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    北京市丰台区2022-2023学年高二数学下学期期中练习试题(B卷)(Word版附解析)

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    这是一份北京市丰台区2022-2023学年高二数学下学期期中练习试题(B卷)(Word版附解析),共13页。试卷主要包含了解答题共6小题,共85分等内容,欢迎下载使用。

    丰台区2022-2023学年度第二学期期中练习
    高二数学(B卷)练习时间:120分钟
    第一部分(选择题 共40分)
    一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
    1. ( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据基本初等函数的导数公式可得结果.
    【详解】.
    故选:A.
    2. 已知数列的首项,且满足,则( )
    A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由题可得数列为等差数列,即可得答案.
    【详解】由可知是以为首项,公差为2的等差数列,则.
    故选:C
    3. 设某质点的位移(单位:)与时间(单位:)的关系是,则质点在第时的瞬时速度等于( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用导数的定义可求得质点在第时的瞬时速度.
    【详解】质点在第时的瞬时速度为.
    故选:D.
    4. 已知函数在处有极值,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】函数在处有极值,则导函数在处的函数值等于0.
    【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意,
    故选:A
    5. 已知是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则该等比数列的公比为( )
    A. 4 B. 2 C. 1 D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据题意,由等比中项列出方程即可得到与的关系,从而得到结果.
    【详解】由题意可得,所以,且
    则,所以等比数列的公比为
    故选:B.
    6. 用数学归纳法证明“对任意的,”,第一步应该验证的等式是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案.
    【详解】因,则第一步应验证当时,是否成立.
    故选:B
    7. 已知函数,其导函数的部分图象如图,则对于函数的描述错误的是( )

    A. 在上单调递减
    B. 在上单调递增
    C. 为极值点
    D. 为极值点
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由导数图象正负性,零点情况可判断选项正误.
    【详解】A,因时,,则在上单调递减,故A正确;
    B,因时,,则在上单调递增,故B正确;
    C,由图可得在上单调递减,在上单调递增,故为极小值点,故C正确;
    D,由图可得在上单调递增,则不为极值点,故D错误.
    故选:D
    8. 若等差数列满足,,则当的前项和最小时,( )
    A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由等差数列的性质可得,,所以等差数列为递增数列,前项都为负数,从第项开始为正数,即可求出的前项和最小时的值.
    【详解】设等差数列的公差为,
    因,,
    所以,,
    所以,,所以,因为等差数列为递增数列,
    前项都为负数,从第项开始为正数,
    所以当时,的前项和最小.
    故选:B.
    9. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:如图,将、、、、填入的方格内,使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于.一般地,将连续的正整数、、、、填入个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为,如图三阶幻方的,那么的值为( )

    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】直接利用等差数列的求和公式可求出的值.
    【详解】根据任意,九阶幻方上所有的数字之和为,
    由于每行、每列和对角线上的数字之和相等,
    所以,九阶幻方对角线上的数字之和为.
    故选:C
    10. 若函数的图象与轴有且仅有一个交点,则实数的范围为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】令,分离参数,构造新函数,利用导数确定新函数的单调性和值域,画出新函数大致图象,即可得答案.
    【详解】令,解得.
    设.
    当时,,此时单调递增;
    当时,,此时单调递减.
    所以的最大值为.又,则新函数的大致图象如下,问题转化为新函数图象与直线有一个交点.
    所以当或时,与轴有且仅有一个交点.
    故选:D

    第二部分(非选择题 共110分)
    二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
    11. 已知函数,则________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由余弦函数导数公式结合复合函数求导法则可得答案.
    【详解】由题可得.
    故答案为:
    12. 设数列的前n项和为,则__.
    【答案】9
    【解析】
    【分析】由数列的前n项和公式求出的值,则,求出答案.
    【详解】在数列中,由得:,,
    ∴.
    故答案为:9.
    13. 如图,直线是曲线在点处的切线,则________.

    【答案】1
    【解析】
    【分析】根据极限的运算法则和导数的定义,即可求解.
    【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为,
    根据导数的定义,可得.
    故答案为:1.
    14. 等比数列满足如下条件:对于任意,有,.试写出满足上述条件的一个通项公式________.
    【答案】(首项和公比分别满足即可.)
    【解析】
    【分析】设数列首项为,公比为q,由题可得满足条件,即可得答案.
    【详解】设数列首项为,公比为q,由可得,由可得
    .又.
    故首项和公比分别满足即可.
    故答案为:(首项和公比分别满足即可.)
    15. 人的心率会因运动而变化,并且用的大小评价心率变化的快慢.已知运动员甲()、乙()在某次运动前后,心率随时间的变化情况如图所示(为定义域的四等分点),给出如下结论:

