山西省三重教育2023届高三数学下学期2月联考试题(Word版附解析)
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数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解,得,即可求解.
【详解】令,则解得,
所以,所以.
故选:A
2. 已知复数,满足,,则( )
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数模长的运算性质,可得答案.
【详解】由,则,,
故选:C.
3. 已知一个足球场地呈南北走向.在一次进攻时,某运动员从A点处开始带球沿正北方向行进16米到达B处,再转向北偏东60°方向行进了24米到达C处,然后起脚射门,则A,C两点的距离为( )
A 米 B. 米 C. 32米 D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】作出示意图,利用余弦定理计算即可.
【详解】
如图,根据题意可知.
根据余弦定理可得:,
解得(米)
故选:D
4. 已知抛物线的焦点为,准线为,点在上,过作的垂线,垂足为,若(为原点),则到的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的定义结合可求得的值,由此可得出到的距离.
【详解】易知抛物线的焦点为,由抛物线的定义可得,
所以,,解得,因此,到的距离为.
故选:C.
5. 有一个棱柱形状的石料,底面是边长为的等边三角形,该石料侧棱垂直于底面,若可以将该石料打磨成四个半径为的石球,则至少需要打磨掉的石料废料的体积为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出柱形石料的高,利用柱体体积减去四个球体体积可得结果.
【详解】底面是边长为的等边三角形的内切圆的半径为,
由等面积法可得,解得,
若可以将该石料打磨成四个半径为的石球,则该柱形石料的高至少为,
因此,至少需要打磨掉的石料废料的体积为.
故选:B.
6. 已知向量,,其中.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将向量用坐标表示,分析是否为零后,将等式两边同时平方,再用代换为齐次式,再将等式两边同时除以,得到关于的等式,解出即可.
【详解】解:因为,且,,
所以,
当时,,不成立,故,
对等式两边同时平方有:
化简可得:,
两边同时除以有:,
即,即,
解得.
故选:B
7. 现有甲、乙两组数据,每组数据均由六个数组成,其中甲组数据的平均数为,方差为,乙组数据的平均数为,方差为.若将这两组数据混合成一组,则新的一组数据的方差为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.
【详解】设甲组数据分别为、、、,乙组数据分别为、、、,
甲组数据的平均数为,可得,方差为,可得,
乙组数据平均数为,可得,方差为,可得,
混合后,新数据的平均数为,
方差为
.
故选:D.
8. 已知椭圆M:的上顶点为A,过点A且不与y轴重合的直线l与M的另一个交点为(其中),过B作l的垂线,交y轴于点C.若,则l的斜率( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出直线方程,将直线方程与椭圆方程联立求出点的坐标,再根据题意求出所在直线方程,求出点的坐标,利用两点间距离公式即可求解.
【详解】由题意可得直线的方程为,
将直线方程代入椭圆方程可得:,所以,
则,因为过B作l的垂线,交y轴于点C,
所以所在直线方程为:,
令,则,所以点,又因为,
所以,整理化简可得:,
解得:,因为,所以,
故选:.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 已知等比数则的公比为,前项积为,若,则( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用数列的基本性质可得出,,求出的取值范围,可判断AB选项;利用等比数列的性质可判断CD选项.
【详解】因为数列等比数则的公比为且,则,
所以,,,
又因为,则,所以,,从而,
故对任意的,,由可得,A对B错;
,,即,C对D错.
故选:AC.
10. 已知函数的图象关于点对称,且存在,使在上单调递增,则下列选项正确的是( )
A. 的最小正周期
B. 在上单调递增
C. 函数的图象不可能关于点对称
D. 函数在内不存在极值点
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项,依据周期的定义,计算的范围可判断;B选项,的单调增区间在距对称中心前后内,令,求出的范围可判断结果;C选项,的每个对称中心间隔为,计算对称中心的范围判断是否在此范围内即可; D选项,的极值点为,依据周期的范围计算极值点的范围,判断是否在内可得结果.
【详解】解:A 选项:,,故A正确;
B选项:若存在,使在上单调递增,则,即,所以在上不一定单调,故B错误;
C选项:因为是的对称中心,所以也是的对称中心,,,,所以不是的对称中心,故C正确;
D选项:函数的极值为的最值,是的对称中心,所以的最值点为,有,所以函数在内存在极值点,故D错误.
故选:AC
11. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,直线与椭圆C交于A,B两点(其中A在B的左侧),记面积为S,则( )
A. B. 时,
C. S的最大值为 D. 当时,
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题知,,,设,则,进而结合向量运算,椭圆定义等讨论各选项即可得答案.
