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2023年山东省潍坊市青州市中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）
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这是一份2023年山东省潍坊市青州市中考数学模拟试卷（6月份）（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省潍坊市青州市中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 16的平方根( )
A. 4 B. 2 C. ±4 D. ±2
2. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 2022年4月18日，国家统计局发布初步核算，一季度国内生产总值270178亿元，同比增长4.8%，经济运行总体平稳．其中270178亿用科学记数法(精确到千亿位)表示为( )
A. 2.7×1013 B. 2.70×1013 C. 27×1012 D. 0.270×1014
4. 如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E.若∠ECA=40°，则下列结论错误的是( )
A. ∠ABC=70° B. ∠BAD=80° C. CE=CD D. CE=AE
5. 某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是( )
A. 众数是8 B. 中位数是8 C. 平均数是8.2 D. 方差是1.2
6. 如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=4，AD=DC=BC=2，点P是AB上的一个动点，PQ⊥AB交四边形另一边于点Q.设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数关系图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）
7. 下列运算中，正确的是( )
A. a5−a3=a2 B. (x+2)2=x2+4
C. 13ab÷b23a=1b3 D. 1a−1−1a+1=2a2−1
8. 下列说法正确的是( )
A. 了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B. 随着实验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C. 一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差是2，则x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数是5，方差是4
D. “367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(−3,y1)，(0,n)，(−1,0)，(6,y2)，(4,n).下列说法正确的有( )
A. 5a=−c
B. 方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1，x2=5
C. y1
10. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A、C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接ED，FG，下列结论正确的是( )
A. ED⊥FG
B. DE=FG
C. FG的最小值为2 2
D. 若连接AG、DG得到的△AGD在运动过程中可能是等边三角形
三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
11. 等腰三角形的底边长为6，腰长是方程x2−8x+15=0的一个根，则该等腰三角形的周长为______ ．
12. 一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是______．
13. 图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积(图3阴影部分)为______ 平方英寸．
14. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1//B2C2//B3C3，则正方形A2023B2023C2023D2023的边长是______ ．
四、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
15. 计算：|2−tan60°|−(π−3.14)0+(−12)−2+12 12．
五、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题4.0分)
解不等式组：3(x−1)≥2x−5,①2x
城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，如图，已知距电线杆AB的水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=1：0.5，坝高CF为2m，在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰角为30°，DE之间是宽为2m的行人道，试问在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？(提示：在地面上，以点B为圆心，以AB为半径的圆形区域为危险区域)(参考数据： 3≈1.73)
18. (本小题12.0分)
从甲、乙两班各随机抽取10名学生(共20人)参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组(满分为100分)：A组：50≤x<60，B组：60≤x<70，C组：70≤x<80，D组：80≤x<90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
(1)根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩(取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩)；
(2)参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试，用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
(3)若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为x甲−=76，x乙−=76；样本方差为S甲2=80，S乙2=275.4.请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．
19. (本小题12.0分)
已知乒乓球桌的长度为274cm，某人从球桌边缘正上方高18cm处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．
(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y(单位：cm)与水平距离x(单位：cm)近似满足函数关系y=a(x−h1)2+k(a<0)．
乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
水平距离x/cm
0
40
80
120
160
竖直高度y/cm
18
42
50
42
18
(2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.005(x−h2)2+8.判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．
20. (本小题11.0分)
如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的两条弦，∠ABC=2∠A，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．
(1)求证：CE⊥DE；
(2)若tanA=13，BE=1，求CB的长．
21. (本小题13.0分)
如题22图，抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，并且经过点A(−2,0)，交x轴于另一点B，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；
(3)在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22. (本小题14.0分)
如图，四边形OBAC是矩形，OC=1，OB=3，反比例函数y=kx的图象过点A．
(1)求k的值．
(2)点P为反比例图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．
(3)点Q为反比例图象上的一点，点G为坐标平面上的一点，若以AB为一边，以A、B、Q、G为顶点的平行四边形的面积为14，请求出点G的坐标．
23. (本小题14.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE.将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)，连接BD并延长与直线CE交于点F．
(1)若AB=AC，将△ADE绕点A逆时针旋转至图2所示的位置，则线段BD与CE的数量关系是 ；
(2)若AC=kAB(k≠1)，将△ADE绕点A逆时针旋转，则(1)的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
(3)若AB=6，AC=8，将△ADE旋转至AD⊥BD时，请求出此时CF的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵42=16，
∴ 16=4，
∵(±2)2=4，
∴ 16的平方根为±2．
故选：D．
先根据算术平方根的定义化简 16，再根据平方根的定义进行求解．
本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，需要先求出 16，是易错题，需要注意．
2.【答案】A
【解析】解：这个组合体的左视图如下：
故选：A．
根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
本题考查了简单组合体的三视图，熟知从左边看到的图形是左视图是解答的关键．
3.【答案】B
【解析】解：270178亿
=2.70178×105×108
=2.70178×1013
