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2022-2023学年福建省厦门市思明区双十中学五缘湾实验中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省厦门市思明区双十中学五缘湾实验中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省厦门市思明区双十中学五缘湾实验中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x−2有意义，x的范围应满足( )
A. x≥2 B. x>2 C. x≠2 D. x≠0
2. 一组数据3，5，1，4，5的中位数是( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
3. 下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 3 2÷ 2=3 C. 3 2− 2=3 D. (2 3)2=6
4. ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列与线段OB一定相等的是( )
A. AB B. OA C. OC D. OD
5. 已知正比例函数y=kx(k≠0)，当x=2时，y=6，下列哪个点在该函数图象上( )
A. (1,−3) B. (3,−1) C. (6,2) D. (−2,−6)
6. 在操场上，小明沿正东方向走80m后，沿第二个方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地，小明走的第二个方向是( )
A. 正西方向 B. 东北方向
C. 正南方向或正北方向 D. 东南方向
7. 如图，已知直角坐标系中的四个点：A(0,2)，B(1,0)，C(3,1)，D(2,3).直线AB和直线CD的函数表达式分别为y1=k1x+b1和y2=k2x+b2，则( )
A. k1=k2，b1>b2
B. k1=k2，b1
D. k1≠k2，b1
A. 2 5 B. 6 C. 8 D. 12
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
9. −2的相反数是______．
10. 一次函数y=2x−4与x轴交点坐标为______ ．
11. 计算a⋅(1−1a)= ______ ．
12. 双十中学今年春季开展体操活动，家炜收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员(各50名)的身高情况，得到以下信息：平均身高(单位：cm)分别为：x−甲=160,x−乙=162；方差分别为：S甲2=1.5,S乙2=2.6.现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择______ .(填写“甲”或“乙”)
13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，BD平分∠ABC.给出下列两个条件：①AD=CD，②AD//BC；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形ABCD是菱形，这个条件是______ .(填写序号)
14. 在平面直角坐标系中，点A(2,0)，B(3,3)，C(5,3)，连接BC，若点D是BC的中点，连接AD，则AD的长为______ ．
15. 如图，已知菱形ABCD和正方形DEBF，AD=6,ED=3 2，连接AE，则线段AE长为______ ．
16. 如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边CD上，DE=1；作EF//BC，分别交AC、AB于点G、E，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：
(1)( 8− 6)× 2−( 2)2；
(2)(3− 5)×(3+ 5)+3 3．
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD，EF与BD相交于点O.求证：O是BD的中点．
19. (本小题8.0分)
某校教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了下表：
零花钱数额/元
5
10
15
20
学生人数
a
15
20
5
(1)求a的值；
(2)求这50名学生一周内的零花钱数额的平均数；
(3)若老师随机抽查一名学生，询问其一周内的零花钱数额，得到的回答最可能是几元？简要说明理由．
20. (本小题8.0分)
已知一次函数y=kx+2的图象经过点(−1,0)．
(1)求该函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是该函数图象上的两点，若x1>x2，则y1 ______ y2(填“>”、“<”或“=”)．
21. (本小题8.0分)
“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h(单位km)，观测者能看到的最远距离为d(单位km)，则d≈ 2hR，其中R是地球半径，通常取6400km．
(1)小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值．
(2)判断下面说法是否正确，并说明理由；
泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海．
22. (本小题8.0分)
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线．
(1)尺规作图：求作▱ACED；(保留作图痕迹.不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AB=8，AD=5，点E到CD的距离．
23. (本小题12.0分)
数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD边上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM．
根据以上操作，如图1，当点M在EF上时，连接AM，判断△ABM的形状并证明．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片ABCD，且边长为8cm，继续探究，过程如下：
①将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.如图2，当点M在EF上时，求FQ的长；
②点P在边AD上，将△ABP沿直线BP翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接DM并延长交正方形ABCD一边于点G.当BG=DP时，DP的长为______ ．
24. (本小题12.0分)
双十中学初二生物学习小组研究同一盆栽内A、B两种植物的生长情况.他们发现施用某种药物时，会对A、B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用.通过实验观察，得到如下信息：
下表为植物A的生长高度f(cm)与药物施用量x(mg)的关系．
药物施用量(mg)
1
2
5
9
10
14
15
植物A生长高度f(cm)
8.3
8.6
9.5
10.7
11.1
