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所属成套资源：小升初奥数竞赛培优专题-六年级下册数学（通用版）含答案
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【小升初奥数竞赛培优卷】六年级下册数学-综合能力训练（三）
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这是一份【小升初奥数竞赛培优卷】六年级下册数学-综合能力训练（三），文件包含小升初奥数竞赛培优卷六年级下册数学-综合能力训练三解析卷docx、小升初奥数竞赛培优卷六年级下册数学-综合能力训练三原卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
综合能力训练（三）（解析卷）
一、填空题（将正确的答案直接填在各题横线上，每题5分）
1.一次聚会结束时，到会的人互相握手道别，每人都和其他所有的人握一次手，共握手105次，那么参加聚会的有 人。
【答案】：15人
【解析】：
解：设这次参加聚会的同学有人。
（－1）＝105，解得＝15
2.甲、乙、丙各有一些糖，甲拿出一半平均分给乙、丙，然后乙拿出一半平均分给甲、丙，最后丙拿出一半平均分给甲、乙，此时三人各有32块。甲、乙、丙原来各有多少块？甲 ；乙 ；丙 。
【答案】：甲有16块；乙有28块；丙有52块
【解析】：
可采用列表倒推的方法。
甲
乙
丙
原来
16
28
52
第一次后
8
32
56
第二次后
16
16
64
第三次后
32
32
32
3.A进制的数47和B进制的数74相同，那么A＋B的最小值是 。
【答案】：24
【解析】：
根据题意，有4A＋7＝7B＋4，所以4（A－1）＝7（B－1），为了使A和B尽量小，且都要大于7，所以有A＝15，B＝9。此时A＋B＝24，所以A＋B的最小值是24。
4.兄弟四人一起去买一台电视机，老大带的钱是另外三人所带总钱数的一半，老二带的钱是另外三人所带总钱数的与，老三带的钱是另外三人所带总钱数的，老四带了120元，那么这台电视机的价格是 元。
【答案】：480
【解析】：
题目的条件可以转化为“老大带的钱是四人所带总钱数的÷（1＋）＝，老二带去的钱是四人总钱数的÷（1＋）＝，老三带的钱是四人总钱数的÷（1＋）＝。”
这三人总共带了总钱数的所以老四带了总钱数的＋＋＝，所以老四带了总钱数的，总钱数为120÷＝480元，这台电视机480元。
5.在下面的等式中添上运算符号或括号，使其成立。
77○76○75○73○71＝2002
【答案】：（77－76－75）÷73－71＝2002
【解析】：
要解决这个问题，首先得考虑找一个与2002接近的7n数，构造结果为2002的可能算式。把……74＝2410，73＝343，72＝49，71＝7列出，7的5次方太大了不用考虑，可以找到 2410－343－49－7＝2002，这是解决问题的关键一步。另外要知道7n÷7m＝7n－m，而2410－343－49－7，这几个数中7是最后一个现有的，另外的3个可以通过除法来获得。（77－76－75）÷73－71＝2002
6.在一次数学竞赛中，甲队的平均分为82.5分，乙队的平均分为76分，两队全体同学的平均分为80分，又知道甲队比乙队多6人，那么乙队有 人。
【答案】：10
【解析】：
两队的平均分分别为82.5分和76分，而总体的平均分为80分，利用浓度三角的数量关系可以计算得到甲、乙两队的人数比为（80－76）∶（82.5－80）＝8∶5，再根据“甲队比乙队多6人”可以得到乙队人数为6÷（8－5）×5＝10人。
7.如图，一块边长为90厘米的正方形铁皮，四角各截去一个边长为20厘米的小正方形，要从剩下的铁皮中剪出一个完整的正方形铁片，那么能剪出的最大面积为 平方厘米。
【答案】：4500
【解析】：
SA＝50×50＝2500（平方厘米）；SB＝50×20÷2＝500（平方厘米）；
所求面积为SA＋4SB＝2500＋4×500＝4500（平方厘米）
8.商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有 级。
【答案】：60级
【解析】：
因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走 40级到达楼上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行了（80－40）÷2＝20（级）所以扶梯可见部分有80－20＝60（级）。
9.如图，已知长方形ABCD的面积是24平方厘米，三角形ABE的面积是5平方厘米，三角形AFD的面积是6平方厘米，那么三角形AEF的面积是 平方厘米。
【答案】：9.5平方厘米
【解析】：
连结长方形对角线AC，可知S△ABC＝S△ACD＝12（平方厘米）。
因为S△AFD＝6（平方厘米），所以S△ACF＝6（平方厘米），可知F是DC边的中点。因为S△ABE＝5（平方厘米），所以S△AEC＝7（平方厘米），由此可知BE∶EC＝5∶7。