≈2.70×1013，
故选：B．
将270178写成科学记数法a×10n(1≤a<10,n是正整数)的形式，再根据1亿=108用同底数幂的乘法化简，精确到千亿位即可得出答案．
本题考查了科学记数法与有效数字，掌握1亿=108是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵直线l1//l2，
∴∠ECA=∠CAB=40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA=AC=AD，
∴∠ABC=180°−40°2=70°，故A正确；
∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，
∴CB=CD，
则有△ACB≌△ACD(SSS)，
∴∠CAB=∠DAC=40°，
∴∠BAD=40°+40°=80°，故B正确；
∵∠ECA=40°，∠DAC=40°，
∴CE=AE，故D正确；
∵直线l1//l2，
∴∠CED=∠DAB=80°，而∠ADC=70°，
所以CE≠CD，则C选项错误，
故选：C．
根据平行线的性质得出∠CAB=40°，进而利用尺规作图的相关概念判断即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠CAB=40°解答．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】
解：由题图知，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，
所以中位数是12×(8+8)=8，故B选项正确；
平均数为110×(6+7×2+8×3+9×2+10×2)=8.2，故C选项正确；
方差为110×[(6−8.2)2+(7−8.2)2+(7−8.2)2+(8−8.2)2+(8−8.2)2+(8−8.2)2+(9−8.2)2+(9−8.2)2+(10−8.2)2+(10−8.2)2]=1.56，故D选项错误．
6.【答案】C
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，则DE//CF，
∵AB//CD，
∴DE=CF，EF=CD=2，
又AD=BC，
∴Rt△ADE=Rt△BCF(HL)，
∵AE=BF=12(AB−ER)=1，
∴DE= AD2−AE2= 3=CF，
①当0≤x<1时，
∵PQ⊥AB，DE⊥AB，
∴PQ//DE，
∴△APQ～△AEQ，
∴PQDE=APAE，即PQ 3=x1，
∴PQ= 3x，
∴y=12x⋅ 3x= 32x2；
②当1≤x<3，此时PQ=DE= 3，
∴y=12x⋅ 3= 32x；
③当3≤x≤4时，
同理可证△BPQ∽△BFC，
∴PQCF=BPBF，即PQ 3=4−x1，
∴PQ=− 3x+4 3，
∴y=12x⋅(− 3x+4 3)=− 32x2+2 3x，
综上y= 32x2(0≤x<1) 32x(1≤x<3)− 32x2+2 3x(3≤x≤4)．
故选：C．
分0≤x<1，1≤x<3，3≤x≤4三种情况讨论即可．
本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质等，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
7.【答案】CD
【解析】解：A、a5与a3不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式=x2+4x+4，故B不符合题意．
C、原式=13ab⋅3ab2=1b3，故C符合题意．
D、原式=(a+1)−(a−1)(a+1)(a−1)=a+1−a+1(a+1)(a−1)=2a2−1，故D符合题意．
故选：CD．
根据合并同类项，完全平方公式、分式的除法运算以及分式的加减运算法则即可求出答案．
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的混合运算法则．
8.【答案】ABD
【解析】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，说法正确，符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，说法正确，符合题意；
C、一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差是2，则新数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数是5，方差是2，说法错误，不符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，说法正确，符合题意；
故选：ABD．
分别根据全面调查与抽样调查、利用频率估计概率、方差的计算公式和随机事件的概念判断即可．
本题考查的是全面调查与抽样调查、利用频率估计概率、方差的计算公式和随机事件的概念，正确理解这些概念是关键．
9.【答案】ABD
【解析】解：∵a>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(0,n)，(4,n)，
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=0+42=2．
∴−b2a=2．
∴b=−4a．
∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0．
∴a−(−4a)+c=0．
∴5a+c=0．
∴5a=−c，
∴A的说法正确；
∵点(−3,y1)到直线x=2的距离大于点(6,y2)到直线x=2的距离，
∴y1>y2，
∴C的说法错误；
令y=0，则ax2+bx+c=0．
∵b=−4a，c=−5a，
∴ax2−4ax−5a=0．
∵a>0，
即x2−4x−5=0．
解得：x1=−1，x2=5，
∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=−1，x2=5．
∴B的说法正确；
∵y=ax2−4ax−5a=a(x−2)2−9a，a>0，
∴当x=2时，y有最小值为−9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥−9a．
∴D的说法正确．
故选：ABD．
利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将(−1,0)代入，可得c与a的关系，判定A正确；利用两点到对称轴的距离可判定C错误；令y=0解方程即可判定B正确；利用函数的最小值可判定D正确．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
10.【答案】ABC
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，∠BAD=∠ABC=90°，
在△BAE和△DAE中，
AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴DE=BE，∠ADE=∠ABE，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB=∠EGB=90°，
又∠ABC=90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴BE=FG，
∴DE=FG，
故②正确，符合题意；
∵四边形EFBG是矩形，
∴BE=FG，OF=OG，OE=OB，
∴OF=OG=OE=OB，
∴∠ABE=∠BFO，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠AMD=90°，
由①知∠ADE=∠ABE，
∴∠ABE=∠BFO，
∴∠BFO+∠AMD=90°，
即∠FHM=90°，
∴ED⊥FG，
故①正确，符合题意；
由②知BE=FG，
当BE⊥AC时，BE最短，
∵在正方形ABCD中，AB=4，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°，
由勾股定理得AC= AB2+BC2= 42+42=4 2，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BE，
∴4×4=4 2⋅BE，
∴BE=2 2，
即BE的最小值为2 2．
∴FG的最小值为2 2，
故③正确，符合题意；
∵E为对角线AC上与A、C不重合的一个动点，
∴AG>AB，DG>CD，
∵AD=AB=CD，
∴AG>AD，DG>AD，
∴△AGD在运动过程中不可能是等边三角形，
故错误，不符合题意；
故选：ABC．
先证△BAE和△DAE全等，得出DE=BE，再证四边形EFBG是矩形，得出BE=FG，于是有DE=FG，即可判断②正确；由矩形的性质得出∠ABE=∠BFO，
由△BAE和△DAE全等，得出∠ABE=∠ADE，再证∠ADE+∠AMD=90°，即可推出∠FHM=90°，即可判断①正确；由②知BE=FG，且当BE⊥AC时，BE最短，先利用勾股定理求出AC的长，再根据直角三角形的面积公式求出BE的长，即可得出FG的最小值2 2，即可判断③正确；由AG>AD，DG>AD，
推出△AGD在运动过程中不可能是等边三角形，故④错误．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，直角三角形的面积的求法，熟练掌握这些性质是解题的关键．
11.【答案】16
【解析】解：∵x2−8x+15=0，
∴(x−3)(x−5)=0，
则x−3=0或x−5=0，
解得x1=3，x2=5，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，
故答案为：16．
利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12.【答案】90°
【解析】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的4倍，
∴4πr2=πrR，
∴R=4r，
设圆心角为n，有n⋅π⋅R180=12πR，
∴n=90°．
故答案为90°．
根据圆锥的侧面积是底面积的4倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
13.【答案】(4π3− 3)
【解析】解：延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，
∵CD与MN成角为30°，CD//AB，
∴∠AHC=30°，
∵BE//MN，
∴∠ABE=30°，
∵OE=OB，
∴∠BOE=120°，
∵AB=4英寸，
∴OB=OE=2英寸，
在Rt△OBG中，OG=12OB=1，BG= 3，
∵OG⊥BE，
∴BE=2BG=2 3，
∴S△BEO=12×2 3×1= 3(平方英寸)，
∵S扇形OEB=120×π×22360=4π3(平方英寸)，
∴S阴影=(4π3− 3)平方英寸，
故答案为：(4π3− 3).