12.2
12.5
如图为植物B的生长高度g(cm)与药物施用量x(mg)的关系(图象是一条线段)．
(1)求植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式；
(2)植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成某种函数，试求出这个函数表达式；若植物A按这个规律生长，请估计药物施用量为17mg时，植物A的生长高度；
(3)该小组继续研究发现，植物A、B按照(1)(2)中的生长规律继续生长，当药物施用量超过amg(a≥15且a为整数)时，植物B的抑制作用更明显，药物施用量每增加1mg，植物B的生长高度g减少1cm.小组记录了5次实验数据，当药物施用量分别为12，15，17，21，27时，植物B的平均生长高度为10cm.当两种植物高度差不超过6cm时，二者的生长会处于一种平衡状态，求满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围．
25. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点M(−1,m)，N(−1,−2m)(m≠0)，原点O关于直线MN的对称点为A，直线OM，AN交于点P．
(1)填空：点A的坐标是______ ；当m=2时，点P的坐标为______ ；
(2)连接ON，△ONP的面积为6．
①求m的值；
②若点M在x轴的上方，Q是直线AN上的一个动点，将Q绕点E(1,0)顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，求OQ′的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：要使二次根式 x−2有意义，必须x−2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件得出x−2≥0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件是解此题的关键，注意： a中a≥0．
2.【答案】C
【解析】解：把数据3，5，1，4，5从小到大排列得1，3，4，5，5，
∴数据3，5，1，4，5的中位数是4．
故选：C．
利用中位数的定义求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
3.【答案】B
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故A不符合题意；
B、3 2÷ 2=3，故B符合题意；
C、3 2− 2=2 2，故C不符合题意；
D、(2 3)2=12，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
故选：D．
由平行四边形的性质可得OB=OD．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：把x=2，y=6代入y=kx(k≠0)得，6=2k，
解得k=3，
∴正比例函数为y=3k，
A、∵当x=1时，y=3≠−3，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵当x=3时，y=9≠−1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵当x=6时，y=18≠2，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
D、∵当x=−2时，y=−6，∴此点在函数图象上，故本选项正确．
故选：D．
把x=2，y=6代入正比例函数y=kx(k≠0)求得解析式，然后分别把各点代入一次函数的解析式进行检验即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形，难度中等．
根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案．
【解答】
解：如图，AB=80m，BC=BD=60m，AC=AD=100m，
根据602+802=1002得：∠ABC=∠ABD=90°，
故小明向东走80m后，又走60m的方向是正南方向或正北方向，
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：把A(0,2)，B(1,0)代入y1=k1x+b1得：
b1=2k1+b1=0，
解得k1=−2b1=2，
把C(3,1)，D(2,3)代入y2=k2x+b2得：
3k2+b2=12k2+b2=3，
解得k2=−2b2=7，
∴k1=k2，b1
用待定系数法求出k1、k2、b1、b2的值即可得答案．
本题考查一次函数与系数的关系，解题的关键是掌握待定系数法求出k1、k2、b1、b2的值．
8.【答案】B
【解析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得矩形的面积．
解：如图所示，过点B、D分别作y=12x−3的平行线，交CD、AB于点E、F．
由图象和题意可得AD=7−5=2，BE=DF= 5，
则AF= DF2−AD2= 5−4=1，
∴BF=(11−7)×12=2，
∴AB=AF+BF=1+2=3，
∴矩形ABCD的面积为AB⋅AD=3×2=6．
故选：B．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】2
【解析】解：−2的相反数是：−(−2)=2，
故答案为：2．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，注意0的相反数是0．
10.【答案】(2,0)
【解析】解：把y=0代入y=2x−4得：0=2x−4，
解得：x=2，
即一次函数y=2x−4与x轴的交点坐标是(2,0)．
故答案为：(2,0)．
把y=0代入y=2x−4求出x的值，即可得出答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意：一次函数与x轴的交点的纵坐标是0．
11.【答案】a−1
【解析】解：a⋅(1−1a)
=a−a⋅1a
=a−1．
故答案为：a−1．
通过去括号进行计算．
本题主要考查了分式的混合运算，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
12.【答案】甲队
【解析】解：∵S甲2=1.5，S乙2=2.6，
∴S甲2
故答案为：甲队．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13.【答案】②
【解析】解：这个条件是②，理由如下：
(2)∵AC⊥BD，BD平分∠ABC．
∴∠ABO=∠CBO，∠AOB=∠COB=90°，
在△ABO与△CBO中，
∠ABO=∠CBOBO=BO∠AOB=∠COB，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴AB=BC，
∵AD//BC，
∴∠CBO=∠ADO，
∴∠ABO=∠ADO，
∴AB=AD，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：②．
根据全等三角形的性质得到AB=BC，根据平行线的性质得到∠CBO=∠ADO，求得∠ABO=∠ADO，推出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到四边形ABCD是菱形．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