所以S△CEF＝×BC×CD＝×BC×CD＝×24＝3.5（平方厘米），
所以S△AEF＝24－5－3.5－6＝9.5（平方厘米）。
10.筐中有120个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同，有 种分法。
【答案】：12种
【解析】：
120的偶因数有12个：2，4，6，8，10，12，20，24，30，40，60，120。每个偶因数对应于一种符合条件的分法，所以共有12种分法。
11．有6个棱长分别是4厘米、5厘米、6厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得6个长方体中染有红色的面恰好分别是1个面、2个面、3个面、4个面、5个面和6个面。染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有 个。
【答案】：318个
【解析】：
一面染色时，最多可得到5×6＝30个一面是红色的小正方体。
二面染色时，最多可得到30×2＝60个一面是红色的小正方体。
三面染色时，最多可得到60＋5×2－5×2＝60个一面是红色的小正方体。
四面染色时，最多可得到60＋5×2－5×2＝60个一面是红色的小正方体。
五面染色时，最多可得到60＋8－12＝56个一面是红色的小正方体。
六面染色时，最多可得到56＋8－12＝52个一面是红色的小正方体。
所以共有一面是红色的小正方体，30＋60＋60＋60＋56＋52＝318（个）。
12．有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前1997个数中，有 个是5的倍数
【答案】：399个
【解析】：
设这串数中任一个数为a，它的前两个数为b和c，则a＝b＋c。于是a除以5 的余数等于（b＋c），除以5的余数。再设b＋5m＋r1，c＝5n＋r2，所以a＝（5m＋r1）＋（5n＋r2）＝5（m＋n）＋（r1＋r2）。
由此可知，a除以5的余数等于r1＋r2除以5的余数，即等于前两个数除以5的余数之和再除以5的余数。所以这串数除以5的余数分别为：
1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，4，3，2，0，2，2，2，4，1，0，1，1，2， 3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5 个数中第五个是5的倍数。
1997÷5＝399……2，所以前1997个数中，有399个是5的倍数。
二、解答题（每题10分）
1.儿子上学走了4千米时，爸爸发现儿子没带作业便去追他。爸爸追上后马上返回，爸爸到家时儿子到了学校，学校与家正好相距 24千米。已知爸爸的速度是每小时7千米，儿子的速度是多少？
【答案】：5km/h
【解析】：
显然爸爸去时走的路程应该和返回时走的路程应该是相等的，所以爸爸追儿子所花的时间等于他返回所花的时间，即儿子走了4千米到被爸爸追上所经过的时间等于从被爸爸追上到抵达学校所经过的时间，所以儿子被爸爸追上的时候，儿子走了剩下24－4＝20千米的一半，即10千米，此时，爸一共走了10＋4 ＝14千米，所以儿子的速度和爸爸的速度之比为14∶10＝7∶5，所以儿子的速度为5千米/小时。
2.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开9个检票口则需10分钟。如果要使客流 15分钟消失，需同时开多少个检票口？
【答案】：7个
【解析】：
这道题实质是一道牛吃草问题，5个检票口30分钟检了150个单位旅客，9个检票口10分钟检了90个单位的旅客，所以20分钟内增加的旅客数为60个单位，每分钟增加3个单位的旅客，所以在开始检票前，就已经排队的旅客人数为150－3×30＝60个单位的旅客。要在15分钟内检完这60个单位旅客，并能抵消不断增加的应该开60÷15＋3＝7个检票窗口。
3.修远的爷爷开了一个玻璃店，有一次他用148 平方分米的玻璃为修远做了一只带盖的长方体金鱼缸（盖子是活动的且可以密封）。回家后修远做了一个实验：往玻璃缸内倒了一些水，然后用盖子密封住，邀请爸爸、妈妈和妹妹一起参加实验，让他们用不同的方法放平玻璃缸，并请每人报出这时水面的高度。爸爸说：水面高度是12厘米，妈妈说：水面高度是 10厘米。妹妹说：水面高度是8厘米，最后爷爷透露了一个重要信息：玻璃缸最长的一条棱长是6分米。
你能根据以上信息帮助修远算出这只鱼缸的最大容量是多少吗？（玻璃的厚度及制作损失不计）
【答案】：120000立方厘米
【解析】：
设玻璃缸宽a，高b（a＞b），则根据水体积不变有这样的等量关系：
8×60×a＝10×60×b＝12×a×b
整理后可得a＝50，b＝40。最大容量为60×50×40＝120000立方厘米。
4.三角形AEF的面积是17，DE、BF的长度分别为11、3。求长方形ABCD的面积。
【答案】：67