【详解】由题知,,,设,则,
对于A选项,根据椭圆的定义,,故正确;
对于B选项,,故,
因为,即,所以,解得,故错误;
对于C选项,因为,当且仅当,即时等号成立,即
所以,面积为,即的最大值为,故正确;
对于D选项,,所以,
因为,
所以,
因为,,
所以,整理得,即,解得,
所以,所以面积为,故正确;
故选:ACD
12. 已知函数,则下列说法正确的是( )
A. 若在R上单调递增,则
B. 若,设的解集为,则
C. 若若两个极值点,,且,则
D. 若,则过仅能做曲线的一条切线
【答案】ACD
【解析】
【分析】对函数求导,利用导数研究函数的最值判断;化简不等式,利用符号法解不等式,从而求解区间长度范围判断;结合图象和函数的零点判断;利用导数的几何意义建立方程,判断方程根的个数即可判断D.
【详解】对于A,对求导得:,因为函数在R上单调递增,
所以恒成立,即恒成立,
记,则,
因为,当时,,当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减,
因此,函数在处取得最大值,所以,即,故选项正确;
对于B,由得,等价于,即,
当时,,,又,故
所以,当时,,无解,
故的解集为,此时,当
时,,,故B不正确;
对于C,因为函数有两个极值点,,所以有两个零点点,,
即方程有两个解为,,记,
因为,当时,,
当时,,即函数在上单调递增,在上单调递减,
因此,函数在处取得最大值,
令,则,解得,
此时,即,
方程有两个解为,等价于与交于两点,
所以,
所以,
C选项正确;
对于D,时,,,设图象上一点,
则,故过点的切线方程为,
将代入上式得,
整理得,
构造函数,则,
构造函数,则,
令得,令得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,所以函数单调递增,
又,即方程在区间有一解,
所以存在唯一一条过的切线,D选项正确.
故选:ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. A,B两篮球运动员在球衣号分别为6,8,9,18的四件球衣中各随机选一件,则A选的是偶数号球衣的不同选法共有__________种.
【答案】9
【解析】
【分析】根据分步乘法法则直接得出答案.
【详解】A选的是偶数号球衣的选法有3种,
B从A选完后剩余的3件球衣中选1件的选法有3种,
则A选的是偶数号球衣的不同选法共有种,
故答案为:9.
14. 已知直线过定点,则最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将定点代入直线中得到,再用“1”的代换即可求得结果.
【详解】解:因为直线过定点,
所以,即,
所以
,
当且仅当即时取等,
所以的最小值为.
故答案为:
15. 若在圆C:上存在一点P,使得过点P作圆M:的切线长为,则r的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设点,根据题意可得:,然后再利用即可求解.
【详解】设点,过点作圆M:的切线,切点为,
由题意可知:,因为点,
所以,化简整理可得:,
所以,因为,,
所以,解得:,
所以的取值范围为,
故答案为:.
16. 若曲线与曲线存在公切线,则a的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】曲线与曲线存在公切线等价于导函数相等有解,求导后列出方程求解即可.
【详解】由,则,设切点为,切线斜率为,
所以,切线为,即,
由,则,设切点为,切线斜率为,
所以,切线为,即,
根据题设,若它们切线为公切线,则有,即,
又,即且,即,
由上关系式并消去并整理得在上有解,
令,则,
当,则,即,此时递增;
当,则或,即或,此时递减;
又,,
所以,即.
故答案为:.
【点睛】关键点点睛:设切点并写出两曲线对应的切线方程,根据公切线列方程组,注意切点横坐标及参数a范围,进而转化为方程在某区内有解问题.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,且△ABC的周长为6.
(1)证明:;
(2)求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)利用余弦定理和三角形周长即可求解;
(2)结合(1)的结论和基本不等式得出,然后利用三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
在△ABC中,由余弦定理可得:,
即,又因为,
所以,整理可得:,
所以得证.
【小问2详解】
由(1)可知:,
所以,当且仅当时取等号,
所以或,因为,所以,
则,所以,
故△ABC面积的最大值为.
18. 已知数列各项均为正数,,,且.
(1)若,求的前n项和;
(2)若为等比数列,且不为等比数列,求的值.
【答案】(1).
(2).
【解析】
【分析】(1)由题意可得,确定为等差数列,即可求得答案;
(2)根据题意列出等式,解关于的方程,可得答案.
【小问1详解】
由题意若,则,
故为等差数列,,,则公差为,
所以,
故的前n项和.
【小问2详解】
由已知可得,,
由于为等比数列,则,
即,
整理可得,,
则,符合不为等比数列,且,故.
