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    广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
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    广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

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    这是一份广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

    一、单选题
    1.过点且斜率为3的直线方程为(    )
    A. B.
    C. D.
    2.2023《中国好声音》报名即将开始,选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名.现有甲、乙、丙三人均要报名参加,则不同的报名方法有(    )
    A.4种 B.6种 C.8种 D.9种
    3.下列说法中正确是(    )
    A.相关系数越大,则两变量的相关性就越强
    B.回归方程不一定过样本中心点
    C.对于经验回归方程,当变量增加1个单位时,平均增加3个单位
    D.对于经验回归方程,变量与变量负相关
    4.已知椭圆,其上顶点为,左、右焦点分别为,且三角形为等边三角形,则椭圆的离心率为(    )
    A. B. C. D.
    5.已知函数,则函数的单调递减区间为(    )
    A. B. C. D.
    6.已知双曲线的左、右焦点分别是,焦距为,以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点,则双曲线的渐近线方程为(    )
    A. B.
    C. D.
    7.已知随机变量,且,又,则实数的值为(    )
    A.0或2 B.2 C.-2或2 D.-2
    8.已知数列满足,数列的前项和为,若的最大值仅为,则实数的取值范围是(    )
    A. B. C. D.

    二、多选题
    9.已知随机变量满足,则下列说法正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    10.关于的展开式,下列说法正确的是(    )
    A.各项的系数之和为 B.二项式系数的和为512
    C.展开式中无常数项 D.第4项的系数最大
    11.已知圆,点为圆上一动点,为坐标原点,则下列说法中正确的是(    )
    A.的最大值为
    B.的最小值为
    C.直线的斜率范围为
    D.以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为
    12.已知抛物线的焦点在直线上,直线与抛物线交于点(为坐标原点),则下列说法中正确的是(    )
    A.
    B.准线方程为
    C.以线段为直径的圆与的准线相切
    D.直线的斜率之积为定值

    三、填空题
    13.已知等差数列,且,则数列的公差为 .
    14.已知函数,则在点处的切线方程为 .
    15.某游泳队共有20名队员,其中一级队员有10名,二级队员有5名,三级队员有5名,若一、二、三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是,则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为 .
    16.已知函数在上存在极值点,则实数的取值范围是 .

    四、解答题
    17.已知等比数列满足.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    18.生态环境部、工业和信息化部、商务部、海关总署、市场监管总局等五部门联合发布《关于实施汽车国六排放标准有关事宜的公告》,明确提出自2023年7月1日起,全国范围全面实施国六排放标准阶段,禁止生产、进口、销售不符合国六排放标准阶段的汽车.为调查市民对此公告的了解情况,对某市市民进行抽样调查,得到的数据如下表:

    了解
    不了解
    合计
    女性
    140
    60
    200
    男性
    180
    20
    200
    合计
    320
    80
    400
    (1)根据以上数据,依据小概率值的独立性检验,能否认为对此公告的了解情况与性别有关?并说明原因;
    (2)以样本的频率为概率.在全市随机抽取5名市民进行采访,求这5名中恰有3名为“了解”的概率.
    附:

    0.10
    0.05
    0.010
    0.005
    0.001

    2.706
    3.841
    6.635
    7.879
    10.828
    参考公式:,其中.
    19.如图,在四棱锥中,底面是菱形,.点是棱的中点.
      
    (1)证明:;
    (2)求平面与平面所成角的大小.
    20.为深人学习贯彻党的二十大精神,认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化,优化区域教育资源配置”指示精神,促进城乡教育高质量共同发展.某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动.这6名老师中,英语老师、化学老师、数学老师各2名.
    (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率;
    (2)设表示选出的3人中数学老师的人数,求的均值与方差.
    21.已知椭圆的右焦点为,上顶点为,,离心率为.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)若直线与椭圆相交于两点,且点,当的面积最大时,求直线的方程.
    22.已知函数.
    (1)求函数的最小值;
    (2)求证:.

