2022-2023学年广东省广州市荔湾区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市荔湾区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市荔湾区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组二次根式中，能进行合并的是(    )
A. 12与 6 B. 12与 2 C. 0.5与 5 D. 8与 2
2. 下列说法中正确的个数有(    )
(1)想了解观众对某体育节目的喜爱程度，宜采用抽样调查；
(2)某鞋店店主在进货时应关注销售鞋子尺码的平均数；
(3)数据1，1，2，2，3的众数是3；
(4)一组数据的波动越大，方差越小．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 下列计算正确的是(    )
A. 2 5+3 2=5 7 B. 3 2×3 5=3 10
C. 5 2÷ 2=5 D. 12− 2= 10
4. 在平面直角坐标系中，将直线y=2x+b沿y轴向下平移2个单位后恰好经过原点，则b的值为(    )
A. −2 B. 2 C. 4 D. −4
5. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(    )

A. AB//CD，AD//BC B. AD//BC，AB=CD
C. OA=OC，OB=OD D. AB=CD，AD=BC
6. 已知x1，x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，则2x1+2x2−x1x2的值为(    )
A. −1 B. 1 C. −7 D. 7
7. 已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0无实数根，则一次函数y=mx+m的图形不经过第象限．(    )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
8. 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为(    )

A. 15 B. 18 C. 21 D. 24
9. 当1≤x≤10时，一次函数y=−3x+b的最大值为18，则b=(    )
A. 48 B. 15 C. 21 D. 25
10. 如图，正方形ABCD的边长为2 2，P为对角线BD上动点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为(    )
A. 2
B. 4
C. 2
D. 1


二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 当x= ______ 时，二次根式 3x−9有最小值．
12. 已知一组数据7，1，5，4，8，则这组数据的方差是______ ．
13. 对于任意的实数a，b，定义一种新运算：a⊗b=ab，若x⊗(x−1)=2，则x的值为______ ．
14. 在平面直角坐标系中，已知A(8,0)，B(0,4)，作AB的垂直平分线交x轴于点C，则点C坐标为______ ．
15. 如图，函数y=−2x+4与y=−12x+m的图象交于点P(n,−2)，则不等式−12x+m>−2x+4的解集为______ ．

16. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD和DC的中点，AD=2，连接BF，BE，取BF的中点G，连接HG，CG，下列结论：
①BE⊥AF；
②HG= 3；
③BF=2HF；
④四边形BHFC的面积为2；
⑤HG=CG．
以上说法正确的有______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
解方程：2x2−4x+1=0．
18. (本小题4.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点F、E，点O为垂足，连接AE，FC.求证：四边形AECF是菱形．

19. (本小题6.0分)
计算：(1)( 48+2 6)÷ 3；
(2)(2 3− 2)2−( 6− 5)( 6+ 5)；
20. (本小题6.0分)
某学校两组学生参加知识竞赛，将他们的参赛成绩(单位：分)整理如下：
甲组：6，6，9，7，9，10，9．
乙组：7，6，10，5，9，9，10．

平均数
中位数
众数
甲组
a
b
9
乙组
8
9
c
分析数据，如图表：
(1)表中的a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)请说明乙组学生数据的“中位数9”的意义．
21. (本小题8.0分)
如图，有一块长为30米，宽为20米的矩形场地，计划在该场地上修建两条
互相垂直的小道，横向小道与竖向小道的宽比为2：3，余下矩形场地建成草坪，草坪的面积为486平方米，请求出横向小道的宽．

22. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，过点A(2,0)的直线l1交y轴正半轴于点B，已知AB= 13．
(1)求点B的坐标；
(2)点C是y轴上一点，且△ABC的面积为4，求直线AC的解析式．
23. (本小题10.0分)
已知：如图，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t s．
(1)请判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．