延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，根据平行线的性质可求∠OBE=30°，则∠BOE=120°，阴影部分的面积=扇形OBE的面积−△OBE的面积．
本题考查解直角三角形，扇形的面积，熟练掌握平行线的性质，扇形面积的求法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】( 33)2022
【解析】解：∵∠B1C1O=60°，∠B1C1D1=90°，
∴∠D1C1E1=30°，
∴D1E1=12C1D1=12，
∴B2E2=12，
∵B1C1//B2C2，
∴∠B1C1O=∠B2C2E2=60°，
∴B2C2=B2E2 3×2= 33，
∴正方形A2B2C2D2的边长为 33，
同理可求正方形A3B3C3D3的边长为( 33)2=13，…
∴正方形AnBnCnDn的边长为( 33)n−1，
∴正方形A2023B2023C2023D2023的边长是( 33)2022，
故答案为：( 33)2022．
利用正方形的性质，结合含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
15.【答案】解：原式
=|2− 3|−1+4+ 3，
=2− 3−1+4+ 3，
=5．
【解析】本题考查的知识点比较多：绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算的有关内容，熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
16.【答案】解：3(x−1)≥2x−5①2x
解不等式②，得x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1，
∴不等式组的整数解有−2、−1、0．
【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，进而判断其整数解．
17.【答案】解：如图，作CM⊥AB于点M，则MBFC为矩形．
∴BM=CF=2，BF=CM，
∵背水坡CD的坡度为i=1：0.5，
∴CFDF=10.5=21，
∴DF=12CF=1．
∴CM=BF=BD+DF=14+1=15(m)．
在Rt△AMC中，∵tan∠ACM=AMCM，
∴AM=CM⋅tan∠ACM=15⋅tan30°=15× 33=5 3(m)．
∴AB=AM+BM=5 3+2≈10.66(m)．
而BE=BD−DE=14−2=12(m)．
∴AB
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
18.【答案】解：(1)D组人数为：20×25%=5(人)，C组人数为：20−(2+4+5+3)=6(人)，
补充完整频数分布直方图如下：
估算参加测试的学生的平均成绩为：55×2+65×4+75×6+85×5+95×320=76.5(分)；
(2)把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，
∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为1216=34；
(3)∵样本方差为S甲2=80，S乙2=275.4，
∴S甲2
∴甲班的数学素养总体水平好．
【解析】(1)求出D组和C组的人数，补全频数分布直方图，再求出样本平均数即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，再由概率公式求解即可；
(3)由两班样本方差的大小作出判断即可．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)由表中数据可知，乒乓球竖直高度的最大值为50cm，h1=80，k=50；
∴y与x的函数关系式为y=a(x−80)2+50，
把(0,18)代入函数解析式得：18=a×802+50，
解得a=−0.05，
∴y与x的函数关系式为y=−0.05(x−80)2+50；
(2)令y=0，则−0.05(x−80)2+50=0，
解得x=180或x=−20(舍去)，
∴球第一次落在球桌面上的点为(180,0)，
把(180,0)代入y=−0.005(x−h2)2+8得：
−0.005(180−h2)2+8=0，
解得h2=140(舍去)或h2=220，
∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.005(x−220)2+8，
当y=0时，0=−0.005(x−220)2+8，
解得x=260或x=180(舍去)，
∵260<274，
∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上．
【解析】(1)由表中数据可知，乒乓球竖直高度的最大值，并得出抛物线的顶点坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
(2)先令(1)解析式中的y=0，解方程求出x的值，即为球第一次落地点的坐标，然后把坐标代入y=−0.005(x−h2)2+8求出h2，再令y=0，求出x的值与桌面总长比较即可．
本题考查二次函数的应用及一元二次方程的解法，关键是求出函数解析式．
20.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO，
∴∠BOD=∠A+∠ADO=2∠A，
又∵∠ABC=2∠A，
∴∠ABC=∠DOB，
∴OD//CE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴CE⊥DE；
(2)解：过点O作OF⊥BC于F，
∵∠ODE=90°，
∴∠ODB+∠BDE=90°，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠A=∠BDE，
∴tanA=tan∠BDE=BEDE=13，
∵BE=1，
∴DE=3，
∴BD= BE2+DE2= 12+32= 10，
∴AD=3 10，
∴AB= AD2+BD2=10，
∴OD=OB=5，
∵∠ODE=∠E=∠OFB=90°，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF=OD=5，
∴BF=EF−BE=5−1=4，
∵OF⊥BC，
∴BC=2BF=8．
【解析】(1)连接OD，证出∠ABC=∠DOB，由平行线的判定得出OD//CE，由切线的性质得出OD⊥DE，则可得出结论；
(2)过点O作OF⊥BC于F，证出∠A=∠BDE，得出tanA=tan∠BDE=BEDE=13，求出DE=3，由勾股定理求出BD的长，证出四边形ODEF为矩形，得出EF=OD=5，则可得出答案．
本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，并且经过点A(−2,0)，
∴−b2a=24a−2b+3=0，
解得a=−14b=1，
∴抛物线的解析式为y=−14x2+x+3；
(2)设P(p,−14p2+p+3)．
如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥x轴于N，交BC于D．
∵y=−14x2+x+3，
∴当x=0时，y=3，即C(0,3)，
当y=0时，−14x2+x+3=0，解得x1=−2，x2=6，即B(6,0)．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
则n=36m+n=0，
解得m=−12n=3，
∴直线BC的解析式为y=−12x+3．
∵PD⊥x轴，且D在BC上，
∴D(p,−12p+3)，
∴S△PBC=S△PDC+S△PBD
=12PD⋅ON+12PD⋅NB
=12PD⋅(ON+NB)
=12PD⋅OB
=12(−14p2+p+3+12p−3)×6
=−34p2+92p
=−34(p−3)2+274，
∴当p=3时，△PBC面积最大，最大值为274．
∵BC为定值，
∴△PBC面积最大时，点P到直线BC的距离最大，即PM最大．
∵B(6,0)，C(0,3)，
∴BC= 62+32=3 5，
∴S△PBC=12BC⋅PM=3 52PM=274，
∴PM=9 510，即点P到直线BC距离的最大值为9 510．
当p=3时，−14p2+p+3=154，
∴点P的坐标为(3,154)；
(3)如图，假设在直线BC下方的抛物线上存在点Q(x,−14x2+x+3)，使得△QBC为直角三角形，则x<0或x>6．
∵B(6,0)，C(0,3)，
∴BC2=62+32=45．
当△QBC为直角三角形时，分两种情况：
①如果∠Q1CB=90°时，那么Q1B2=BC2+Q1C2，
∴(x−6)2+(−14x2+x+3)2=45+x2+(−14x2+x)2，
解得x=0(舍去)，或x=−4，
当x=−4时，−14x2+x+3=−14×(−4)2+(−4)+3=−5，
∴点Q1的坐标为(−4,−5)；
②如果∠Q2BC=90°时，那么Q2C2=BC2+Q2B2，
