中考数学二轮精品专题复习 圆(填空题二)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 圆(填空题二)，共37页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(填空题二)》
一．填空题（共25小题）
1．（2023•扬州）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 　 　cm．
2．（2023•内江）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 　 　．

3．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 　 　．

4．（2023•金华）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　 　cm．

5．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S1S2=　 　．

6．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为　 　．
7．（2023•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 　 　．

8．（2023•上海）在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD＝DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是　 　．
9．（2023•烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 　 　．

10．（2023•苏州）如图，在▱ABCD中，AB=3+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH=3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝　 　．（结果保留根号）

11．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π）

12．（2023•金昌）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝　 　°．

13．（2023•新疆）若一个正多边形的每个内角为144°，则这个正多边形的边数是 　 　．
14．（2023•连云港）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转 　 　°．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 　 　．

16．（2023•成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 　 　名观众同时观看演出．（π取3.14，3取1.73）

17．（2023•云南）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 　 　分米．
18．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在BDC上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　 　．

19．（2023•浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是 　 　．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是 　 　．

20．（2023•广安）如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为 　 　．

21．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．

22．（2023•自贡）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 　 　cm2．

23．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 　 　．

24．（2023•达州）在△ABC中，AB＝43，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP=12AC，连接AP，则AP的最小值为 　 　
25．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）


2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(填空题二)》
参考答案与试题解析
一．填空题（共25小题）
1．（2023•扬州）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 　5　cm．
【考点】圆锥的计算；展开图折叠成几何体．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
则12×2πr×24＝120π，
解得：r＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
2．（2023•内江）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 　42　．

【考点】圆锥的计算；展开图折叠成几何体．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得2πr=120π×6180，解得r＝2，然后利用扇形的半径等于圆锥的母线长和勾股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=120π×6180，
解得r＝2，
所以圆锥的高=62−22=42．
故答案为：42．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
3．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 　10　．

【考点】正多边形和圆；全等图形．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．
【解答】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：15×180°×（5﹣2）＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
4．（2023•金华）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　56π　cm．

【考点】弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出DE的长．
【解答】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD=12AB=12×6＝3（cm），
∴DE的长=50π×3180=56π（cm）．
故答案为：56π．

【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数．
5．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S1S2=　2　．

【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；推理能力．
【分析】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到 S△ABC＝S△AEE＝S△CDES△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OE．


∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是⊙O的内接正三角形，
∵∠B＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA=12（180°﹣∠B）＝30°，
∵∠CAE＝60°，
∴∠OAC＝∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝∠OAC＝30°，
同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，
又∵AC＝AC，
∴△BAC≌△OAC（ASA），
∴S△BAC＝S△AOC，
圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，
由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，
∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，
∴S1S2=2，
故答案为：2
【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知 识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
6．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为　18　．
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【解答】解：360°÷20°＝18．
故这个正多边形的边数为18．
故答案为：18．
【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
7．（2023•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 　245　．

【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，根据切线的性质得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB=AC2+BC2=10，则12AB•CD=12AC•BC＝S△AOB，所以12×10CD=12×8×6，则r＝CD=245，于是得到问题的答案．
【解答】解：设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，
∵CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵12AB•CD=12AC•BC＝S△AOB，
∴12×10CD=12×8×6，
解得CD=245，
∴r＝CD=245，
故答案为：245．

【点评】此题重点考查切线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．（2023•上海）在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD＝DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是　10＜r≤210　．
【考点】圆与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】先画出图形，连接BE，利用勾股定理可得 BE=9+4r2，AC=210，从而可得10＜r≤210，再根据⊙B与⊙E有公共点列不等式，用二次函数与一元二次方程，一元二次不等式的关系解答．
【解答】解：连接BE，如图：

∵⊙B过点A，且AB＝7，
∴⊙B的半径为7，
∵⊙E过点D，它的半径为r，且CD＝DE，
∴CE＝CD+DE＝2r，
∵BC＝3，∠C＝90°，
∴BE=BC2+CE2=9+4r2，AC=AB2−BC2=210，
∵D在边AC上，点E在CA延长线上，
∴r≤2102r＞210，
∴10＜r≤210，
∵⊙B与⊙E有公共点，
∴AB﹣DE≤BE≤AB+DE，
∴9+4r2≤7+r①7−r≤9+4r2②，
由①得：3r2﹣14r﹣40≤0，
解方程3r2﹣14r﹣40＝0得：r＝﹣2 或 r=203，
画出函数 y＝3r2﹣14r﹣40 的大致图象如下：