24. (本小题12.0分)
如图，直线AB：y=x+b分别与x轴，y轴交于A(−6,0)，B两点．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若P为B点上方y轴上的一动点，以P为直角顶点，AP为腰在第二象限内作等腰直角△PAQ，连接QB并延长交x轴于点M，当点P运动时，点M的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果有变化，请说明理由．

25. (本小题12.0分)
如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，∠B=45°，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的动点，点E在线段CQ上，且CE=2AP，QE=2，设AP为x．
(1)当点Q运动到BC中点时，恰好PE⊥BC，求BC的长度；
(2)在(1)的条件下，在点P和点Q运动过程中，是否存在x的值，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接PC，当点P在运动时，12AP+PC有最小值为3+2 3，求此时CQ的长．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A． 12=2 3，即 12与 6不能合并，故本选项不符合题意；
B. 12=2 3，即 12与 2不能合并，故本选项不符合题意；
C. 0.5= 12=12 2，即 0.5与 5不能合并，故本选项不符合题意；
D. 8=2 2，即 8与 2能合并，故本选项符合题意；
故选：D．
先根据二次根式的性质进行化简，再看看被开方数是否相同即可．
本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．

2.【答案】A 
【解析】解：(1)想了解观众对某体育节目的喜爱程度，宜采用抽样调查，原说法正确；
(2)某鞋店店主在进货时应关注销售鞋子尺码的众数，原说法错误；
(3)数据1，1，2，2，3的众数是1和2，原说法错误；
(4)一组数据的波动越大，方差越大，原说法错误．
故说法正确的有1个．
故选：A．
根据全面调查与抽样调查，平均数，众数，方差的意义求解即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，平均数，众数，方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

3.【答案】C 
【解析】解：A.2 5和3 2不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
B.3 2×3 5=9 10，故本选项不符合题意；
C.5 2÷ 2=5，故本选项符合题意；
D. 12− 2=2 3− 2，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加法和减法法则，二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵平移后抛物线的解析式为y=2x+b−2，恰好经过原点，
∴将(0,0)代入解析式可得0=b−2，
∴b=2．
故选：B．
根据平移解析式的变化为“上加下减，左加右减”确定平移后的解析式，再将原点坐标代入即可求解．
本题考查了一次函数的图象与几何变换及一次函数的性质，熟记牢记平移的规律是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
根据平行四边形的判定方法即可判断．
【解答】
解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，
故选：B．  
6.【答案】D 
【解析】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=−3，
所以2x1+2x2−x1x2=2(x1+x2)−x1x2=2×2−(−3)=7．
故选：D．
利用根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=3，然后利用整体代入的方法计算x1x2−x1−x2的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．

7.【答案】D 
【解析】解：∵方程x2−2x+m=0无实数根，
∴Δ=(−2)2−4m1，
当m>1时，一次函数y=mx+m经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
先根据根的判别式的意义得到Δ=(−2)2−4m1，然后根据一次函数的性质解决问题．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ−2x+4的解集为x>3．
故答案为：x>3．
先求得点P的横坐标，再写出直线y=−2x+4落在直线y=−12x+m的上方时所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，求得点P的坐标是解决问题的关键．

16.【答案】①⑤ 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA=CD=2，∠BAE=∠D=90°，
∵E，F分别是正方形ABCD的边AD和DC的中点，
∴AE=DF=CF=1，
在△BAE和△ADF中，
AB=AD∠BAE=∠DAE=DF，
∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠BAH+∠DAF=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴BE⊥AF，故①正确；
∵∠BCF=90°，BC=2，CF=1，
∴BF= 22+12= 5，
∵BE⊥AF，
∴∠BHF=90°，
∵G是BF的中点，
∴HG=12BF= 52，故②错误；
由勾股定理得：AF=BE= 5，
∵S△ABE=12×2×1=12× 5AH，
∴AH=2 5=2 55，
∴FH=AF−AH= 5−2 55=3 55，
∵BF= 5，
∴BF=53FH，故③错误；
由勾股定理得：BH= 22−(2 55)2=4 55，
∴四边形BHFC的面积=S△BHF+S△BCF
=12×3 55×4 55+12×2×1
=7；
故④错误；
∵∠BHF=∠BCF=90°，G是BF的中点，
∴GH=12BF，CG=12BF，
∴GH=CG，故⑤正确；
故答案为：①⑤．
根据正方形的性质证明△BAE≌△ADF可判断①正确；根据直角三角形斜边中线的性质可判断②和⑤；根据勾股定理和面积法可计算FH可判断③，根据两个三角形的面积和可判断④．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