∴x2+(−14x2+x)2=45+(x−6)2+(−14x2+x+3)2，
解得x=6(舍去)，或x=−10，
当x=−10时，−14x2+x+3=−14×(−10)2+(−10)+3=−32，
∴点Q2的坐标为(−10,−32)；
综上所述，在直线BC下方的抛物线上是存在点Q，使得△QBC为直角三角形，此时点Q的坐标为(−4,−5)或(−10,−32)．
【解析】(1)根据抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，并且经过点A(−2,0)，列出关于a、b的方程组，求出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；
(2)设P(p,−14p2+p+3).过点P作PM⊥BC于M，PN⊥x轴于N，交BC于D.利用待定系数法求出直线BC的解析式，用含p的代数式表示D点坐标，根据S△PBC=S△PDC+S△PBD，得出S△PBC=−34(p−3)2+274，利用二次函数的性质得出p=3时，△PBC的面积有最大值274，此时点P到直线BC的距离最大，即PM最大，进而求出点P的坐标；
(3)假设在直线BC下方的抛物线上存在点Q(x,−14x2+x+3)，使得△QBC为直角三角形，分两种情况进行讨论：①∠Q1CB=90°时；②∠Q2BC=90°时．分别根据勾股定理列出方程，求出x，进而得到点Q的坐标．
本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵OC=1，OB=3，
∴点C(1,0)，点B(0,3)，点A(1,3)，
∵反比例函数y=kx的图象过点A，
∴k=1×3=3；
(2)∵k=3，
∴反比例函数解析式为：y=3x，
设点P(a,3a)，
∵四边形PDCE是正方形，
∴PD=PE，
当点P在第一象限时，3a=a−1，
解得：a1=1+ 132，a2=1− 132(舍去)，
∴点P(1+ 132, 13−12)；
当点P在第三象限，−3a=1−a，
∴a1=1+ 132(舍去)，a2=1− 132，
∴点P(1− 132,−1− 132)；
综上，点P坐标为(1+ 132, 13−12)或(1− 132,−1− 132)；
(3)设点Q坐标为(b,3b)，
若AB为边，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14，
∴以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积=AB×|yA−yQ|=14，即1×|3−3b|=14，
解得：b1=−311，b2=317，
∴点Q(−311,−11)或(317,17)，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，
∴AB=QG=1，AB//QG，
∴点G(−1411,−11)或(811,−11)或(2017,17)或(−1417,17)；
综上，点G的坐标为(−1411,−11)或(811,−11)或(2017,17)或(−1417,17)．
【解析】(1)由OC=1、OB=3求出点A(1,3)，将点A的坐标代入反比例函数表达式即可求解；
(2)设点P(a,3a)，因为四边形PDCE是正方形，故PD=PE，则±3a=a−1，即可求解；
(3)由以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积=AB×|yA−yQ|=14，求出点Q的坐标，进而求解．
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，分类求解是本题解题的关键．
23.【答案】BD=CE
【解析】解：(1)∵AB=AC，点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAC+∠BAD=∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴BD=CE；
故答案为：BD=CE；
(2)此时(1)的结论不成立，BD与CE的数量关系为CE=kBD．
理由如下：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AD=12AB，AE=12AC，
∴ADAE=ABAC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．
∴CEBD=ACAB=k，
∴CE=kBD；
(3)∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADF=90°，
在Rt△ABD中，BD= AB2−AD2= 62−32=3 3，
由(2)知，△BAD∽△CAE，
∴∠AEC=∠ADB=90°，CEBD=ACAB=86=43，
∴CE=4 3，
又∵∠DAE=90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=3，
∴CF=CE−EF=4 3−3．
(1)根据题意易得AD=AE，然后可证△ACE≌△ABD，进而问题可求解；
(2)由题意易得ADAE=ABAC，∠BAD=∠CAE，然后可得△BAD∽△CAE，进而问题可求解；
(3)由题意易得∠ADB=∠ADF=90°，根据勾股定理可得BD=3 3，然后由(2)可求得CE=4 3，进而问题可求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质是解题的关键．
2023年山东省潍坊市青州市中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 16的平方根( )
A. 4 B. 2 C. ±4 D. ±2
2. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 2022年4月18日，国家统计局发布初步核算，一季度国内生产总值270178亿元，同比增长4.8%，经济运行总体平稳．其中270178亿用科学记数法(精确到千亿位)表示为( )
A. 2.7×1013 B. 2.70×1013 C. 27×1012 D. 0.270×1014
4. 如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E.若∠ECA=40°，则下列结论错误的是( )
A. ∠ABC=70° B. ∠BAD=80° C. CE=CD D. CE=AE
5. 某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是( )
A. 众数是8 B. 中位数是8 C. 平均数是8.2 D. 方差是1.2
6. 如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=4，AD=DC=BC=2，点P是AB上的一个动点，PQ⊥AB交四边形另一边于点Q.设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数关系图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）
7. 下列运算中，正确的是( )
A. a5−a3=a2 B. (x+2)2=x2+4
C. 13ab÷b23a=1b3 D. 1a−1−1a+1=2a2−1
8. 下列说法正确的是( )
A. 了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B. 随着实验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C. 一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差是2，则x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数是5，方差是4
D. “367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(−3,y1)，(0,n)，(−1,0)，(6,y2)，(4,n).下列说法正确的有( )
A. 5a=−c
B. 方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1，x2=5
C. y1
10. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A、C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接ED，FG，下列结论正确的是( )
A. ED⊥FG
B. DE=FG
C. FG的最小值为2 2
D. 若连接AG、DG得到的△AGD在运动过程中可能是等边三角形
三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