14.【答案】 13
【解析】解：∵点D是BC的中点，B(3,3)，C(5,3)，
∴D(4,3)，
∵A(2,0)，
∴AD= (4−2)2+(3−0)2= 13，
∴AD的长为 13，
故答案为： 13．
根据中点坐标公式求出点D的坐标，再利用两点间距离公式求出AD的长，进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键．
15.【答案】3 3−3
【解析】解：如图，连接EF，DB相交于点O，
∵DEBF是正方形，
∴EF⊥DB，EO=DO，
∴△DEO是等腰直角三角形，
∵ED=3 2，
∴EO2+DO2=ED2，
∴EO=DO=3，
在直角三角形ADO中，
∵AD2=AO2+DO2，
∵AD=6，DO=3，
∴AO=3 3，
∴AE=AO−EO=3 3−3．
故答案为：3 3−3．
连接EF，DB相交于点O，△DEO是等腰直角三角形，利用勾股定理求出DO的长度，在△ADO中，利用勾股定理可求得AO的长度，则AE=AO−EO．
本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的对角线垂直平分是解题关键．
16.【答案】2.5
【解析】解：连接FM，FC，
∵四边形ABCD是正方形，EF//BC，
∴∠BAC=45°，四边形BCEF为矩形，
∴△AFG为等腰直角三角形，BE=CF，
∵M是AG的中点，
∴AM=MG，
则FM⊥AG，
即△FMC是直角三角形，
∵N是BE的中点，四边形BCEF是矩形，
∴点N在CF上，且是CF的中点，
∴MN=12FC，
∵DE=1，BC=DC=4，
∴CE=3，
∴BE=FC= BC2+CE2= 42+32=5，
∴MN=12FC=2.5．
故答案为：2.5．
连接FM，FC，易求△AFG为等腰直角三角形，△FMC是直角三角形，即可得MN=12FC，利用勾股定理求解FC的长即可求解．
本题主要考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等腰直角三角形及直角三角形斜边上的中线的性质等知识的综合运用．
17.【答案】解：(1)原式=4−2 3−2
=2−2 3；
(2)原式=9−5+ 3
=4+ 3．
【解析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可；
(2)利用平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．
18.【答案】证明：方法1，连接BE、DF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴DE//BF，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OB=OD，
∴O是BD的中点．
方法2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ODE=∠OBF，
又∵AE=CF，
∴DE=BF，
在△DOE和△BOF中，
∠DOE=∠BOF∠ODE=∠OBFDE=BF，
∴△DOE≌△BOF(AAS)，
∴OD=OB，
∴O是BD的中点．
【解析】方法1、连接BE、DF，由已知证出四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．
方法2、先判断出DE=BF，进而判断出△DOE≌△BOF即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质；通过作辅助线证明四边形BEDF是平行四边形是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)总人数50，所以a=50−15−5−20=10；
(2)平均数为：150×(5×10+10×15+15×20+20×5)=12(元)；
(3)15元，理由如下：
本周内有20人的零花钱是15元，出现次数最多，所以众数是15；
所以老师随机抽查一名学生，询问其一周内的零花钱数额，得到的回答最可能是15元．
【解析】(1)用学生总数减去其他学生数即可得到本题答案；
(2)用加权平均数计算平均数即可；
(3)根据众数的意义解答即可．
本题考查的是平均数、众数和中位数的概念和其意义．要注意：当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
20.【答案】>
【解析】解：(1)将(−1,0)代入y=kx+2，
得0=−k+2，
解得k=2，
∴y=2x+2．
(2)将x=0代入y=2x+2，
得y=2，
∴直线经过(0,2)，
图象如下：
(3)∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，
∴若x1>x2，则y1>y2，
故答案为：>．
(1)将(−1,0)代入y=kx+2求解；
(2)将x=0代入解析式可得直线与y轴交点，根据直线与坐标轴交点作图；
(3)根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．
21.【答案】解：(1)由R=6400km，h=0.02km，
得d= 2×0.02×6400= 256=16(km)，
答：此时d的值为16km；
(2)说法是错误，
理由：站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h=1.5km，
则d2=2×1.5×6400=19200，
2302=52900，
∵19200<52900，
∴d<230，
∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海．
【解析】(1)根据d≈ 2hR，由R=6400km，h=0.02km，求出即可；
(2)站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h=1.5km，求得d2=2×1.5×6400=19200，2302=52900，比较即可得到结论．
此题主要考查了二次根式的应用，利用算术平方根求出值，将数据直接代入求出是解题关键．
22.【答案】解：(1)如图，▱ACED为所作；
(2)过E点作EH⊥BC于H点，如图，
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线．
∴CD=BD=AD=5，
∴AC= BC2−AB2= 102−82=6，
∴S△ACD=12S△ABC=12×12×6×8=12，
∵四边形ACED为平行四边形，
∴S△ECD=S△ACD=12，
即12×5×EH=12，
解得EH=245，
即点E到CD的距离为245．
【解析】(1)分别以C、D为圆心，以AD、AC为半径画弧，两弧相交于点E，则利用两组对边分别相等的四边形为平行四边形可得到四边形ACED为平行四边形；
(2)过E点作EH⊥BC于H点，如图，先根据斜边上的中线性质得到CD=BD=AD=5，则利用勾股定理可计算出AC=6，再利用三角形面积公式计算出S△ACD=12，接着利用平行四边形的性质得到12×5×EH=12，然后求出EH即可．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23.【答案】4cm或(8 3−8)cm
【解析】解：(1)△ABM是等边三角形，理由如下：
∵对折矩形纸片ABCD，