17.【答案】解：由原方程，得x2−2x=−12，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2−2x+1=12，
配方，得(x−1)2=12，
直接开平方，得x−1=± 22，
x1=1+ 22，x2=1− 22． 
【解析】本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．
(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
按照配方法解一元二次方程的步骤进行解答即可．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC.EA=EC，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EA=EC，
∴平行四边形AECF是菱形． 
【解析】由线段垂直平分线的性质得OA=OC，EA=EC，再证△AOE≌△COF(ASA)，得OE=OF，再证四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．

19.【答案】解：(1)( 48+2 6)÷ 3
= 48÷ 3+2 6÷ 3
= 16+2 2
=4+2 2；
(2)(2 3− 2)2−( 6− 5)( 6+ 5)
=(12−2 6+2)−(6−5)
=12−2 6+2−1
=13−2 6． 
【解析】(1)根据二次根式的除法法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式的性质和乘法公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

20.【答案】8  9  9、10 
【解析】解：(1)由题意得，平均数a=17×(6+6+9+7+9+10+9)=8，
把甲组数据从小到大排列，排在中间的数是9，故中位数b=9，
乙组数据中，9和10出现的次数最多，故众数是9和10，即c=9、10．
故答案为：8，9，9、10；
(2)乙组学生数据的“中位数9”的意义：有3个人的成绩小于或等于9，有3个的成绩大于或等于9．
(1)分别根据算术平均数的定义，中位数的定义以及众数的定义解答即可；
(2)根据中位数的意义解答即可．
此题考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的意义及各个统计量所反映数据的特点是解决问题的关键．

21.【答案】解：设横向小道的宽为2x米，则竖向小道的宽为3x米，
由题意，得(30−3x)(20−2x)=486．
解得x1=1，x2=9(舍去)．
则2x=2．
答：横向小道的宽为2米． 
【解析】设横向小道的宽为2x米，则竖向小道的宽为3x米，根草坪面积=(30−3x)(20−2x)列出方程并解答．
本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．

22.【答案】解：(1)∵OA⊥OB，
∴OB= AB2−OA2=3，
∴B(0,3)；
(2)设C(0,x)，
则：12×2×|x−3|=4，
解得：x=7或x=−1，
设直线AC的解析式：y=kx+b，
当C(0,7)时，有2k+7=0，
解得：k=−72，
∴直线AC的解析式：y=−72x+7，
当C(0,−1)时，有2k−1=0，
解得：k=12，
∴直线AC的解析式：y=12x−1． 
【解析】(1)根据勾股定理求解；
(2)先根据三角形的面积公式求出C的坐标，再利用待定系数法求解．
本题考查了待定系数法的应用，掌握勾股定理及分类讨论思想是解题的关键．

23.【答案】解：(1)△ABC是直角三角形，
理由：∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

(2)由题意知BP=3t cm．
①当∠APB=90°时，如图1，

点P与点C重合，BP=BC=8cm，
∴t=8÷3=83；
②当∠BAP=90°时，如图2，

CP=BP−BC=(3t−8)cm，AC=6cm．
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=62+(3t−8)2，
在Rt△BAP中，AP2=BP2−AB2=(3t)2−102，
因此62+(3t−8)2=(3t)2−102，
解得t=256．
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为83或256． 
【解析】(1)利用勾股定理的逆定理判断即可．
(2)先求出BP=3t cm，再分①当∠APB=90°，②当∠BAP=90°两种情况，利用勾股定理求解即可得．
本题属于三角形综合题，考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

