福建省南平市2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

这是一份福建省南平市2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析），共21页。

南平市2022-2023学年第一学期高二期末质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.
【详解】，
所以.
故选：D.
2. 直线与直线之间的距离为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由两线距离公式求值即可.
【详解】，显然与另一条直线平行，则所求距离为.
故选：C.
3. 函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的除法法则和复合函数的导数法则进行求解.
【详解】因；
所以；
故.
故选：D.
4. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．记，，则下列正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意可知：在平行六面体中，M为与的交点，
所以为的中点，则，
所以
，
故选：.
5. 若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】原命题等价为在R上恒成立，结合二次函数的性质列不等式求解即可.
【详解】∵函数在R上是增函数，在R上恒成立，
∴.
故选：B.
6. 过抛物线C：焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用中点关系求出E轨迹方程，结合椭圆定义由数形结合可得最小值.
【详解】设，E为线段AB的中点，则，
又，两式相减得，
由，∴，∴E的轨迹为顶点在的抛物线.
如图所示，、EP垂直C的准线于N、P，则 ，
则当与F重合时，最小，为.故的最小值为3.
故选：A.

7. 若数列的前n项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由新定义求得，然后由求得，从而可求得（裂项相消法）后得的最小值，解相应不等式可得结论．
【详解】由题意,即,
∴时，，
又，∴时，，
，
，
易知是递增数列，∴的最小值是（时取得），
由题意，解得．
故选：B．
8. 已知函数的最小值为－1，过点的直线中有且只有两条与函数的图象相切，则实数b的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用导数求出函数的最小值，结合题意可得，设过点的直线与函数的图象相切的切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过点建立方程，再结合过点的直线有两条与函数的图象相切可得，解之即可求解.
【详解】因为，则，
令可得．
当时，，是增函数．
当时，，是减函数．
所以当时，有最小值，所以，
设过点的直线与函数的图象相切的切点为，
则切线方程为，
又切线过点，
所以，
即，
即．
过点的直线有两条与函数的图象相切，
则，即，
解得：或．
故选：.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若函数，则（ ）
A. 函数只有极大值没有极小值 B. 函数只有最大值没有最小值
C. 函数只有极小值没有极大值 D. 函数只有最小值没有最大值
【答案】CD
【解析】
【分析】由导数法研究函数的极值、最值.
【详解】，单调递增，由，
则
∴函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.
故选：CD.
10. 函数，以下说法正确的是（ ）
A. 函数有零点 B. 当时，函数有两个零点
C. 函数有且只有一个零点 D. 函数有且只有两个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可.
【详解】，定义域，所以，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
则的图象如图所示：

故A错误；
又当时，，所以从图像可得，当时，函数有两个零点，B正确；
恒成立，
所以在上单调递减，
又，，所以函数有且只有一个零点，C正确，D错误；
故选：BC
11. 已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为.若对任意的，都有，则的值可能为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由等差数数列前项和公式推导出，由此能求出的值不可能为.
【详解】数列是公差不为0的等差数列，前项和.
若对任意的，都有，
，，解得，
当时，．成立；
当时，．成立；
当时，．成立；
当时，．不成立．
的值不可能为．
故选：ABC．
12. 双曲线E的一个焦点为，一条渐近线l的方程为，M，N是双曲线E上不同两点，则（ ）
A. 渐近线l与圆相切
B. M，N的中点与原点连线斜率可能为
C. 当直线MN过双曲线E的右焦点时，满足的直线MN只有3条
D. 满足的点M有且仅有2个
【答案】AC
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离即可判断A；根据题意求出双曲线的方程，假设存在点，符合题意，利用点差法求出，即可判断B；求出通径及实轴长即可判断C；分别比较与的大小即可判断D.
【详解】圆的圆心为，半径为1，
圆心到曲线E的渐近线的距离为，
所以渐近线l与圆相切，故A正确；
因，所以，即，
又一条渐近线l的方程为，所以，
可解得：，，
所以曲线E的方程为，
假设存在点，符合题意，
则的中点，，
由，，
相减得，
所以，
所以共线，故直线与渐近线重合，矛盾，故B不正确；
双曲线E焦距为，则直线MN过左右顶点时，，符合题意，
令，则有，解得，
所以双曲线的通径为，
即直线MN过双曲线E右焦点时，，
所以当直线不过左右顶点时，满足的线段有2条，
综上，满足的线段包含实轴共有3条，故C正确；
，所以右支上有两点满足题意，
，所以左支上有两点满足题意，
满足的点M有且仅有4个，D不正确．
故选：AC.
【点睛】结论点睛：
①已知椭圆的弦的中点，则；
②已知双曲线的弦的中点，则；
③已知抛物线的弦的中点，则.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等差数列的前n项和为，若，则______．
【答案】35
【解析】
【分析】根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可.
【详解】解：等差数列的前n项和为，，
，
故答案为：35.
14. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，请写出满足题意的直线PF的一个方程_____________．
【答案】（或，写其中一个即可）
【解析】
【分析】求出焦点坐标，由焦半径公式求得点坐标后可得直线方程．
【详解】由题意焦点为为，设，
则，，，，
若，则，直线方程为，即，
若，则，直线方程为，即，
故答案为：或（写一个即可）．
15. 某牧场年年初牛的存栏数为，计划以后每年存栏数的增长率为，且每年年底卖出头牛，按照该计划预计经过_____________年后存栏数首次超过．（结果保留成整数）参考数据：，
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出数列的递推公式，求出通项公式，解不等式得出答案.
【详解】设年年初牛的存栏数为，经过年（即年）,年初牛的存栏数为，经过年年初牛的存栏数为，
则，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
因此，由得，即.
所以按照该计划预计经过年后存栏数首次超过．
故答案为：7.
16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，的面积为，，则椭圆的长轴长为_____________．
【答案】7
【解析】
【分析】先根据椭圆的定义结合余弦定理和三角形面积公式可得，再利用正弦定理列式即可求解.
【详解】因为是椭圆上一点，所以，，，