∴AE=BE=12AB，∠AEF=∠BEF=90°，
∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴AB=BM，∠ABP=∠PBM，
∵sin∠BME=BEBM=12，
∴∠EMB=30°，
∴∠MBE=60°，
∴△ABM是等边三角形；
(2)①同(1)可得∠PBC=60°，
∵AD//BC，
∴∠APB=∠PBC=60°，
由翻折可知，
∴∠APB=∠MPB=60°，
∴∠DPQ=180°−∠APB−∠MPB=60°，
∵AD//EF，
∴∠DPQ=∠FMQ=60°，
由折叠可知BE=4cm，BM=8cm，∠BEM=∠BMP=∠CFE=90°，
∵EM= BM2−BE2=4 3(cm)，
∵BC=EF=8cm，
∴MF=EF−EM=(8−4 3)cm，
在Rt△QFM中，∠FMQ=60°，
∴FQ= 3MF=(8−4 3)× 3=(8 3−12)cm；
②如图3.1中，连接PB，AM交于点J，
∵BG=PD，BG//PD，
∴四边形BGDP是平行四边形，
∴PB//DG，
∵△PBM是由△PBA翻折得到，
∴AJ=JM，
∴AP=PD=12AD=4cm；
如图3.2中，连接AM，BP交于点O，过点M作MT⊥AD．
∵AB=AD，BG=DP，
∴AG=AP，
∵∠BAP=∠DAG=90°，
∴△BAP≌△DAG(SAS)，
∴∠ABP=∠ADG，
∵AM⊥PB，
∴∠ABP+∠BAO=90°，∠BAO+∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠ABP，
∴∠PAO=∠ADG，
∴MA=MD，
∵MT⊥AD，
∴AT=DT=4cm，
设TM=x cm，
∵TM//AG，AT=TD，
∴MD=MG，
∴AG=2TM=2x cm，
∴PA=PM=AG=2x cm，
∴PT= PM2−TM2= (2x)2−x2= 3x(cm)，
∴2x+ 3x=4，
∴x=4(2− 3)，
∴AP=2x=(16−8 3)cm，
∴PD=AD−AP=8−(16−8 3)=(8 3−8)cm．
综上所述，PD的值为4cm或(8 3−8)cm．
故答案为：4cm或(8 3−8)cm．
(1)由折叠的性质可得AE=BE=12AB，∠AEF=∠BEF=90°，AB=BM，∠ABP=∠PBM，由锐角三角函数可求∠EMB=30°，即可求解；
(2)①同(1)可得∠PBC=60°，结合平行线的性质可得∠APB=60°，结合翻折和平行线性质即可求得∠DPQ=∠FMQ=60°，结合题意由勾股定理可求得EM，MF，在Rt△QFM中，∠FMQ=60°，可求得FQ；
②分两种情形：如图3−1中，连接PB，AM交于点J.证明AP=PD即可．如图3−2中，连接AM，BP交于点O，过点M作MT⊥AD.证明MA=MD，利用参数构建方程求解即可．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式为g=kx+b，
把(0,20)，(15,12.5)代入解析式得，b=2015k+b=12.5，
解得k=−0.5b=20，
∴植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式为g=−0.5x+20；
(2)从表格中所给数据可得出：药物施用量每增加1mg植物A生长高度增加0.3cm，故可得植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成一次函数，
设此一次函数的表达式为f=mx+n，
把(1,8.3)，(2,8.6)代入解析式得，m+n=8.32m+n=8.6，
解得m=0.3n=8，
∴植物A的生长高度f与药物施用量x的函数关系式为f=0.3x+8；
当x=17时，f=0.3×17+8=5.1+8=13.1(cm)；
(3)依题意得：当x>a时，g=−0.5a+20−(x−a)=−x+0.5a+20，
当a=16、17、18、19时，5次实验数据，植物B的平均生长高度均大于10cm．
当a=20时，药物施用量分别为12，15，17，21，27时，植物B的生长高度分别为14cm，12.5cm、11.5cm、9cm、3cm，植物B的平均生长高度为10cm．
故植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式：g=−0.5x+20(0≤x≤20)−x+30(x>20)，
根据题意得：当x≤20时，|−0.5x+20−(0.3x+8)|≤6，
解得：712≤x≤20，
当x>20时，|0.3x+8−(−x+30)|≤6，
解得：20
【解析】(1)运用待定系数法求解即可；
(2)根据表中的数据可知植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成一次函数，运用待定系数法可求出函数关系式，再把x=17代入函数关系式求解即可；
(3)根据函数关系式列出不等式组求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
25.【答案】(−2,0) (−4,8)
【解析】解：(1)∵点M(−1,m)，N(−1,−2m)，
∴直线MN⊥x轴，
∴点O关于直线MN：x=−1的对称点为：(−2,0)，
∵M(−1,2)，
∴直线OM的解析式为：y=−2x，
∵A(−2,0)，N(−1,−4)，
∴直线MN的解析式为：y=−4x−8，
由−2x=−4x−8得，
x=−4，
∴y=−2×(−4)=8，
∴P(−4,8)，
故答案为：(−2,0)，(−4,8)；
(2)①设OM的解析式为：y=kx，
∴k⋅(−1)=m，
∴k=−m，
∴y=−mx，
设AN的解析式为：y=nx+b，
∴−n+b=−2m−2n+b=0，
∴n=−2mb=−4m，
∴y=−2mx−4m，
由−mx=−2mx−4m得，
x=−4，
∴y=4m，
∵S△ONP=S△AOP+S△AON，
∴12OA⋅|yP−yN|=6，
∴|6m|=6，
∴m=±1；
②如图1，
∵点M在x轴的上方，
∴m=1，
∴N(−1,−2)，
作EC⊥x轴，截取CE=AE，作射线Q′C，交x轴于点D，交y轴于点F，
∵∠CED=∠QEQ′=90°，
∴∠AEQ=∠CEQ′，
∵EQ=EQ′，
∴△AEQ≌△CEQ′(SAS)，
∴∠ECQ′=∠EAQ，
∴180°−∠ECQ′=180°−∠EAQ，
∴∠ECD=∠DAQ，
∴Q′在过点C且于CE成固定角度(∠DAQ是定角)的直线CD上运动，
当OQ′⊥CD时，OQ′最小(图中OQ″)，
当m=1时，AN的解析式为：y=−2mx−4m=−2x−4，
∴kCD=12，且过点C(1,3)，
∴直线CD的解析式为：y=12x+52，
∴F(0,52)，D(−5,0)，
∴FD= (−5−0)2+(52−0)2=5 52，
∵S△DOF=12DF⋅OQ′′=12OD⋅OF，
∴OQ′′=OD⋅OFDF=5×525 52= 5，
∴OQ′的最小值为： 5．
(1)点O关于点(−1,0)的对称点A(−2,0)，求出直线OM和AN的解析式，进而求得结果；
(2)①求出直线OM和AN的解析式，从而表示出点P 的坐标，根据S△ONP=S△AOP+S△AON可求得m的值；
②作EC⊥x轴，截取CE=AE，作射线Q′C，交x轴于点D，交y轴于点F，可证得△AEQ≌△CEQ′(SAS)，从而∠ECQ′=∠EAQ，进而得出Q′在过点C且于CE成固定角度(∠DAQ是定角)的直线CD上运动，故当OQ′⊥CD时，OQ′最小(图中OQ″)，在求出直线CD的解析式后，根据面积法求得结果．