24.【答案】解：(1)将A(−6,0)代入y=x+b，
∴−6+b=0，
解得b=6，
∴直线AB的解析式为y=x+6；
(2)点M的位置不发生改变，理由如下：
当x=0时，y=6，
∴B(0,6)，
设P(0,t)，
过Q点作QG⊥y轴交于点G，
∵∠APQ=90°，
∴∠APO+∠QPG=90°，
∵∠APO+∠PAO=90°，
∴∠QPG=∠PAO，
∵PQ=PA，
∴△PAO≌△QPG(AAS)，
∴PG=AO=6，QG=PO=t，
∴Q(−t,6+t)，
设直线BQ的解析式为y=kx+6，
∴−kt+6=6+t，
解得k=−1，
∴直线BQ的解析式为y=−x+6，
∴M(6,0)． 
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)设P(0,t)，过Q点作QG⊥y轴交于点G，可证明△PAO≌△QPG(AAS)，从而得到Q(−t,6+t)，再求出直线QB的解析式为y=−x+6，则可求M点坐标．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．

25.【答案】解：(1)如图，连接AQ，PE交AC于K，
∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵Q为BC的中点，
∴AQ=BQ=CQ，

∵PE⊥BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAC=45°，∠CKE=45°，
∴△APK、△CEK都为等腰直角三角形，
而AP=x，CE=2AP，
∴PK=x，CE=KE=2x，
∴AQ=CQ=3x=2x+2，
解得：x=2．
∴BC=6x=12．
(2)存在；如图，当P在AD上，Q在BC上，由题意可得：AP=x，CQ=2x+2，而BC=12，

∴BQ=12−2x−2=10−2x，
∵以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AP//BQ，
∴AP=BQ．
∴x=10−2x，
解得：x=103，
如图，当P在AD上，Q在CB的延长线上，

同理可得：2x−10=x，
解得：x=10，
综上：当A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，x=103或x=10，
(3)如图，作∠TAP=30°，过P作PT⊥AT于T，则TP=12AP=12x，
∴AT= x2−(12x)2= 32x，

∴12AP+PC=PT+PC，
当T，P，C三点共线时，12AP+PC=PT+PC=TC，此时最短，
此时∠TAC=30°+45°=75°，∠ACT=15°，
在TC上取点K，使∠KAC=15°，则AK=CK，∠AKT=30°，
∴CK=AK=2AT= 3x，
∴TK= ( 3x)2−( 32x)2=32x，
∵TC=3+2 3，
∴32x+ 3x=3+2 3，
解得：x=2．
..CQ=2x+2=6． 
【解析】(1)如图，连接AO，PE交AC于K，证明AB=AC，结合Q为BC的中点，可得AQ=BQ=CQ，证明△APK、△CEK都为等腰直角三角形，而AP=x，CE=2AP，可得PK=x，CE=KE=2x，AQ=CQ=3x=2x+2，从而可得答案．
(2)当P在AD上，Q在BC上，由题意可得：AP=x，CQ=2x+2，而BC=12，求出BQ=12−2x−2=10−2x，根据平行四边形的判定得出AP=BQ，进而可得x的值；当P在AD上，Q在CB的延长线上时，同理建立方程求解即可；
(3)如图，作∠TAP=30°，过P作PT⊥AT于T，则TP=12AP=12x，AT= x2−(12x)2= 32x，当T、P、C三点共线时，12AP+PC=PT+PC=TC，此时最短，此时∠TAC=30°+45°=75°，∠ACT=15°，在TC上取点K，使∠KAC=15°，则AK=CK，∠AKT=30°，再建立方程32x+ 3x=3+2 3，从而可得答案．
本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行四边形的判定与性质，二次根式的混合运算，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的关键．