所以.
【小问2详解】
，
于是数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以
.
.
20. 已知圆过点，且与直线相切于点．
（1）求圆标准方程；
（2）若，点在圆上运动，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）设圆心，半径为，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方程；
（2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点，再根据题意分别求出，，进而即可证明结论．
【小问1详解】
设圆心，半径为，
因为点，，所以直线的中垂线方程是，
过点且与直线垂直的直线方程是，
由，解得，
圆心，，
圆的标准方程是．
【小问2详解】
证明：由（1）知圆的标准方程为，
则其一般方程为，即，
设点，且点在圆上运动，
则，
，
于是，
定值．
21. 已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）若不等式对于恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式.
（2）将（1）中代入不等式，即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.
【小问1详解】
由，可知，，所以可得，即，
而，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
【小问2详解】
不等式对于恒成立，
即对于恒成立，
即对于恒成立.
设，
由，
当时，，即，
即，
当时，，即，
即，所以最大，，
所以，故的最小值为.
22. 已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

（1）求的取值范围；
（2）的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．
【答案】（1）
（2）的最大值为2，取得最大值时
【解析】
【分析】（1）解法一：通过圆心到直线距离小于半径且列出不等式求解即可；解法二：联立方程，令得到不等式求解，结合即可得到答案；
（2）先求出高和弦长，通过三角形面积公式直接代入求解面积，通过换元，结合二次函数性质即可得到答案.
【小问1详解】
解法一：
由题意知：圆心到直线的距离 ，
因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形，
所以，得，解得且，
所以的取值范围为.
解法二：
联立，化简得：
，得，
因为A，B，O三点构成三角形，所以
所以的取值范围为.
【小问2详解】
直线：，即，
点O到直线距离：，
所以
所以，（且）
设，则，
所以
所以当，即，即时，
所以的最大值为2，取得最大值时.