由余弦定理
，

可得，
所以，
即,
所以，
又因为，所以，
由及正弦定理得，
所以，即，又，所以长轴长，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆M过点，，．
（1）求圆M的方程；
（2）求过点的直线被圆M截得的弦长的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的性质设出圆心坐标，利用相等关系求出圆心和半径，进而可得方程；
（2）根据点在圆内，确定弦长最短的状态，结合勾股定理可得答案.
【小问1详解】
由题意圆心M在AB中垂线上，设圆心，
则由得，
解得，，所以圆M的方程．
【小问2详解】
因为，点在圆内，
当弦所在的直线和MN连线垂直时，截得弦长DE最短，
此时，，
即弦长的最小值为．

18. 已知四面体ABCD的顶点坐标分别为，，，．
（1）若M是BD的中点，求直线CM与平面ACD所成的角的正弦值；
（2）若P，A，C，D四点共面，且BP⊥平面ACD，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意分别求出向量和平面ACD的一个法向量，再用直线与平面所成的角的正弦值公式代入计算即可；
（2）由题意，，于是点P的坐标为，由P，A，C，D四点共面，可设，将坐标分别代入即可解得，从而求得点P的坐标.
【小问1详解】
由题意，，，，，
可设平面ACD的法向量，
则，即，
化简得．
令，则，，
可得平面ACD的一个法向量，
设直线CM与平面ACD所成的角为，
则，
即直线CM与平面ACD所成的角的正弦值为；
【小问2详解】
由题意，，于是点P的坐标为，
又P，A，C，D四点共面，可设，
即，
即，
解得，
所以所求点P的坐标为．
19. 已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）定义，记，求数列的前20项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再设数列的公差为，即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式；
（2）根据通项公式判断数列的单调性，即可得到的通项公式，再用分组求和法计算可得.
【小问1详解】
解：因为，当时，解得，
当时，所以，即，
所以，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
设数列的公差为，由，，可得，解得，
所以.
【小问2详解】
解：因为，即数列为递增数列，
即数列单调递减，
，，，，，，
，，，，，，
所以当时，当时，
所以，
所以

.
20. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于M，N两点，当轴时，．
（1）求双曲线C的离心率e；
（2）当l倾斜角为时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得：，也即，进而求出双曲线的离心率；
（2）结合（1）的结论可得双曲线C的方程为，设直线MN的方程为，
联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式可得MN的垂直平分线的方程为，进而得到P的坐标为，计算可得，，进而求解.
【小问1详解】
根据题意．
所以，所以双曲线C的离心率．
【小问2详解】
由（1）知，双曲线C的方程为．
直线MN的方程为，
联立方程组，得，
设，，，
则，．
因为，所以MN的中点坐标为．
MN的垂直平分线的方程为，
所以P的坐标为，
所以．
又，
所以．
21. 在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，M是AB的中点，且，，．

（1）证明：平面EDC⊥平面ABCD；
（2）若，当平面ABF与平面CEF所夹的角的余弦值为时，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角的余弦值为求出的值.
【小问1详解】
因为，取CD中点O，连接OE，则EO⊥DC，且EO＝2，
因为O，M是AB的中点，所以OM＝2，所以，即EO⊥OM，
又因为EO⊥DC，且，平面ABCD，平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，又平面ABCD，
所以平面EDC⊥平面ABCD；
【小问2详解】
由（1）以O为原点，OM，OC，OE为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，
，，，
设平面CEF的一个法向量为，
则，取，
，，
设平面ABF的一个法向量为，
则，取，
所以，
解得，即当平面ABF与平面CEF所夹的角的余弦值为时，．
22. 定义椭圆C：上的点的“圆化点”为．已知椭圆C的离心率为，“圆化点”D在圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，点M，N的“圆化点”分别为点P，Q．记直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，则直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点的坐标；若直线l不过定点，说明理由．
【答案】（1）
（2）直线l过定点
【解析】
【分析】（1）结合离心率及点的位置求得，，得到椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为，与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到用参数表示，代入化简整理可得，从而得到直线的定点坐标.
【小问1详解】
由题意，所以，
由得，
又点在圆上，，
所以，即，，
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
设直线l的方程为，，，其中，
联立，
消y得，，
由，，，
得

，
因为，则，
即，所以直线l方程为，
即直线l过定点．
【点睛】求解圆锥曲线中定点问题的两种求法：
（1） 特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.
（2） 直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程（包含直线方程）中的常数变成变量，将变量当成常数，将原方程转化为的形式；②根据曲线（包含直线）过定点时与参数没有关系（即方程对参数的任意值都成立），得到方程组；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决.