本题是几何变换综合题，考查了求一次函数的解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是找出点Q′的运动轨迹．
2022-2023学年福建省厦门市思明区双十中学五缘湾实验中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x−2有意义，x的范围应满足( )
A. x≥2 B. x>2 C. x≠2 D. x≠0
2. 一组数据3，5，1，4，5的中位数是( )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
3. 下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 3 2÷ 2=3 C. 3 2− 2=3 D. (2 3)2=6
4. ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列与线段OB一定相等的是( )
A. AB B. OA C. OC D. OD
5. 已知正比例函数y=kx(k≠0)，当x=2时，y=6，下列哪个点在该函数图象上( )
A. (1,−3) B. (3,−1) C. (6,2) D. (−2,−6)
6. 在操场上，小明沿正东方向走80m后，沿第二个方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地，小明走的第二个方向是( )
A. 正西方向 B. 东北方向
C. 正南方向或正北方向 D. 东南方向
7. 如图，已知直角坐标系中的四个点：A(0,2)，B(1,0)，C(3,1)，D(2,3).直线AB和直线CD的函数表达式分别为y1=k1x+b1和y2=k2x+b2，则( )
A. k1=k2，b1>b2
B. k1=k2，b1
D. k1≠k2，b1
A. 2 5 B. 6 C. 8 D. 12
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
9. −2的相反数是______．
10. 一次函数y=2x−4与x轴交点坐标为______ ．
11. 计算a⋅(1−1a)= ______ ．
12. 双十中学今年春季开展体操活动，家炜收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员(各50名)的身高情况，得到以下信息：平均身高(单位：cm)分别为：x−甲=160,x−乙=162；方差分别为：S甲2=1.5,S乙2=2.6.现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一个队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择______ .(填写“甲”或“乙”)
13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，BD平分∠ABC.给出下列两个条件：①AD=CD，②AD//BC；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形ABCD是菱形，这个条件是______ .(填写序号)
14. 在平面直角坐标系中，点A(2,0)，B(3,3)，C(5,3)，连接BC，若点D是BC的中点，连接AD，则AD的长为______ ．
15. 如图，已知菱形ABCD和正方形DEBF，AD=6,ED=3 2，连接AE，则线段AE长为______ ．
16. 如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边CD上，DE=1；作EF//BC，分别交AC、AB于点G、E，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：
(1)( 8− 6)× 2−( 2)2；
(2)(3− 5)×(3+ 5)+3 3．
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接BD，EF与BD相交于点O.求证：O是BD的中点．
19. (本小题8.0分)
某校教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了下表：
零花钱数额/元
5
10
15
20
学生人数
a
15
20
5
(1)求a的值；
(2)求这50名学生一周内的零花钱数额的平均数；
(3)若老师随机抽查一名学生，询问其一周内的零花钱数额，得到的回答最可能是几元？简要说明理由．
20. (本小题8.0分)
已知一次函数y=kx+2的图象经过点(−1,0)．
(1)求该函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是该函数图象上的两点，若x1>x2，则y1 ______ y2(填“>”、“<”或“=”)．
21. (本小题8.0分)
“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h(单位km)，观测者能看到的最远距离为d(单位km)，则d≈ 2hR，其中R是地球半径，通常取6400km．
(1)小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值．
(2)判断下面说法是否正确，并说明理由；
泰山海拔约为1500m，泰山到海边的最小距离约230km，天气晴朗时站在泰山之巅可以看到大海．
22. (本小题8.0分)
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线．
(1)尺规作图：求作▱ACED；(保留作图痕迹.不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AB=8，AD=5，点E到CD的距离．
23. (本小题12.0分)
数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD边上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM．
根据以上操作，如图1，当点M在EF上时，连接AM，判断△ABM的形状并证明．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片ABCD，且边长为8cm，继续探究，过程如下：
①将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.如图2，当点M在EF上时，求FQ的长；
②点P在边AD上，将△ABP沿直线BP翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接DM并延长交正方形ABCD一边于点G.当BG=DP时，DP的长为______ ．
24. (本小题12.0分)
双十中学初二生物学习小组研究同一盆栽内A、B两种植物的生长情况.他们发现施用某种药物时，会对A、B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用.通过实验观察，得到如下信息：
下表为植物A的生长高度f(cm)与药物施用量x(mg)的关系．
药物施用量(mg)
1
2
5
9
10
14
15
植物A生长高度f(cm)
8.3
8.6
9.5
10.7
11.1
12.2
12.5
如图为植物B的生长高度g(cm)与药物施用量x(mg)的关系(图象是一条线段)．
(1)求植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式；