【解析】：
如图，过F作FH∥AB，过E作EG∥AD，FH、EG交于M，连接AM。
S矩形ABCD＝S矩形AGMH＋S矩形GBFM＋S矩形MFED
＝AG×AH＋2S△AMF＋2S△EMF＋2S△AME
＝DE×BF＋2S△AEF
＝11×3＋2×17
＝67
综合能力训练（三）（解析卷）
一、填空题（将正确的答案直接填在各题横线上，每题5分）
1.一次聚会结束时，到会的人互相握手道别，每人都和其他所有的人握一次手，共握手105次，那么参加聚会的有 人。
【答案】：15人
【解析】：
解：设这次参加聚会的同学有人。
（－1）＝105，解得＝15
2.甲、乙、丙各有一些糖，甲拿出一半平均分给乙、丙，然后乙拿出一半平均分给甲、丙，最后丙拿出一半平均分给甲、乙，此时三人各有32块。甲、乙、丙原来各有多少块？甲 ；乙 ；丙 。
【答案】：甲有16块；乙有28块；丙有52块
【解析】：
可采用列表倒推的方法。
甲
乙
丙
原来
16
28
52
第一次后
8
32
56
第二次后
16
16
64
第三次后
32
32
32
3.A进制的数47和B进制的数74相同，那么A＋B的最小值是 。
【答案】：24
【解析】：
根据题意，有4A＋7＝7B＋4，所以4（A－1）＝7（B－1），为了使A和B尽量小，且都要大于7，所以有A＝15，B＝9。此时A＋B＝24，所以A＋B的最小值是24。
4.兄弟四人一起去买一台电视机，老大带的钱是另外三人所带总钱数的一半，老二带的钱是另外三人所带总钱数的与，老三带的钱是另外三人所带总钱数的，老四带了120元，那么这台电视机的价格是 元。
【答案】：480
【解析】：
题目的条件可以转化为“老大带的钱是四人所带总钱数的÷（1＋）＝，老二带去的钱是四人总钱数的÷（1＋）＝，老三带的钱是四人总钱数的÷（1＋）＝。”
这三人总共带了总钱数的所以老四带了总钱数的＋＋＝，所以老四带了总钱数的，总钱数为120÷＝480元，这台电视机480元。
5.在下面的等式中添上运算符号或括号，使其成立。
77○76○75○73○71＝2002
【答案】：（77－76－75）÷73－71＝2002
【解析】：
要解决这个问题，首先得考虑找一个与2002接近的7n数，构造结果为2002的可能算式。把……74＝2410，73＝343，72＝49，71＝7列出，7的5次方太大了不用考虑，可以找到 2410－343－49－7＝2002，这是解决问题的关键一步。另外要知道7n÷7m＝7n－m，而2410－343－49－7，这几个数中7是最后一个现有的，另外的3个可以通过除法来获得。（77－76－75）÷73－71＝2002
6.在一次数学竞赛中，甲队的平均分为82.5分，乙队的平均分为76分，两队全体同学的平均分为80分，又知道甲队比乙队多6人，那么乙队有 人。
【答案】：10
【解析】：
两队的平均分分别为82.5分和76分，而总体的平均分为80分，利用浓度三角的数量关系可以计算得到甲、乙两队的人数比为（80－76）∶（82.5－80）＝8∶5，再根据“甲队比乙队多6人”可以得到乙队人数为6÷（8－5）×5＝10人。
7.如图，一块边长为90厘米的正方形铁皮，四角各截去一个边长为20厘米的小正方形，要从剩下的铁皮中剪出一个完整的正方形铁片，那么能剪出的最大面积为 平方厘米。
【答案】：4500
【解析】：
SA＝50×50＝2500（平方厘米）；SB＝50×20÷2＝500（平方厘米）；
所求面积为SA＋4SB＝2500＋4×500＝4500（平方厘米）
8.商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有 级。
【答案】：60级
【解析】：
因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走 40级到达楼上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行了（80－40）÷2＝20（级）所以扶梯可见部分有80－20＝60（级）。
9.如图，已知长方形ABCD的面积是24平方厘米，三角形ABE的面积是5平方厘米，三角形AFD的面积是6平方厘米，那么三角形AEF的面积是 平方厘米。
【答案】：9.5平方厘米
【解析】：
连结长方形对角线AC，可知S△ABC＝S△ACD＝12（平方厘米）。
因为S△AFD＝6（平方厘米），所以S△ACF＝6（平方厘米），可知F是DC边的中点。因为S△ABE＝5（平方厘米），所以S△AEC＝7（平方厘米），由此可知BE∶EC＝5∶7。
所以S△CEF＝×BC×CD＝×BC×CD＝×24＝3.5（平方厘米），
所以S△AEF＝24－5－3.5－6＝9.5（平方厘米）。
10.筐中有120个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同，有 种分法。
【答案】：12种
【解析】：
120的偶因数有12个：2，4，6，8，10，12，20，24，30，40，60，120。每个偶因数对应于一种符合条件的分法，所以共有12种分法。
