2021-2023年高考数学真题分类汇编专题12 数列（2份打包，原卷版+解析版）

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专题12数列
知识点目录
知识点1：等差数列基本量运算
知识点2：等比数列基本量运算
知识点3：数列的实际应用
知识点4：数列的最值问题
知识点5：数列的递推问题（蛛网图问题）
知识点6：等差数列与等比数列的综合应用
知识点7：数列新定义问题
知识点8：数列通项与求和问题
知识点9：数列不等式
近三年高考真题
知识点1：等差数列基本量运算
1．（2023•甲卷（文））记为等差数列的前项和．若，，则　　
A．25 B．22 C．20 D．15
2．（2022•乙卷（文））记为等差数列的前项和．若，则公差 ．
3．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有 个．
4．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．




5．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．




6．（2021•甲卷（理））已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．




7．（2023•乙卷（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．




8．（2021•甲卷（文））记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列．





知识点2：等比数列基本量运算
9．（2022•乙卷（文））已知等比数列的前3项和为168，，则　　
A．14 B．12 C．6 D．3
10．（2021•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，，则　　
A．7 B．8 C．9 D．10
11．（2023•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
12．（2021•上海）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为 ．
13．（2023•乙卷（理））已知为等比数列，，，则 ．
14．（2021•甲卷（理））等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
15．（2023•天津）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为　　
A．3 B．18 C．54 D．152
16．（2023•甲卷（理））已知等比数列中，，为前项和，，则　　
A．7 B．9 C．15 D．30
17．（2022•上海）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是　　
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
18．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则　　
A．120 B．85 C． D．
知识点3：数列的实际应用
19．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则　　

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
20．（2022年全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（       ）
A． B． C． D．

21．（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长，，，， （单位： 成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：，且长与宽之比都相等．已知，，，则　　
A．64 B．96 C．128 D．160
知识点4：数列的最值问题
22．（2021•北京）已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为　　
A．9 B．10 C．11 D．12
23．（2021•上海）已知，2，，对任意的，或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为 ．
知识点5：数列的递推问题（蛛网图问题）
24．（2023•北京）数列满足，下列说法正确的是　　
A．若，则是递减数列，，使得时，
B．若，则是递增数列，，使得时，
C．若，则是递减数列，，使得时，
D．若，则是递增数列，，使得时，
25．（2022•浙江）已知数列满足，，则　　
A． B． C． D．
26．（2021•浙江）已知数列满足，．记数列的前项和为，则　　
A． B． C． D．
知识点6：等差数列与等比数列的综合应用
27．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则　　
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
28．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前项和为，求证：；
（3）求．




29．（2022•浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围．




30．（2022•新高考Ⅱ）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合，中元素的个数．




31．（2022•甲卷（文））记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．




32．（2021•乙卷（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．





知识点7：数列新定义问题
33．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）设正整数，其中，，记，则　　
A． B．
C． D．
知识点8：数列通项与求和问题
34．（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则　 　，数列的所有项的和为 ．
35．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　 　，如果对折次，那么
36．（2023•天津）已知是等差数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．
当时，求证：；
求的通项公式及其前项和．




37．（2023•甲卷（理））已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．




38．（2021•乙卷（理））记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．




39．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．




知识点9：数列不等式
40．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．




41．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．




42．（2021•天津）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，．
证明：是等比数列；
证明：．




43．（2021•浙江）已知数列的前项和为，，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，
求实数的取值范围．