(2)植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成某种函数，试求出这个函数表达式；若植物A按这个规律生长，请估计药物施用量为17mg时，植物A的生长高度；
(3)该小组继续研究发现，植物A、B按照(1)(2)中的生长规律继续生长，当药物施用量超过amg(a≥15且a为整数)时，植物B的抑制作用更明显，药物施用量每增加1mg，植物B的生长高度g减少1cm.小组记录了5次实验数据，当药物施用量分别为12，15，17，21，27时，植物B的平均生长高度为10cm.当两种植物高度差不超过6cm时，二者的生长会处于一种平衡状态，求满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围．
25. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点M(−1,m)，N(−1,−2m)(m≠0)，原点O关于直线MN的对称点为A，直线OM，AN交于点P．
(1)填空：点A的坐标是______ ；当m=2时，点P的坐标为______ ；
(2)连接ON，△ONP的面积为6．
①求m的值；
②若点M在x轴的上方，Q是直线AN上的一个动点，将Q绕点E(1,0)顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，求OQ′的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：要使二次根式 x−2有意义，必须x−2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件得出x−2≥0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件是解此题的关键，注意： a中a≥0．
2.【答案】C
【解析】解：把数据3，5，1，4，5从小到大排列得1，3，4，5，5，
∴数据3，5，1，4，5的中位数是4．
故选：C．
利用中位数的定义求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
3.【答案】B
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故A不符合题意；
B、3 2÷ 2=3，故B符合题意；
C、3 2− 2=2 2，故C不符合题意；
D、(2 3)2=12，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
故选：D．
由平行四边形的性质可得OB=OD．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：把x=2，y=6代入y=kx(k≠0)得，6=2k，
解得k=3，
∴正比例函数为y=3k，
A、∵当x=1时，y=3≠−3，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵当x=3时，y=9≠−1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵当x=6时，y=18≠2，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
D、∵当x=−2时，y=−6，∴此点在函数图象上，故本选项正确．
故选：D．
把x=2，y=6代入正比例函数y=kx(k≠0)求得解析式，然后分别把各点代入一次函数的解析式进行检验即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形，难度中等．
根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案．
【解答】
解：如图，AB=80m，BC=BD=60m，AC=AD=100m，
根据602+802=1002得：∠ABC=∠ABD=90°，
故小明向东走80m后，又走60m的方向是正南方向或正北方向，
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：把A(0,2)，B(1,0)代入y1=k1x+b1得：
b1=2k1+b1=0，
解得k1=−2b1=2，
把C(3,1)，D(2,3)代入y2=k2x+b2得：
3k2+b2=12k2+b2=3，
解得k2=−2b2=7，
∴k1=k2，b1
用待定系数法求出k1、k2、b1、b2的值即可得答案．
本题考查一次函数与系数的关系，解题的关键是掌握待定系数法求出k1、k2、b1、b2的值．
8.【答案】B
【解析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得矩形的面积．
解：如图所示，过点B、D分别作y=12x−3的平行线，交CD、AB于点E、F．
由图象和题意可得AD=7−5=2，BE=DF= 5，
则AF= DF2−AD2= 5−4=1，
∴BF=(11−7)×12=2，
∴AB=AF+BF=1+2=3，
∴矩形ABCD的面积为AB⋅AD=3×2=6．
故选：B．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】2
【解析】解：−2的相反数是：−(−2)=2，
故答案为：2．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，注意0的相反数是0．
10.【答案】(2,0)
【解析】解：把y=0代入y=2x−4得：0=2x−4，
解得：x=2，
即一次函数y=2x−4与x轴的交点坐标是(2,0)．
故答案为：(2,0)．
把y=0代入y=2x−4求出x的值，即可得出答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意：一次函数与x轴的交点的纵坐标是0．
11.【答案】a−1
【解析】解：a⋅(1−1a)
=a−a⋅1a
=a−1．
故答案为：a−1．
通过去括号进行计算．
本题主要考查了分式的混合运算，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
12.【答案】甲队
【解析】解：∵S甲2=1.5，S乙2=2.6，
∴S甲2
故答案为：甲队．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13.【答案】②
【解析】解：这个条件是②，理由如下：
(2)∵AC⊥BD，BD平分∠ABC．
∴∠ABO=∠CBO，∠AOB=∠COB=90°，
在△ABO与△CBO中，
∠ABO=∠CBOBO=BO∠AOB=∠COB，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴AB=BC，
∵AD//BC，
∴∠CBO=∠ADO，
∴∠ABO=∠ADO，
∴AB=AD，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：②．
根据全等三角形的性质得到AB=BC，根据平行线的性质得到∠CBO=∠ADO，求得∠ABO=∠ADO，推出四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到四边形ABCD是菱形．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
14.【答案】 13