11. 等腰三角形的底边长为6，腰长是方程x2−8x+15=0的一个根，则该等腰三角形的周长为______ ．
12. 一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是______．
13. 图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积(图3阴影部分)为______ 平方英寸．
14. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1//B2C2//B3C3，则正方形A2023B2023C2023D2023的边长是______ ．
四、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
15. 计算：|2−tan60°|−(π−3.14)0+(−12)−2+12 12．
五、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题4.0分)
解不等式组：3(x−1)≥2x−5,①2x
城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，如图，已知距电线杆AB的水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=1：0.5，坝高CF为2m，在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰角为30°，DE之间是宽为2m的行人道，试问在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？(提示：在地面上，以点B为圆心，以AB为半径的圆形区域为危险区域)(参考数据： 3≈1.73)
18. (本小题12.0分)
从甲、乙两班各随机抽取10名学生(共20人)参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组(满分为100分)：A组：50≤x<60，B组：60≤x<70，C组：70≤x<80，D组：80≤x<90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
(1)根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩(取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩)；
(2)参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试，用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
(3)若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为x甲−=76，x乙−=76；样本方差为S甲2=80，S乙2=275.4.请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．
19. (本小题12.0分)
已知乒乓球桌的长度为274cm，某人从球桌边缘正上方高18cm处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．
(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y(单位：cm)与水平距离x(单位：cm)近似满足函数关系y=a(x−h1)2+k(a<0)．
乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
水平距离x/cm
0
40
80
120
160
竖直高度y/cm
18
42
50
42
18
(2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.005(x−h2)2+8.判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．
20. (本小题11.0分)
如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的两条弦，∠ABC=2∠A，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．
(1)求证：CE⊥DE；
(2)若tanA=13，BE=1，求CB的长．
21. (本小题13.0分)
如题22图，抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，并且经过点A(−2,0)，交x轴于另一点B，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；
(3)在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22. (本小题14.0分)
如图，四边形OBAC是矩形，OC=1，OB=3，反比例函数y=kx的图象过点A．
(1)求k的值．
(2)点P为反比例图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．
(3)点Q为反比例图象上的一点，点G为坐标平面上的一点，若以AB为一边，以A、B、Q、G为顶点的平行四边形的面积为14，请求出点G的坐标．
23. (本小题14.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE.将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)，连接BD并延长与直线CE交于点F．
(1)若AB=AC，将△ADE绕点A逆时针旋转至图2所示的位置，则线段BD与CE的数量关系是 ；
(2)若AC=kAB(k≠1)，将△ADE绕点A逆时针旋转，则(1)的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
(3)若AB=6，AC=8，将△ADE旋转至AD⊥BD时，请求出此时CF的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵42=16，
∴ 16=4，
∵(±2)2=4，
∴ 16的平方根为±2．
故选：D．
先根据算术平方根的定义化简 16，再根据平方根的定义进行求解．
本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，需要先求出 16，是易错题，需要注意．
2.【答案】A
【解析】解：这个组合体的左视图如下：
故选：A．
根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
本题考查了简单组合体的三视图，熟知从左边看到的图形是左视图是解答的关键．
3.【答案】B
【解析】解：270178亿
=2.70178×105×108
=2.70178×1013
≈2.70×1013，
故选：B．
将270178写成科学记数法a×10n(1≤a<10,n是正整数)的形式，再根据1亿=108用同底数幂的乘法化简，精确到千亿位即可得出答案．
本题考查了科学记数法与有效数字，掌握1亿=108是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵直线l1//l2，
∴∠ECA=∠CAB=40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA=AC=AD，
∴∠ABC=180°−40°2=70°，故A正确；
∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，
∴CB=CD，
则有△ACB≌△ACD(SSS)，
∴∠CAB=∠DAC=40°，
∴∠BAD=40°+40°=80°，故B正确；
∵∠ECA=40°，∠DAC=40°，
∴CE=AE，故D正确；
∵直线l1//l2，
∴∠CED=∠DAB=80°，而∠ADC=70°，
所以CE≠CD，则C选项错误，
故选：C．
根据平行线的性质得出∠CAB=40°，进而利用尺规作图的相关概念判断即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠CAB=40°解答．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】
解：由题图知，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，
所以中位数是12×(8+8)=8，故B选项正确；
平均数为110×(6+7×2+8×3+9×2+10×2)=8.2，故C选项正确；
方差为110×[(6−8.2)2+(7−8.2)2+(7−8.2)2+(8−8.2)2+(8−8.2)2+(8−8.2)2+(9−8.2)2+(9−8.2)2+(10−8.2)2+(10−8.2)2]=1.56，故D选项错误．