    参考答案:
    1.A
    【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程,化简即可.
    【详解】根据题意可得直线为,化简得,
    故选:
    2.C
    【分析】根据题意,结合分步计数原理,即可求解.
    【详解】由题意,每人选择的方式有种,根据分步计数原理,可得总共有种.
    故选:C.
    3.D
    【分析】根据相关系数、回归直线方程的特征,以及回归系数的含义,逐项判定,即可求解.
    【详解】对于A中,相关系数的绝对值越大,则两变量的相关性就越强,所以A错误;
    对于B中,由回归方程一定过样本中心点,所以B错误;
    对于C中,根据经验回归方程可知增加1个单位时,平均增加2个单位,所以C错误;
    对于D中,由回归系数,可得,变量与变量负相关,所以D正确.
    故选:D.
    4.A
    【分析】根据题意,结合椭圆离心率的定义,即可求求解.
    【详解】如图所示,椭圆,其上顶点为,左、右焦点分别为, 为等边三角形,
    则椭圆的离心率为.
    故选:A.
      
    5.C
    【分析】根据函数的导数与函数单调性的关系,即可求得答案.
    【详解】由题意知,定义域为,
    得,令,即或,
    结合函数定义域可得,
    故函数的单调递减区间为,
    故选:C.
    6.B
    【分析】先根据圆的直径得出垂直关系,再根据正弦值得出边长,结合双曲线定义可得2a,计算渐近线即可.
    【详解】  
    因为线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点
    所以,
    则渐近线方程为.
    故选:B.
    7.C
    【分析】根据题意,先求出,近而可得的值,结合正态分布的性质可得关于的方程,解出即可.
    【详解】因为随机变量,
    所以,
    又所以,
    当时,,
    解得或2,
    故选:C.
    8.C
    【分析】由数列递推式求出的表达式,设,可求得其表达式,根据的最大值仅为,可判断数列单调性,列出相应不等式,即可求得答案.
    【详解】由题意,
    令,
    即数列是等差数列,前项和最大值仅为,则,
    解得,
    故选:C.
    9.AC
    【分析】根据期望及方差的性质即可求解.
    【详解】,则,故A正确,B错误;
    ,则,故C正确,D错误.
    故选:AC
    10.BC
    【分析】利用二项式展开式公式、二项式系数和以及各项系数的性质逐项验证即可.
    【详解】由,令得:,
    即各项的系数之和为0,故A错误;
    由二项式系数的和为:,
    故B正确;
    因为,
    所以当时,不符合题意,
    所以无常数项,故C正确;
    在中,当时系数最大,即第5项的系数最大,
    故D错误.
    故选:BC.
    11.AC
    【分析】首先判断点在圆外,则,即可判断A,根据判断B,设直线,利用点到直线的距离公式得到不等式,解得的取值范围,即可判断C,求出以为直径的圆的方程,两圆方程作差即可求出公共弦方程.
    【详解】圆的圆心,半径,
    又,所以,即点在圆外,
    所以,故A正确;
    ,当且仅当在线段与圆的交点时取等号,故B错误;
    设直线,根据题意可得点到直线的距离,解得,故C正确;
    设的中点为,则,又,
    所以以为直径圆的方程,显然圆与圆相交,
    所以公共弦方程为,故D错误.
        
    故选:AC.
    12.ACD
    【分析】由直线过定点,得到,可判定A正确;根据抛物线的几何性质,可得判定B错误;过点作准线的垂线,根据抛物线的定义得到,可判定C正确;联立方程组,结合韦达定理,得到,求得,可判定D正确.
    【详解】对于A中,由直线,可化为,可得直线过定点,
    因为抛物线的焦点在直线上,可得,则,所以A正确;
    对于B中,由抛物线的准线方程为,所以B错误;
    对于C中,过点作准线的垂线,垂足分别为,的中点为点,
    过点作准线的垂线,垂足为,可得,所以C正确;
    对于D中,设,联立方程组,
    整理得,可得,则,
    所以D正确.
    故选:ACD.
      