由函数图象可知，当y≤0时，−2≤r≤203，即不等式①的解集为−2≤r≤203，
同理可得：不等式②的解集为r≥2或 r≤−203，
∴不等式组的解集为 2≤r≤203，
又∵10＜r≤210，
∴⊙E半径r的取值范围是10＜r≤210．
故答案为：10＜r≤210．
【点评】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．
9．（2023•烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 　52.5°　．

【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由图形求出∠BOD的度数，由圆周定理得到∠BAD=12∠BOD．
【解答】解：设量角器的圆心是O，连接OD，OB，
∵∠BOD＝130°﹣25°＝105°，
∴∠BAD=12∠BOD＝52.5°．
故答案为：52.5°．

【点评】本题考查圆周角定理，关键是求出∠BOD的度数，由圆周角定理即可得到答案．
10．（2023•苏州）如图，在▱ABCD中，AB=3+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH=3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝　324　．（结果保留根号）

【考点】圆锥的计算；展开图折叠成几何体；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质以及正弦函数的定义求出∠D＝60°，∠BAC＝45°，利用弧长公式以及圆的周长公式求出r1，r2即可．
【解答】解：在▱ABCD中，AB=3+1，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB=3+1，AB∥CD．
∵AH⊥CD，垂足为H，AH=3，
∴sinD=AHAD=32，
∴∠D＝60°，
∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，
∴DH=12AD＝1，
∴CH＝CD﹣DH=3+1﹣1=3，
∴CH＝AH，
∵AH⊥CD，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠ACH＝∠CAH＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACH＝45°，
∴45π×3180=2πr1，解得r1=38，
30π×3180=2πr2，解得r2=312，
∴r1﹣r2=38−312=324．
故答案为：324．
【点评】本题考查了圆锥的计算，平行四边形的性质，解直角三角形，弧长公式，求出∠D＝60°，∠BAC＝45°是解决本题的关键．
11．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 　1500π　cm2．（结果保留π）

【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：烟囱帽的侧面积为：12×2π×30×50＝1500π（cm2），
故答案为：1500π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的侧面展开图是扇形以及扇形面积公式是解题的关键．
12．（2023•金昌）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝　35　°．

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．
13．（2023•新疆）若一个正多边形的每个内角为144°，则这个正多边形的边数是 　10　．
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得：
（n﹣2）180°＝144°×n，
解得n＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程式解题关键．
14．（2023•连云港）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转 　60　°．

【考点】正多边形和圆；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；正多边形与圆；运算能力．
【分析】以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，即∠DCD'是旋转角，∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少要旋转60°．
【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD＝120°，
要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，
则∠DCD'至少为60°，则正六边形ABCDEF至少旋转60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查多边形的性质和旋转的性质，熟悉性质是解题关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 　6或230　．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OD，DE，根据切线的性质和勾股定理求出OD＝6，然后分三种情况讨论：①当AP＝PD时，此时P与O重合，②如图2，当AP′＝AD时，③如图3，当DP′′＝AD时，分别进行求解即可．
【解答】解：如图1，连接OD，DE，
∵半圆O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
在Rt△OBD中，OB＝OE+BE＝OD+3，BD＝35．
∴OB2＝BD2+OD2，
∴（OD+3）2＝（35）2+OD2，
解得OD＝6，
∴AO＝EO＝OD＝6，
①当AP＝PD时，此时P与O重合，
∴AP＝AO＝6；
②如图2，当AP′＝AD时，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴ODAC=BDBC=BOBA，
∴6AC=3535+CD=3+63+6+6，
∴AC＝10，CD＝25，
∴AD=AC2+CD2=100+20=230，
∴AP′＝AD＝230；
③如图3，当DP′′＝AD时，
∵AD＝230，
∴DP′′＝AD＝230，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC，
过点D作DH⊥AE于点H，
∴AH＝P″H，DH＝DC＝25，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADH≌Rt△ADC（HL），
∴AH＝AC＝10，
∴AH＝AC＝P″H＝10，
∴AP″＝2AH＝20（E为AB边上一点，不符合题意，舍去），
综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或230．
故答案为：6或230．