11．有6个棱长分别是4厘米、5厘米、6厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得6个长方体中染有红色的面恰好分别是1个面、2个面、3个面、4个面、5个面和6个面。染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有 个。
【答案】：318个
【解析】：
一面染色时，最多可得到5×6＝30个一面是红色的小正方体。
二面染色时，最多可得到30×2＝60个一面是红色的小正方体。
三面染色时，最多可得到60＋5×2－5×2＝60个一面是红色的小正方体。
四面染色时，最多可得到60＋5×2－5×2＝60个一面是红色的小正方体。
五面染色时，最多可得到60＋8－12＝56个一面是红色的小正方体。
六面染色时，最多可得到56＋8－12＝52个一面是红色的小正方体。
所以共有一面是红色的小正方体，30＋60＋60＋60＋56＋52＝318（个）。
12．有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前1997个数中，有 个是5的倍数
【答案】：399个
【解析】：
设这串数中任一个数为a，它的前两个数为b和c，则a＝b＋c。于是a除以5 的余数等于（b＋c），除以5的余数。再设b＋5m＋r1，c＝5n＋r2，所以a＝（5m＋r1）＋（5n＋r2）＝5（m＋n）＋（r1＋r2）。
由此可知，a除以5的余数等于r1＋r2除以5的余数，即等于前两个数除以5的余数之和再除以5的余数。所以这串数除以5的余数分别为：
1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，4，3，2，0，2，2，2，4，1，0，1，1，2， 3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5 个数中第五个是5的倍数。
1997÷5＝399……2，所以前1997个数中，有399个是5的倍数。
二、解答题（每题10分）
1.儿子上学走了4千米时，爸爸发现儿子没带作业便去追他。爸爸追上后马上返回，爸爸到家时儿子到了学校，学校与家正好相距 24千米。已知爸爸的速度是每小时7千米，儿子的速度是多少？
【答案】：5km/h
【解析】：
显然爸爸去时走的路程应该和返回时走的路程应该是相等的，所以爸爸追儿子所花的时间等于他返回所花的时间，即儿子走了4千米到被爸爸追上所经过的时间等于从被爸爸追上到抵达学校所经过的时间，所以儿子被爸爸追上的时候，儿子走了剩下24－4＝20千米的一半，即10千米，此时，爸一共走了10＋4 ＝14千米，所以儿子的速度和爸爸的速度之比为14∶10＝7∶5，所以儿子的速度为5千米/小时。
2.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到检票队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开9个检票口则需10分钟。如果要使客流 15分钟消失，需同时开多少个检票口？
【答案】：7个
【解析】：
这道题实质是一道牛吃草问题，5个检票口30分钟检了150个单位旅客，9个检票口10分钟检了90个单位的旅客，所以20分钟内增加的旅客数为60个单位，每分钟增加3个单位的旅客，所以在开始检票前，就已经排队的旅客人数为150－3×30＝60个单位的旅客。要在15分钟内检完这60个单位旅客，并能抵消不断增加的应该开60÷15＋3＝7个检票窗口。
3.修远的爷爷开了一个玻璃店，有一次他用148 平方分米的玻璃为修远做了一只带盖的长方体金鱼缸（盖子是活动的且可以密封）。回家后修远做了一个实验：往玻璃缸内倒了一些水，然后用盖子密封住，邀请爸爸、妈妈和妹妹一起参加实验，让他们用不同的方法放平玻璃缸，并请每人报出这时水面的高度。爸爸说：水面高度是12厘米，妈妈说：水面高度是 10厘米。妹妹说：水面高度是8厘米，最后爷爷透露了一个重要信息：玻璃缸最长的一条棱长是6分米。
你能根据以上信息帮助修远算出这只鱼缸的最大容量是多少吗？（玻璃的厚度及制作损失不计）
【答案】：120000立方厘米
【解析】：
设玻璃缸宽a，高b（a＞b），则根据水体积不变有这样的等量关系：
8×60×a＝10×60×b＝12×a×b
整理后可得a＝50，b＝40。最大容量为60×50×40＝120000立方厘米。
4.三角形AEF的面积是17，DE、BF的长度分别为11、3。求长方形ABCD的面积。
【答案】：67
【解析】：
如图，过F作FH∥AB，过E作EG∥AD，FH、EG交于M，连接AM。
S矩形ABCD＝S矩形AGMH＋S矩形GBFM＋S矩形MFED
＝AG×AH＋2S△AMF＋2S△EMF＋2S△AME
＝DE×BF＋2S△AEF
＝11×3＋2×17
＝67
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