    13./0.5
    【分析】根据等差数列的性质计算求得,结合,即可求得答案.
    【详解】因为数列为等差数列,则,
    又,设公差为d,所以公差,
    故答案为:
    14.
    【分析】根据题意,结合导数的几何意义,即可求得切线方程.
    【详解】由函数,可得,
    可得,则切线方程为,
    即切线方程为.
    故答案为:.
    15./
    【分析】根据全概率公式结合题意,即可求解.
    【详解】设表示选到级队员的事件,表示任选一名队员通过选拔进入比赛的事件,
    则,

    所以

    故答案为:.
    16.
    【分析】计算,然后转化为有解,可得的范围,最后进行检验可得结果.
    【详解】,
    由题意在上有解,则,
    当时,
    当时,,单调递减;
    当时,,单调递增,
    所以,当时,取极小值,即函数在上存在极值点.
    所以实数的取值范围是.
    故答案为:.
    17.(1)
    (2)

    【分析】(1)根据等比数列的通项公式列式求解,进而可得结果;
    (2)根据题意可得,利用错位相减法运算求解.
    【详解】(1)因为数列为等比数列,且,
    ,解得,
    所以.
    (2)由(1)可得:,
    则,
    可得,
    两式相减得

    所以.
    18.(1)认为对此公告的了解情况与性别有关,理由见解析
    (2)

    【分析】(1)根据题意,求得,结合附表,即可得到结论;
    (2)由样本数据可知,“了解”的概率为,结合独立重复试验的概率计算公式,即可求解.
    【详解】(1)解:假设为:对此公告的了解情况与性别相互独立,即对此公告的了解情况与性别无关,
    由题意,可得,
    所以根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,
    即认为对此公告的了解情况与性别有关,此推断犯错误的概率不大于.
    (2)解:由样本数据可知,“了解”的概率为,
    设这5名市民中恰有3名为“了解”为事件,则.
    19.(1)证明见解析
    (2)

    【分析】(1)根据勾股定理的逆定理以及线面垂直判定定理,可得:平面,结合菱形的对角线性质以及线面垂直判定定理,可得平面,利用线面垂直性质定理,可得答案;
    (2)根据题意,建立空间直角坐标新,求得法向量,结合夹角的向量公式,可得答案.
    【详解】(1)证明:连接.
      
    在菱形中,,所以.
    在中,,所以,所以.
    在中,,所以,所以.
    又,平面,所以平面.
    又平面,所以;
    因为四边形是菱形,所以.又,平面,所以平面.
    又平面,所以.
    (2)记,连接是中点,是中点,
    ,由(1)知平面,平面,
    以为坐标原点,所在的直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.
        
    则.
    所以.
    设平面的一个法向量为.
    则,即,令,解得,
    所以平面的一个法向量为.
    ,又平面,
    平面的一个法向量为.
    所以,即平面与平面所成的角为.
    20.(1)
    (2),

    【分析】(1)根据组合数的计算,结合古典概型和互斥事件的概率计算公式,可得答案;
    (2)根据超几何分布的概率计算公式,以及均值和方差的计算公式,可得答案.
    【详解】(1)推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数,
    这6名老师中,数学老师2名,英语老师2名,化学老师2名,
    设事件表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”,
    表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”,表示“恰好选出2名数学老师”,
    互斥,且,,,
    选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为;
    (2)由于从6名老师中任选3名的结果为
    从6名老师中任选3名,其中恰有名数学老师的结果为,那么6名中任选3人,
    恰有名数学老师的概率为,
    所以,


    21.(1)
    (2)或

    【分析】(1)根据题意,结合椭圆的几何性质,求得的值,即可求得椭圆的方程;
    (2)联立方程组,根据,得到的范围,由点到直线的距离公式和弦长公式,分别求得,,得到,结合基本不等式,即可求解.
    【详解】(1)解:由题意,可得,且,所以,则,
    所以椭圆的方程为.
    (2)解:由直线的方程为,则点到直线的距离为,
    联立方程组,整理可得,
    由判别式,解得,
    设,则,
    可得

    所以

    当且仅当时,等号成立,
    所以所求直线的方程为或.
      
    22.(1)1
    (2)证明见解析

    【分析】对求导,利用导数判断函数的单调性,进而可得函数的最小值;
    分析要证,只需证,
    令,利用导数求得即可.
    【详解】(1),


    在上为单调递增函数,
    ,当时,,
    当时,,在上单调递减;在上单调递增,
    则;
    (2)证明:,
    只需证,即,
    令,则,
    当时,令,
    则在上单调递增,
    即在上为增函数,
    又因为,
    所以存在,使得,
    由,
    得,即,即,
    所以当时,单调递减,
    当时,单调递增,
    所以,
    令,
    则,
    所以在上单调递增,
    所以,
    所以,
    所以,
    即.

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