【解析】解：∵点D是BC的中点，B(3,3)，C(5,3)，
∴D(4,3)，
∵A(2,0)，
∴AD= (4−2)2+(3−0)2= 13，
∴AD的长为 13，
故答案为： 13．
根据中点坐标公式求出点D的坐标，再利用两点间距离公式求出AD的长，进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键．
15.【答案】3 3−3
【解析】解：如图，连接EF，DB相交于点O，
∵DEBF是正方形，
∴EF⊥DB，EO=DO，
∴△DEO是等腰直角三角形，
∵ED=3 2，
∴EO2+DO2=ED2，
∴EO=DO=3，
在直角三角形ADO中，
∵AD2=AO2+DO2，
∵AD=6，DO=3，
∴AO=3 3，
∴AE=AO−EO=3 3−3．
故答案为：3 3−3．
连接EF，DB相交于点O，△DEO是等腰直角三角形，利用勾股定理求出DO的长度，在△ADO中，利用勾股定理可求得AO的长度，则AE=AO−EO．
本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的对角线垂直平分是解题关键．
16.【答案】2.5
【解析】解：连接FM，FC，
∵四边形ABCD是正方形，EF//BC，
∴∠BAC=45°，四边形BCEF为矩形，
∴△AFG为等腰直角三角形，BE=CF，
∵M是AG的中点，
∴AM=MG，
则FM⊥AG，
即△FMC是直角三角形，
∵N是BE的中点，四边形BCEF是矩形，
∴点N在CF上，且是CF的中点，
∴MN=12FC，
∵DE=1，BC=DC=4，
∴CE=3，
∴BE=FC= BC2+CE2= 42+32=5，
∴MN=12FC=2.5．
故答案为：2.5．
连接FM，FC，易求△AFG为等腰直角三角形，△FMC是直角三角形，即可得MN=12FC，利用勾股定理求解FC的长即可求解．
本题主要考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等腰直角三角形及直角三角形斜边上的中线的性质等知识的综合运用．
17.【答案】解：(1)原式=4−2 3−2
=2−2 3；
(2)原式=9−5+ 3
=4+ 3．
【解析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可；
(2)利用平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．
18.【答案】证明：方法1，连接BE、DF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴DE//BF，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OB=OD，
∴O是BD的中点．
方法2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ODE=∠OBF，
又∵AE=CF，
∴DE=BF，
在△DOE和△BOF中，
∠DOE=∠BOF∠ODE=∠OBFDE=BF，
∴△DOE≌△BOF(AAS)，
∴OD=OB，
∴O是BD的中点．
【解析】方法1、连接BE、DF，由已知证出四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．
方法2、先判断出DE=BF，进而判断出△DOE≌△BOF即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质；通过作辅助线证明四边形BEDF是平行四边形是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)总人数50，所以a=50−15−5−20=10；
(2)平均数为：150×(5×10+10×15+15×20+20×5)=12(元)；
(3)15元，理由如下：
本周内有20人的零花钱是15元，出现次数最多，所以众数是15；
所以老师随机抽查一名学生，询问其一周内的零花钱数额，得到的回答最可能是15元．
【解析】(1)用学生总数减去其他学生数即可得到本题答案；
(2)用加权平均数计算平均数即可；
(3)根据众数的意义解答即可．
本题考查的是平均数、众数和中位数的概念和其意义．要注意：当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
20.【答案】>
【解析】解：(1)将(−1,0)代入y=kx+2，
得0=−k+2，
解得k=2，
∴y=2x+2．
(2)将x=0代入y=2x+2，
得y=2，
∴直线经过(0,2)，
图象如下：
(3)∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，
∴若x1>x2，则y1>y2，
故答案为：>．
(1)将(−1,0)代入y=kx+2求解；
(2)将x=0代入解析式可得直线与y轴交点，根据直线与坐标轴交点作图；
(3)根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．
21.【答案】解：(1)由R=6400km，h=0.02km，
得d= 2×0.02×6400= 256=16(km)，
答：此时d的值为16km；
(2)说法是错误，
理由：站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h=1.5km，
则d2=2×1.5×6400=19200，
2302=52900，
∵19200<52900，
∴d<230，
∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海．
【解析】(1)根据d≈ 2hR，由R=6400km，h=0.02km，求出即可；
(2)站在泰山之巅，人的身高忽略不计，此时，h=1.5km，求得d2=2×1.5×6400=19200，2302=52900，比较即可得到结论．
此题主要考查了二次根式的应用，利用算术平方根求出值，将数据直接代入求出是解题关键．
22.【答案】解：(1)如图，▱ACED为所作；
(2)过E点作EH⊥BC于H点，如图，
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线．
∴CD=BD=AD=5，
∴AC= BC2−AB2= 102−82=6，
∴S△ACD=12S△ABC=12×12×6×8=12，
∵四边形ACED为平行四边形，
∴S△ECD=S△ACD=12，
即12×5×EH=12，
解得EH=245，
即点E到CD的距离为245．
【解析】(1)分别以C、D为圆心，以AD、AC为半径画弧，两弧相交于点E，则利用两组对边分别相等的四边形为平行四边形可得到四边形ACED为平行四边形；
(2)过E点作EH⊥BC于H点，如图，先根据斜边上的中线性质得到CD=BD=AD=5，则利用勾股定理可计算出AC=6，再利用三角形面积公式计算出S△ACD=12，接着利用平行四边形的性质得到12×5×EH=12，然后求出EH即可．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23.【答案】4cm或(8 3−8)cm
【解析】解：(1)△ABM是等边三角形，理由如下：
∵对折矩形纸片ABCD，
∴AE=BE=12AB，∠AEF=∠BEF=90°，
∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴AB=BM，∠ABP=∠PBM，
∵sin∠BME=BEBM=12，