19. 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游.已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车.已知第一天夫妻双方驾车的概率均为.
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式.
【答案】(1)分布列见解析;
(2),
【解析】
【分析】(1)设妻子驾车天数为,写出的可能取值,根据题意求出相对应的概率,列出分布列,根据期望公式求出结果即可;
(2)由于丈夫驾车的概率与前一天驾车的对象有关系,不妨假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,得到关于的递推关系式,构造等比数列,求出等比数列通项公式即可求得通项公式.
【小问1详解】
解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:,
由题意可知:,
,
,
所以的分布列如下表所示:
0
1
2
所以;
【小问2详解】
假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,
此时第n天时,由丈夫驾车的概率为,
即,则有,
所以,因为,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
即,故.
20. 如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面ABC,,,.
(1)证明:ABPC;
(2)求二面角A-PC-B的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【解析】
【分析】(1)作, 垂足为O,可得OBOC,又POBO,可得OB平面POC,根据线面垂直的性质即可证明;
(2)以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,求出两个平面的法向量即可求二面角的余弦值.
【小问1详解】
如图, 作,垂足为O,连接CO,
因为POBO,且,
所以是等腰直角三角形,又, 所以OB=OP=2.
又, ,由余弦定理可知CO=2,
所以,即OBOC.
又,OP,OC平面POC,
所以平面POC,又PC平面POC,
所以OBPC,即,
【小问2详解】
因为平面PAB平面ABC,且平面PAB平面ABC=AB,POAB,PO平面PAB,
所以PO平面ABC,又OC平面ABC,
所以POOC.
以O为原点建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,
则A(1,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则,
设平面APC的法向量为,则,取,则,所以.
设平面BPC的法向量为,则,取,则,所以.
设二面角B-PC-A为,由图可知为锐角,所以.
21. 已知双曲线:的焦距为8.过左焦点的直线与的左半支交于,两点,过,作直线:的垂线,垂足分别为,,且当垂直于轴时,.
(1)的标准方程;
(2)设点,判断是否存在,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)
(2)存在,
【解析】
【分析】(1)根据焦距得,利用及通经长度即可求得的值,从而得的标准方程;
(2)讨论直线斜率不存在与存在两种情况,存在时,直线方程为,,联立直线与双曲线,得交点坐标关系,利用直线方程与双曲线方程转化,通过系数成比例解方程确定定值是否存在即可.
【小问1详解】
由题可知,焦距,所以,当AB垂直于x轴时,,
又,联立,解得或(舍),所以
则的标准方程为;
【小问2详解】
如图,
①当直线斜率不存在时,此时,则,所以,要使得为定值,则;
②当直线斜率存在时,设直线方程为,,则,由于均在左半支,所以,且,
所以,消去得,则
所以,同理,
则
,
要使得为定值,则满足,解得,
此时,经检验,此结果也符合斜率不存在的情况
综上,存在使得为定值.
22. 设函数,其中,.
(1)若,且在区间单调递减,在区间单调递增,求t的最小值;
(2)证明:对任意正数a,b,仅存在唯一零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据函数,求导,结合已知是函数的唯一的极值点,且为极小值点,所以,有唯一的根,令确定其单调性,对进行讨论,即可求得t的最小值;
(2)因为,设,将的零点个数转化为零点的个数,对求导研究即可.
【小问1详解】
若,,,则,
因为在区间单调递减,在区间单调递增,所以是函数的唯一的极值点,且为极小值点,
且,即,
令,则,
令得,令得或
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
又;
当时,存,,,
使得,即,
且当时,,时,,时,,
时,
所以在和上单调递减,在和上单调递增,即不符题意,
当时,在上恒成立,则存在,使得,
当时,,时,
所以在单调递减,在单调递增,即符合题意,
又,则,
综上,t的最小值为.
【小问2详解】
证明:易知,
设,
则,所以,
①当,即时,,则单调递增,
又时,,时,,
所以存在,使得,时,,时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
又时,,时,,
所以存在唯一的,使得,即,
②当,即,
存在,,
使得,且,
易知在和上单调递增,在上单调递减,
又当时,,
且时,,
所以存在,使得,
易知在上单调递减,在上单调递增,
又时,,时,,
所以存在唯一的,
使得,即;
综上,对任意a,b>0,仅存在唯一零点.
【点睛】本题考查了函数极值点、零点与导数的综合,属于难题.解决本题含参极值点的关键是得含参方程,构造新函数确定其单调性与取值,从而得的范围,使得可求得满足方程的t的最小值;而要证明函数的零点唯一性,采用等价转化为的零点个数即可.
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