    ①在这段时间内,甲的心率变化比乙快;
    ②在时刻,甲的心率变化比乙快;
    ③在时刻,甲、乙的心率变化相同;
    ④乙在这段时间内的心率变化,比甲在这段时间内的心率变化快.
    其中,所有正确结论的序号是________.
    【答案】①②③
    【解析】
    【分析】观察图象,割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢,切线斜率的绝对值大小表示某点处的心率变化快慢,对选项一一判断即可.
    【详解】对于①,在这段时间内,图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大,所以甲的心率变化比乙快,故①正确:
    对于②,图象切线斜率的绝对值比图象切线斜率的绝对值大,甲的心率变化比乙快,故②正确;
    对于③,在时刻,图象切线斜率和图象切线斜率相同,
    所以甲、乙的心率变化相同,故③正确;
    对于④,乙(虚线)在这段时间的割线斜率小于甲(实线)在这段时间的割线斜率的绝对值,故④错误.
    故选:①②③
    三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
    16. 已知函数.
    (1)求函数的单调区间;
    (2)求函数的极值.
    【答案】(1)单调增区间为和,单调减区间为
    (2)极大值16,极小值
    【解析】
    【分析】(1)对求导,利用导数与单调性的关系即可求解;
    (2)根据函数的单调性,求出函数的极值即可.
    【小问1详解】
    函数的定义域为,导函数,
    令,解得,
    则,随的变化情况如下表:




    2



    0

    0



    取极大值

    取极小值

    故函数的单调增区间为和,单调减区间为;
    【小问2详解】
    由小问1知,当时,函数取得极大值16;
    当时,函数取得极小值.
    17. 已知是各项均为正数的等差数列,其前项和为,且.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,解答下列问题:
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设数列满足,求的前项和.
    条件①:;条件②:;条件③:.
    注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分。
    【答案】(1)条件选择见解析,
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)设数列公差为d,若选①,则;若选②,则;若选③,则;(2)由分组求和法可得答案.
    【小问1详解】
    设数列公差为d.
    选条件①:由已知得,所以.
    选条件②:由已知得,
    化简得,所以(由于各项为正数,负根舍去).
    选条件③:由已知得,所以.
    所以数列的通项公式为.
    【小问2详解】
    由(1)得.

    18. 已知函数,其中为常数,且.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)求函数的单调区间;
    (3)若函数在上单调递减,请直接写出一个满足条件的值.
    【答案】(1)
    (2)答案见解析 (3)(答案不唯一)
    【解析】
    【分析】(1)对函数求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求解切线方程;
    (2)对函数求导,分和两种情况讨论函数的单调性即可;
    (3)结合(2)的结论,要使函数在上单调递减,则,任取一个值即可.
    【小问1详解】
    当时,函数.
    令,得,即切点坐标.
    导函数.
    令,得,即切线斜率.
    故切线方程为,即.
    【小问2详解】
    函数的定义域为.
    导函数.
    讨论:①当时,恒成立,故函数的单调增区间为.
    ②当时,令,解得.






    0





    所以函数的单调增区间为,单调减区间为.
    综上所述,当时,函数的单调增区间为;
    当时,函数的单调增区间为,单调减区间为.
    【小问3详解】
    结合(2)的结论可知,,
    要使函数在上单调递减,则有,解得,
    任取一个值,比如.
    19. 已知数列满足,且.
    (1)设数列满足,证明:是等比数列;
    (2)求数列的通项公式.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据题意,表示出与的关系式,计算得,根据等比数列的定义可证明数列是等比数列;(2)根据等比数列的通项公式写出数列的通项,从而可得数列的通项公式.
    【小问1详解】

    ,,

    因为,故,.
    是首项,公比的等比数列.
    【小问2详解】
    由(1)知,,又,
    所以,所以.
    故数列的通项公式为.
    20. 已知两地的距离是100 km.根据交通法规,两地之间的公路车速应限制在 km/h,油价为8元/L.假设汽车以x km/h的速度行驶时,耗油率为 L/h,司机的人工费为40元/h.
    (1)请将总费用表示为车速x的函数;
    (2)试确定x的值,使总费用最小.
    【答案】(1)()
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据题中给出的车速和油耗之间的关系式,结合已知条件,即可表示出汽车的总费用;
    (2)对求导,讨论与的大小,即可得出的单调性,进而得出答案.
    【小问1详解】
    汽车的运行时间为 h.
    汽车的油耗费用为元.
    汽车的总费用为元().
    小问2详解】
    函数的导函数为,
    令,解得.
    当时,,函数单调递减;
    当时,,函数单调递增.
    故当时,总费用最小.
    21. 定义“三角形数”:对于给定的正整数,若存在正整数,使得,则称是“三角形数”;否则,不是“三角形数”.
    已知数列满足,且.
    (1)写出的值;
    (2)证明:当且仅当是“三角形数”时,是正整数;
    (3)证明:数列的通项公式为,其中表示不超过的最大整数,如,,.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析 (3)证明见解析
    【解析】
    分析】(1)分别代入计算即可;
    (2)根据三角形数界定范围求解计算可得;
    (3)分类讨论是否是三角形数分别证明即可.
    【小问1详解】

    【小问2详解】
    若是“三角形数”,则存在,使得,
    故是正整数.
    若不是“三角形数”,则介于两个相邻“三角形数”之间,
    即存在,使得,
    由之前的计算可知,,即不是正整数.
    综上,命题得证.
    【小问3详解】
    只要做验证性证明即可,即若通项公式可推导出递推公式,则通项公式正确.
    当时,,满足初值条件.




    设,,其中.
    当是“三角形数”时,,.
    当不是“三角形数”时,由(2)知存在,使得
    ,且,
    故.
    又,,
    故.
    因此,当是“三角形数”时,;
    当不是“三角形数”时,.
    综上所述,数列的通项公式为.


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