6.【答案】C
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，则DE//CF，
∵AB//CD，
∴DE=CF，EF=CD=2，
又AD=BC，
∴Rt△ADE=Rt△BCF(HL)，
∵AE=BF=12(AB−ER)=1，
∴DE= AD2−AE2= 3=CF，
①当0≤x<1时，
∵PQ⊥AB，DE⊥AB，
∴PQ//DE，
∴△APQ～△AEQ，
∴PQDE=APAE，即PQ 3=x1，
∴PQ= 3x，
∴y=12x⋅ 3x= 32x2；
②当1≤x<3，此时PQ=DE= 3，
∴y=12x⋅ 3= 32x；
③当3≤x≤4时，
同理可证△BPQ∽△BFC，
∴PQCF=BPBF，即PQ 3=4−x1，
∴PQ=− 3x+4 3，
∴y=12x⋅(− 3x+4 3)=− 32x2+2 3x，
综上y= 32x2(0≤x<1) 32x(1≤x<3)− 32x2+2 3x(3≤x≤4)．
故选：C．
分0≤x<1，1≤x<3，3≤x≤4三种情况讨论即可．
本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质等，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
7.【答案】CD
【解析】解：A、a5与a3不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式=x2+4x+4，故B不符合题意．
C、原式=13ab⋅3ab2=1b3，故C符合题意．
D、原式=(a+1)−(a−1)(a+1)(a−1)=a+1−a+1(a+1)(a−1)=2a2−1，故D符合题意．
故选：CD．
根据合并同类项，完全平方公式、分式的除法运算以及分式的加减运算法则即可求出答案．
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的混合运算法则．
8.【答案】ABD
【解析】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，说法正确，符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，说法正确，符合题意；
C、一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，方差是2，则新数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数是5，方差是2，说法错误，不符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，说法正确，符合题意；
故选：ABD．
分别根据全面调查与抽样调查、利用频率估计概率、方差的计算公式和随机事件的概念判断即可．
本题考查的是全面调查与抽样调查、利用频率估计概率、方差的计算公式和随机事件的概念，正确理解这些概念是关键．
9.【答案】ABD
【解析】解：∵a>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(0,n)，(4,n)，
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=0+42=2．
∴−b2a=2．
∴b=−4a．
∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0．
∴a−(−4a)+c=0．
∴5a+c=0．
∴5a=−c，
∴A的说法正确；
∵点(−3,y1)到直线x=2的距离大于点(6,y2)到直线x=2的距离，
∴y1>y2，
∴C的说法错误；
令y=0，则ax2+bx+c=0．
∵b=−4a，c=−5a，
∴ax2−4ax−5a=0．
∵a>0，
即x2−4x−5=0．
解得：x1=−1，x2=5，
∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=−1，x2=5．
∴B的说法正确；
∵y=ax2−4ax−5a=a(x−2)2−9a，a>0，
∴当x=2时，y有最小值为−9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥−9a．
∴D的说法正确．
故选：ABD．
利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将(−1,0)代入，可得c与a的关系，判定A正确；利用两点到对称轴的距离可判定C错误；令y=0解方程即可判定B正确；利用函数的最小值可判定D正确．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
10.【答案】ABC
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，∠BAD=∠ABC=90°，
在△BAE和△DAE中，
AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴DE=BE，∠ADE=∠ABE，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB=∠EGB=90°，
又∠ABC=90°，
∴四边形EFBG是矩形，
∴BE=FG，
∴DE=FG，
故②正确，符合题意；
∵四边形EFBG是矩形，
∴BE=FG，OF=OG，OE=OB，
∴OF=OG=OE=OB，
∴∠ABE=∠BFO，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠AMD=90°，
由①知∠ADE=∠ABE，
∴∠ABE=∠BFO，
∴∠BFO+∠AMD=90°，
即∠FHM=90°，
∴ED⊥FG，
故①正确，符合题意；
由②知BE=FG，
当BE⊥AC时，BE最短，
∵在正方形ABCD中，AB=4，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°，
由勾股定理得AC= AB2+BC2= 42+42=4 2，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BE，
∴4×4=4 2⋅BE，
∴BE=2 2，
即BE的最小值为2 2．
∴FG的最小值为2 2，
故③正确，符合题意；
∵E为对角线AC上与A、C不重合的一个动点，
∴AG>AB，DG>CD，
∵AD=AB=CD，
∴AG>AD，DG>AD，
∴△AGD在运动过程中不可能是等边三角形，
故错误，不符合题意；
故选：ABC．
先证△BAE和△DAE全等，得出DE=BE，再证四边形EFBG是矩形，得出BE=FG，于是有DE=FG，即可判断②正确；由矩形的性质得出∠ABE=∠BFO，
由△BAE和△DAE全等，得出∠ABE=∠ADE，再证∠ADE+∠AMD=90°，即可推出∠FHM=90°，即可判断①正确；由②知BE=FG，且当BE⊥AC时，BE最短，先利用勾股定理求出AC的长，再根据直角三角形的面积公式求出BE的长，即可得出FG的最小值2 2，即可判断③正确；由AG>AD，DG>AD，
推出△AGD在运动过程中不可能是等边三角形，故④错误．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，直角三角形的面积的求法，熟练掌握这些性质是解题的关键．
11.【答案】16
【解析】解：∵x2−8x+15=0，
∴(x−3)(x−5)=0，
则x−3=0或x−5=0，
解得x1=3，x2=5，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，
故答案为：16．
利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12.【答案】90°
【解析】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的4倍，
∴4πr2=πrR，
∴R=4r，
设圆心角为n，有n⋅π⋅R180=12πR，
∴n=90°．
故答案为90°．
根据圆锥的侧面积是底面积的4倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
13.【答案】(4π3− 3)
【解析】解：延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，
∵CD与MN成角为30°，CD//AB，
∴∠AHC=30°，
∵BE//MN，
∴∠ABE=30°，
∵OE=OB，
∴∠BOE=120°，
∵AB=4英寸，
∴OB=OE=2英寸，
在Rt△OBG中，OG=12OB=1，BG= 3，
∵OG⊥BE，
∴BE=2BG=2 3，
∴S△BEO=12×2 3×1= 3(平方英寸)，
∵S扇形OEB=120×π×22360=4π3(平方英寸)，
∴S阴影=(4π3− 3)平方英寸，
故答案为：(4π3− 3).