∴∠EMB=30°，
∴∠MBE=60°，
∴△ABM是等边三角形；
(2)①同(1)可得∠PBC=60°，
∵AD//BC，
∴∠APB=∠PBC=60°，
由翻折可知，
∴∠APB=∠MPB=60°，
∴∠DPQ=180°−∠APB−∠MPB=60°，
∵AD//EF，
∴∠DPQ=∠FMQ=60°，
由折叠可知BE=4cm，BM=8cm，∠BEM=∠BMP=∠CFE=90°，
∵EM= BM2−BE2=4 3(cm)，
∵BC=EF=8cm，
∴MF=EF−EM=(8−4 3)cm，
在Rt△QFM中，∠FMQ=60°，
∴FQ= 3MF=(8−4 3)× 3=(8 3−12)cm；
②如图3.1中，连接PB，AM交于点J，
∵BG=PD，BG//PD，
∴四边形BGDP是平行四边形，
∴PB//DG，
∵△PBM是由△PBA翻折得到，
∴AJ=JM，
∴AP=PD=12AD=4cm；
如图3.2中，连接AM，BP交于点O，过点M作MT⊥AD．
∵AB=AD，BG=DP，
∴AG=AP，
∵∠BAP=∠DAG=90°，
∴△BAP≌△DAG(SAS)，
∴∠ABP=∠ADG，
∵AM⊥PB，
∴∠ABP+∠BAO=90°，∠BAO+∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠ABP，
∴∠PAO=∠ADG，
∴MA=MD，
∵MT⊥AD，
∴AT=DT=4cm，
设TM=x cm，
∵TM//AG，AT=TD，
∴MD=MG，
∴AG=2TM=2x cm，
∴PA=PM=AG=2x cm，
∴PT= PM2−TM2= (2x)2−x2= 3x(cm)，
∴2x+ 3x=4，
∴x=4(2− 3)，
∴AP=2x=(16−8 3)cm，
∴PD=AD−AP=8−(16−8 3)=(8 3−8)cm．
综上所述，PD的值为4cm或(8 3−8)cm．
故答案为：4cm或(8 3−8)cm．
(1)由折叠的性质可得AE=BE=12AB，∠AEF=∠BEF=90°，AB=BM，∠ABP=∠PBM，由锐角三角函数可求∠EMB=30°，即可求解；
(2)①同(1)可得∠PBC=60°，结合平行线的性质可得∠APB=60°，结合翻折和平行线性质即可求得∠DPQ=∠FMQ=60°，结合题意由勾股定理可求得EM，MF，在Rt△QFM中，∠FMQ=60°，可求得FQ；
②分两种情形：如图3−1中，连接PB，AM交于点J.证明AP=PD即可．如图3−2中，连接AM，BP交于点O，过点M作MT⊥AD.证明MA=MD，利用参数构建方程求解即可．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式为g=kx+b，
把(0,20)，(15,12.5)代入解析式得，b=2015k+b=12.5，
解得k=−0.5b=20，
∴植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式为g=−0.5x+20；
(2)从表格中所给数据可得出：药物施用量每增加1mg植物A生长高度增加0.3cm，故可得植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成一次函数，
设此一次函数的表达式为f=mx+n，
把(1,8.3)，(2,8.6)代入解析式得，m+n=8.32m+n=8.6，
解得m=0.3n=8，
∴植物A的生长高度f与药物施用量x的函数关系式为f=0.3x+8；
当x=17时，f=0.3×17+8=5.1+8=13.1(cm)；
(3)依题意得：当x>a时，g=−0.5a+20−(x−a)=−x+0.5a+20，
当a=16、17、18、19时，5次实验数据，植物B的平均生长高度均大于10cm．
当a=20时，药物施用量分别为12，15，17，21，27时，植物B的生长高度分别为14cm，12.5cm、11.5cm、9cm、3cm，植物B的平均生长高度为10cm．
故植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式：g=−0.5x+20(0≤x≤20)−x+30(x>20)，
根据题意得：当x≤20时，|−0.5x+20−(0.3x+8)|≤6，
解得：712≤x≤20，
当x>20时，|0.3x+8−(−x+30)|≤6，
解得：20
【解析】(1)运用待定系数法求解即可；
(2)根据表中的数据可知植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成一次函数，运用待定系数法可求出函数关系式，再把x=17代入函数关系式求解即可；
(3)根据函数关系式列出不等式组求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
25.【答案】(−2,0) (−4,8)
【解析】解：(1)∵点M(−1,m)，N(−1,−2m)，
∴直线MN⊥x轴，
∴点O关于直线MN：x=−1的对称点为：(−2,0)，
∵M(−1,2)，
∴直线OM的解析式为：y=−2x，
∵A(−2,0)，N(−1,−4)，
∴直线MN的解析式为：y=−4x−8，
由−2x=−4x−8得，
x=−4，
∴y=−2×(−4)=8，
∴P(−4,8)，
故答案为：(−2,0)，(−4,8)；
(2)①设OM的解析式为：y=kx，
∴k⋅(−1)=m，
∴k=−m，
∴y=−mx，
设AN的解析式为：y=nx+b，
∴−n+b=−2m−2n+b=0，
∴n=−2mb=−4m，
∴y=−2mx−4m，
由−mx=−2mx−4m得，
x=−4，
∴y=4m，
∵S△ONP=S△AOP+S△AON，
∴12OA⋅|yP−yN|=6，
∴|6m|=6，
∴m=±1；
②如图1，
∵点M在x轴的上方，
∴m=1，
∴N(−1,−2)，
作EC⊥x轴，截取CE=AE，作射线Q′C，交x轴于点D，交y轴于点F，
∵∠CED=∠QEQ′=90°，
∴∠AEQ=∠CEQ′，
∵EQ=EQ′，
∴△AEQ≌△CEQ′(SAS)，
∴∠ECQ′=∠EAQ，
∴180°−∠ECQ′=180°−∠EAQ，
∴∠ECD=∠DAQ，
∴Q′在过点C且于CE成固定角度(∠DAQ是定角)的直线CD上运动，
当OQ′⊥CD时，OQ′最小(图中OQ″)，
当m=1时，AN的解析式为：y=−2mx−4m=−2x−4，
∴kCD=12，且过点C(1,3)，
∴直线CD的解析式为：y=12x+52，
∴F(0,52)，D(−5,0)，
∴FD= (−5−0)2+(52−0)2=5 52，
∵S△DOF=12DF⋅OQ′′=12OD⋅OF，
∴OQ′′=OD⋅OFDF=5×525 52= 5，
∴OQ′的最小值为： 5．
(1)点O关于点(−1,0)的对称点A(−2,0)，求出直线OM和AN的解析式，进而求得结果；
(2)①求出直线OM和AN的解析式，从而表示出点P 的坐标，根据S△ONP=S△AOP+S△AON可求得m的值；
②作EC⊥x轴，截取CE=AE，作射线Q′C，交x轴于点D，交y轴于点F，可证得△AEQ≌△CEQ′(SAS)，从而∠ECQ′=∠EAQ，进而得出Q′在过点C且于CE成固定角度(∠DAQ是定角)的直线CD上运动，故当OQ′⊥CD时，OQ′最小(图中OQ″)，在求出直线CD的解析式后，根据面积法求得结果．
本题是几何变换综合题，考查了求一次函数的解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是找出点Q′的运动轨迹．
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