【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性强，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
16．（2023•成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 　184　名观众同时观看演出．（π取3.14，3取1.73）

【考点】垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】过O作OD⊥AB，D为垂足，可得到∠AOD＝60°，所以∠AOB＝120°，再求出S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB=120π×102360−12×103×5=1003π﹣253≈61（m2），然后乘以3即可得到观看马戏的观众人数约为183人．
【解答】解：过O作OD⊥AB，D为垂足，

∴AD＝BD，OD＝5m，
∵cos∠AOD=ODOA=510=12，
∴∠AOD＝60°，AD=3OD＝53m，
∴∠AOB＝120°，AB＝103m，
∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB=120π×102360−12×103×5=1003π﹣253≈61.4（m2），
∴61.4×3＝184（人）．
∴观看马戏的观众人数约为184人．
故答案为：184人．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键，也考查了三角函数的概念和特殊角的三角函数值．
17．（2023•云南）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 　15　分米．
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；空间观念．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得：圆锥的高为：42−12=15（分米），
故答案为：15．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记勾股定理是解题的关键．
18．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在BDC上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　65°　．

【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OC，OB，根据切线的性质得到∠ACO＝∠ABO＝90°，求得∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接OC，OB，
∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，
∴∠D=12∠COB=65°，
故答案为：65°．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（2023•浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是 　66−62　．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是 　18+12π﹣183　．

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，由等腰直角三角形性质可得CK＝GK=22CG，进而得出BK＝BC﹣CK＝12−22CG，利用解直角三角形可得BK=3GK，建立方程求解即可得出答案；如图2，以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE′交AB于H′，连接DD′，过点D作DM⊥AB于M，过点C作CN⊥DD′于N，则∠BCE′＝∠DCD′＝60°，点D的运动轨迹为DD′，点H的运动轨迹为线段BH′，因此在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，再利用等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式即可求得答案．
【解答】解：如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，

∵∠BCD＝45°，
∴△CGK是等腰直角三角形，
∴CK＝GK=22CG，
∵BC＝12，
∴BK＝BC﹣CK＝12−22CG，
在Rt△BGK中，∠GBK＝30°，
∴GKBK=tan∠GBK＝tan30°=33，
∴BK=3GK，
即12−22CG=3×22CG，
∴CG＝66−62；
如图2，以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE′交AB于H′，连接DD′，过点D作DM⊥AB于M，过点C作CN⊥DD′于N，
则∠BCE′＝∠DCD′＝60°，点D的运动轨迹为DD′，点H的运动轨迹为线段BH′，

∴在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，
∵CD＝BC•cosCBD＝12cos45°＝62，
∴DG＝CD﹣CG＝62−（66−62）＝122−66，
∵∠BCD+∠ABC＝60°+30°＝90°，
∴∠BH′C＝90°，
在Rt△BCH′中，CH′＝BC•sin30°＝12×12=6，BH′＝BC•cos30°＝12×32=63，
∵△CD′E′是等腰直角三角形，∠CD′E′＝90°，D′H′⊥CE′，
∴D′H′=12CE′＝6，
∴BD′＝63+6，
∵DM⊥AB，
∴∠DMG＝90°，
∴∠DMG＝∠CH′G，
∵∠DGM＝∠CGH′，
∴△DGM∽△CGH′，
∴DMCH′=DGCG，即DM6=122−6666−62，
∴DM＝33−3，
∵CD′＝CD＝62，∠DCD′＝60°，
∴△CDD′是等边三角形，
∴∠CDD′＝60°，
∵CN⊥DD′，
∴CN＝CD•sin∠CDD′＝62sin60°＝36，
∴S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′=12×（63+6）×（33−3）+60π⋅(62)2360−12×62×36=18+12π﹣183；
故答案为：66−62；18+12π﹣183．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，等腰直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，得出DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′是解题关键．
20．（2023•广安）如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为 　73　．