延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，根据平行线的性质可求∠OBE=30°，则∠BOE=120°，阴影部分的面积=扇形OBE的面积−△OBE的面积．
本题考查解直角三角形，扇形的面积，熟练掌握平行线的性质，扇形面积的求法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】( 33)2022
【解析】解：∵∠B1C1O=60°，∠B1C1D1=90°，
∴∠D1C1E1=30°，
∴D1E1=12C1D1=12，
∴B2E2=12，
∵B1C1//B2C2，
∴∠B1C1O=∠B2C2E2=60°，
∴B2C2=B2E2 3×2= 33，
∴正方形A2B2C2D2的边长为 33，
同理可求正方形A3B3C3D3的边长为( 33)2=13，…
∴正方形AnBnCnDn的边长为( 33)n−1，
∴正方形A2023B2023C2023D2023的边长是( 33)2022，
故答案为：( 33)2022．
利用正方形的性质，结合含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
15.【答案】解：原式
=|2− 3|−1+4+ 3，
=2− 3−1+4+ 3，
=5．
【解析】本题考查的知识点比较多：绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算的有关内容，熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
16.【答案】解：3(x−1)≥2x−5①2x
解不等式②，得x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1，
∴不等式组的整数解有−2、−1、0．
【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，进而判断其整数解．
17.【答案】解：如图，作CM⊥AB于点M，则MBFC为矩形．
∴BM=CF=2，BF=CM，
∵背水坡CD的坡度为i=1：0.5，
∴CFDF=10.5=21，
∴DF=12CF=1．
∴CM=BF=BD+DF=14+1=15(m)．
在Rt△AMC中，∵tan∠ACM=AMCM，
∴AM=CM⋅tan∠ACM=15⋅tan30°=15× 33=5 3(m)．
∴AB=AM+BM=5 3+2≈10.66(m)．
而BE=BD−DE=14−2=12(m)．
∴AB
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
18.【答案】解：(1)D组人数为：20×25%=5(人)，C组人数为：20−(2+4+5+3)=6(人)，
补充完整频数分布直方图如下：
估算参加测试的学生的平均成绩为：55×2+65×4+75×6+85×5+95×320=76.5(分)；
(2)把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，
∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为1216=34；
(3)∵样本方差为S甲2=80，S乙2=275.4，
∴S甲2
∴甲班的数学素养总体水平好．
【解析】(1)求出D组和C组的人数，补全频数分布直方图，再求出样本平均数即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，再由概率公式求解即可；
(3)由两班样本方差的大小作出判断即可．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)由表中数据可知，乒乓球竖直高度的最大值为50cm，h1=80，k=50；
∴y与x的函数关系式为y=a(x−80)2+50，
把(0,18)代入函数解析式得：18=a×802+50，
解得a=−0.05，
∴y与x的函数关系式为y=−0.05(x−80)2+50；
(2)令y=0，则−0.05(x−80)2+50=0，
解得x=180或x=−20(舍去)，
∴球第一次落在球桌面上的点为(180,0)，
把(180,0)代入y=−0.005(x−h2)2+8得：
−0.005(180−h2)2+8=0，
解得h2=140(舍去)或h2=220，
∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.005(x−220)2+8，
当y=0时，0=−0.005(x−220)2+8，
解得x=260或x=180(舍去)，
∵260<274，
∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上．
【解析】(1)由表中数据可知，乒乓球竖直高度的最大值，并得出抛物线的顶点坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
(2)先令(1)解析式中的y=0，解方程求出x的值，即为球第一次落地点的坐标，然后把坐标代入y=−0.005(x−h2)2+8求出h2，再令y=0，求出x的值与桌面总长比较即可．
本题考查二次函数的应用及一元二次方程的解法，关键是求出函数解析式．
20.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO，
∴∠BOD=∠A+∠ADO=2∠A，
又∵∠ABC=2∠A，
∴∠ABC=∠DOB，
∴OD//CE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴CE⊥DE；
(2)解：过点O作OF⊥BC于F，
∵∠ODE=90°，
∴∠ODB+∠BDE=90°，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠A=∠BDE，
∴tanA=tan∠BDE=BEDE=13，
∵BE=1，
∴DE=3，
∴BD= BE2+DE2= 12+32= 10，
∴AD=3 10，
∴AB= AD2+BD2=10，
∴OD=OB=5，
∵∠ODE=∠E=∠OFB=90°，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF=OD=5，
∴BF=EF−BE=5−1=4，
∵OF⊥BC，
∴BC=2BF=8．
【解析】(1)连接OD，证出∠ABC=∠DOB，由平行线的判定得出OD//CE，由切线的性质得出OD⊥DE，则可得出结论；
(2)过点O作OF⊥BC于F，证出∠A=∠BDE，得出tanA=tan∠BDE=BEDE=13，求出DE=3，由勾股定理求出BD的长，证出四边形ODEF为矩形，得出EF=OD=5，则可得出答案．
本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，并且经过点A(−2,0)，
∴−b2a=24a−2b+3=0，
解得a=−14b=1，
∴抛物线的解析式为y=−14x2+x+3；
(2)设P(p,−14p2+p+3)．
如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥x轴于N，交BC于D．
∵y=−14x2+x+3，
∴当x=0时，y=3，即C(0,3)，
