高考数学真题分项汇编三年（2021-2023）（全国通用）专题08+平面解析几何（解答题）

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专题08 平面解析几何（解答题）
知识点目录
知识点1：弦长、周长问题
知识点2：斜率问题
知识点3：面积及面积比问题
知识点4：定直线问题
知识点5：向量问题
知识点6：共线与平行问题
知识点7：相切问题
知识点8：定点定值问题
近三年高考真题
知识点1：弦长、周长问题
1．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．




2．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．




3．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．
（1），中点在轴上，求点的坐标；
（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；
（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．





4．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．
（Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求的最小值．





5．（2022•北京）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值．




6．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．




7．（2022•上海）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限．
（1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程；
（2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由；
（3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值．




8．（2021•北京）已知椭圆的一个顶点，以椭圆的四个顶点围成的四边形面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线、分别与直线交于点、，当时，求的取值范围．




9．（2021•浙江）如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程：
（Ⅱ）设过点的直线交抛物线于，两点，若斜率为2的直线与直线，，，轴依次交于点，，，，且满足，求直线在轴上截距的取值范围．





知识点2：斜率问题
10．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．





11．（2021•乙卷（文））已知抛物线的焦点到准线的距离为2．
（1）求的方程；
（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．




12．（2022•甲卷（文））设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．
（1）求的方程；
（2）设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线的方程．




知识点3：面积及面积比问题
13．（2023•甲卷（文））已知直线与抛物线交于，两点，．
（1）求；
（2）设为的焦点，，为上两点，且，求面积的最小值．




14．（2023•甲卷（理））设抛物线，直线与交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）为的焦点，，为抛物线上的两点，且，求面积的最小值．




15．（2023•天津）设椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．




16．（2022•天津）椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于．记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．




17．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．




知识点4：定直线问题
18．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．




知识点5：向量问题
19．（2021•上海）已知，，是其左、右焦点，直线过点，，交椭圆于，两点，且，在轴上方，点在线段上．
（1）若是上顶点，，求的值；
（2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程；
（3）证明：对于任意，使得的直线有且仅有一条．




20．（2021•甲卷（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．




知识点6：共线与平行问题
21．（2023•北京）已知椭圆的离心率为，、分别为的上、下顶点，、分别为的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）点为第一象限内上的一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．




22．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆的方程为，右焦点为，，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是．




23．（2021•天津）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．




知识点7：相切问题
24．（2021•甲卷（文））抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且．已知点，且与相切．
（1）求，的方程；
（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．




知识点8：定点定值问题
25．（2023•乙卷（文））已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．




26．（2022•乙卷（文））已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，，两点．
（1）求的方程；
（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点．