【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【分析】根据圆周角和圆心角的关系，可以求得∠BOC的度数，然后根据锐角三角函数可以得到BD的长，再根据垂径定理即可得到BC的长．
【解答】解：作OD⊥BC于点D，连接OB，OC，如图所示，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OD⊥BC，
∴∠BOD＝60°，OB＝7，BD＝CD，
∴BD＝BO•sin∠BOD＝7×sin60°＝7×32=732，
∴BC＝2BD＝73，
故答案为：73．

【点评】本题考查三角形的外接圆、垂径定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 　4﹣π　（结果保留π）．

【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．
【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴阴影部分的面积为12×4×2−2×45π×22360=4﹣π．
故答案为：4﹣π．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
22．（2023•自贡）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 　16π9　cm2．

【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】求出弧长为4πcm，半径为8cm的扇形所对应的圆心角度数，进而求出粘贴部分的圆心角度数，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，由题意得弧AC的长为2π×2＝4π（cm），
设弧AC所对的圆心角为n°，则
即nπ×8180=4π，
解得n＝90，
∴粘贴部分所对应的圆心角为100°﹣90°＝10°，
∴圆锥上粘贴部分的面积是10π×82360=16π9（cm2），
故答案为：16π9．

【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积以及弧长的计算方法是正确解答的前提．
23．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 　4　．

【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据垂径定理得OM⊥AC，根据圆周角定理得∠C＝90°，根据勾股定理得AB=122+52=13，根据三角形中位线定理得OD=12BC＝2.5，OD∥BC，所以OD⊥AC，MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
【解答】解：∵点M是弧AC的中点，
∴OM⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵AC＝12，BC＝5，
∴AB=122+52=13，
∴OM＝6.5，
∵点D是弦AC的中点，
∴OD=12BC＝2.5，OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴O、D、M三点共线，
∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理是解题的关键．
24．（2023•达州）在△ABC中，AB＝43，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP=12AC，连接AP，则AP的最小值为 　213−2　
【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】作△ABC 的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得AM＝BM＝CM＝4，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得∠AMC＝∠PNB，从而易证△AMC∽△PNB，可得 CMPN=ACPB=21 即 PN=12CM=2，勾股定理即可求得AN=213，在△APN中由三角形三边关系AP≥AN﹣PN即可求解．
【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；

∵∠C＝60°，M为△ABC的外接圆的圆心，
∴∠AMB＝120°，AM＝BM，
∴∠MAB＝∠MBA＝30°，
∴MD=12AM，
∵MD⊥AB，
∴AD=12AB=23，
在Rt△ADM中，
∵AM2＝MD2+AD2，
∴AM2=(12AM)2+(23)2，
∴AM＝4，
即AM＝BM＝CM＝4，
由作图可知BN⊥AB，N在BP的垂直平分线上，
∴∠PBN＝∠BPN＝90°﹣∠ABC，
∴∠PNB＝180°﹣（∠PBN+∠BPN）＝2∠ABC，
又∵M为△ABC的外接圆的圆心，
∴∠AMC＝2∠ABC，
∴∠AMC＝∠PNB，
∵CMPN=AMBN，
∴△AMC∽△PNB，
∴CMPN=ACPB，
∵BP=12AC，
∴CMPN=ACPB=21，
即PN=12CM=2，
∴PN＝BN＝2，
在Rt△ABN 中，AN=AB2+BN2=(43)2+22=213，
在△APN中，AP≥AN−PN=213−2，
即AP最小值为213−2，
故答案为：213−2．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合△ABC的外接圆构造相似三角形．
25．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为 　254π﹣12　．（结果保留π）

【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵AB＝4，AD＝3，
∴BD=AD2+AB2=32+42=5，
∴S阴影＝S⊙O﹣S矩形ABCD=π×(52)2−3×4=254π﹣12．
故答案为：254π﹣12．

【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．

考点卡片
1．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
2．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
3．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
5．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
7．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
8．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
9．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
10．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
11．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离⇔d＞R+r；
②两圆外切⇔d＝R+r；
③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
12．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
13．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
14．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
15．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积=13×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
16．圆的综合题
圆的综合题．
17．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
18．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
19．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/9 9:12:08；用户：组卷3；邮箱：zyb003@xyh.com；学号：41418966