当y=0时，−14x2+x+3=0，解得x1=−2，x2=6，即B(6,0)．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
则n=36m+n=0，
解得m=−12n=3，
∴直线BC的解析式为y=−12x+3．
∵PD⊥x轴，且D在BC上，
∴D(p,−12p+3)，
∴S△PBC=S△PDC+S△PBD
=12PD⋅ON+12PD⋅NB
=12PD⋅(ON+NB)
=12PD⋅OB
=12(−14p2+p+3+12p−3)×6
=−34p2+92p
=−34(p−3)2+274，
∴当p=3时，△PBC面积最大，最大值为274．
∵BC为定值，
∴△PBC面积最大时，点P到直线BC的距离最大，即PM最大．
∵B(6,0)，C(0,3)，
∴BC= 62+32=3 5，
∴S△PBC=12BC⋅PM=3 52PM=274，
∴PM=9 510，即点P到直线BC距离的最大值为9 510．
当p=3时，−14p2+p+3=154，
∴点P的坐标为(3,154)；
(3)如图，假设在直线BC下方的抛物线上存在点Q(x,−14x2+x+3)，使得△QBC为直角三角形，则x<0或x>6．
∵B(6,0)，C(0,3)，
∴BC2=62+32=45．
当△QBC为直角三角形时，分两种情况：
①如果∠Q1CB=90°时，那么Q1B2=BC2+Q1C2，
∴(x−6)2+(−14x2+x+3)2=45+x2+(−14x2+x)2，
解得x=0(舍去)，或x=−4，
当x=−4时，−14x2+x+3=−14×(−4)2+(−4)+3=−5，
∴点Q1的坐标为(−4,−5)；
②如果∠Q2BC=90°时，那么Q2C2=BC2+Q2B2，
∴x2+(−14x2+x)2=45+(x−6)2+(−14x2+x+3)2，
解得x=6(舍去)，或x=−10，
当x=−10时，−14x2+x+3=−14×(−10)2+(−10)+3=−32，
∴点Q2的坐标为(−10,−32)；
综上所述，在直线BC下方的抛物线上是存在点Q，使得△QBC为直角三角形，此时点Q的坐标为(−4,−5)或(−10,−32)．
【解析】(1)根据抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，并且经过点A(−2,0)，列出关于a、b的方程组，求出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；
(2)设P(p,−14p2+p+3).过点P作PM⊥BC于M，PN⊥x轴于N，交BC于D.利用待定系数法求出直线BC的解析式，用含p的代数式表示D点坐标，根据S△PBC=S△PDC+S△PBD，得出S△PBC=−34(p−3)2+274，利用二次函数的性质得出p=3时，△PBC的面积有最大值274，此时点P到直线BC的距离最大，即PM最大，进而求出点P的坐标；
(3)假设在直线BC下方的抛物线上存在点Q(x,−14x2+x+3)，使得△QBC为直角三角形，分两种情况进行讨论：①∠Q1CB=90°时；②∠Q2BC=90°时．分别根据勾股定理列出方程，求出x，进而得到点Q的坐标．
本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵OC=1，OB=3，
∴点C(1,0)，点B(0,3)，点A(1,3)，
∵反比例函数y=kx的图象过点A，
∴k=1×3=3；
(2)∵k=3，
∴反比例函数解析式为：y=3x，
设点P(a,3a)，
∵四边形PDCE是正方形，
∴PD=PE，
当点P在第一象限时，3a=a−1，
解得：a1=1+ 132，a2=1− 132(舍去)，
∴点P(1+ 132, 13−12)；
当点P在第三象限，−3a=1−a，
∴a1=1+ 132(舍去)，a2=1− 132，
∴点P(1− 132,−1− 132)；
综上，点P坐标为(1+ 132, 13−12)或(1− 132,−1− 132)；
(3)设点Q坐标为(b,3b)，
若AB为边，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14，
∴以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积=AB×|yA−yQ|=14，即1×|3−3b|=14，
解得：b1=−311，b2=317，
∴点Q(−311,−11)或(317,17)，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，
∴AB=QG=1，AB//QG，
∴点G(−1411,−11)或(811,−11)或(2017,17)或(−1417,17)；
综上，点G的坐标为(−1411,−11)或(811,−11)或(2017,17)或(−1417,17)．
【解析】(1)由OC=1、OB=3求出点A(1,3)，将点A的坐标代入反比例函数表达式即可求解；
(2)设点P(a,3a)，因为四边形PDCE是正方形，故PD=PE，则±3a=a−1，即可求解；
(3)由以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积=AB×|yA−yQ|=14，求出点Q的坐标，进而求解．
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，分类求解是本题解题的关键．
23.【答案】BD=CE
【解析】解：(1)∵AB=AC，点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAC+∠BAD=∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴BD=CE；
故答案为：BD=CE；
(2)此时(1)的结论不成立，BD与CE的数量关系为CE=kBD．
理由如下：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴AD=12AB，AE=12AC，
∴ADAE=ABAC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．
∴CEBD=ACAB=k，
∴CE=kBD；
(3)∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADF=90°，
在Rt△ABD中，BD= AB2−AD2= 62−32=3 3，
由(2)知，△BAD∽△CAE，
∴∠AEC=∠ADB=90°，CEBD=ACAB=86=43，
∴CE=4 3，
又∵∠DAE=90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=3，
∴CF=CE−EF=4 3−3．
(1)根据题意易得AD=AE，然后可证△ACE≌△ABD，进而问题可求解；
(2)由题意易得ADAE=ABAC，∠BAD=∠CAE，然后可得△BAD∽△CAE，进而问题可求解；
(3)由题意易得∠ADB=∠ADF=90°，根据勾股定理可得BD=3 3，然后由(2)可求得CE=4 3，进而问题可求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质是解题的关键．
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