高中数学学考复习第20讲空间直线、平面的垂直课件

这是一份高中数学学考复习第20讲空间直线、平面的垂直课件，共35页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，考点三，答案A，答案B，空间中的距离等内容，欢迎下载使用。

1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的概念
(2)直线与平面垂直的判定定理
(3)直线与平面垂直的性质定理
(4)点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫作这个点到该平面的垂线段,该垂线段的长叫作这个点到该平面的距离.
2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理
(3)平面与平面垂直的性质定理
3.空间中的角(1)异面直线所成的角①定义:已知两条异面直线a,b经过空间任一点O分别作直线 a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)直线与平面所成的角①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面的所成角.规定:若直线与平面垂直,则直线与平面所成的角是直角;若直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0.
(3)二面角①定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.②二面角的平面角:如图,若O∈l,OA⊂α,OB⊂β,且满足OA⊥l,OB⊥l,则射线OA,OB所成的角∠AOB叫作二面角α-l-β的平面角.③二面角的平面角θ的取值范围是[0,π].
空间中的垂直◆角度1.垂直的判断例1(1)在空间中,设α,β表示平面,m,n表示直线.则下列命题正确的是(　　)A.若m∥n,n⊥α,则m⊥αB.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βC.若m上有无数个点不在α内,则m∥αD.若m∥α,那么m与α内的任何直线平行
(2)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,则直线SA与直线BC的位置关系是(　　)A.相交B.平行C.异面且垂直D.异面但不垂直
(3)(2021年7月浙江学考)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1,点E是棱CC1的中点,AE⊥平面B1D1C,则(　　)A.AB∶AD∶AA1=1∶1∶2B.AB∶AD∶AA1=1∶2∶2
答案 (1)A　(2)C　(3)C　
解析 (1)A正确;对于B,m不垂直α,β交线时,m不垂直β,故B不正确;对于C,m与α相交时,m上也有无数个点不在α内,故C不正确;对于D,m∥α时,m与α内的直线可以平行或异面,故D不正确.故选A.(2)∵SA⊥AB,SA⊥AC,∴SA⊥平面ABC,∵BC⊂平面ABC,∴SA⊥BC,故选C.(3)∵AE⊥平面B1D1C,∴AE⊥B1D1,∴AE⊥BD,BD垂直AE在底面ABCD上的投影AC,∴AB∶AD=1∶1.同理可知,B1C垂直AE在平面BCC1B1上的投影BE,可得△BCE∽△B1BC,
判断空间中的垂直关系时,通常可以用垂直的判定和性质定理来说明,或者通过举反例的方法排除错误选项,从而得到正确结论.
◆角度2.垂直的证明例2如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠CAA1=∠A1AB=∠BAC=90°,AB=AA1.求证:A1B⊥平面AB1C.
证明 ∵∠CAA1=∠BAC=90°,∴CA⊥AA1,CA⊥AB,又AA1,AB⊂平面ABB1A1,且AA1∩AB=A,∴CA⊥平面ABB1A1.∵A1B⊂平面ABB1A1,∴CA⊥A1B.∵∠A1AB=90°且AB=AA1,∴A1B⊥AB1.又CA,AB1⊂平面AB1C,且CA∩AB1=A,∴A1B⊥平面AB1C.
证明空间中的垂直关系时,首先要熟悉垂直的判定和性质定理,在证明时,通常可以从结论出发,通过分析法得到需要证明垂直关系,从而得到证明的思路.
空间中的角◆角度1.空间异面直线所成角例3(2021年1月浙江学考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱C1D1,A1D1的中点,则异面直线DE与AF所成角的余弦值是(　　)
解析 取A1B1中点N,连接NE,NF,NA,∵E,N分别是C1D1,A1B1的中点,∴EN∥A1D1,且EN=A1D1,∵在立方体中,AD∥A1D1,且AD=A1D1,∴EN∥AD,且EN=AD,∴四边形ANED为平行四边形,∴AN∥DE,∴∠FAN即为异面直线DE与AF所成角(或其补角).
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决.
◆角度2.空间中直线与平面所成角例4(1)(2020年7月浙江学考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,BC=BB1=1,则直线A1B与平面A1B1CD所成角的正弦值是　　　　　. 
(2)(2020年1月浙江学考)在中国古代数学著作《九章算术》中,鳖臑(biē nà)是指四个面都是直角三角形的四面体.如图,在直角三角形ABC中,AD为斜边BC上的高,AB=3,AC=4,现将△ABD沿AD翻折得到△AB'D,使得四面体AB'CD为一个鳖臑,则直线B'D与平面ADC所成角的余弦值是　　　　　. 
解析 (1)如图,连接BC1,交CB1于K,连接A1K,由题可知,A1B1⊥平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1,又四边形BB1C1C是正方形,∴BC1⊥CB1,又A1B1∩CB1=B1,∴BC1⊥平面CB1A1D,∴∠BA1K即为直线A1B与平面A1B1CD所成的角,
(2)作B'M⊥CD交CD于M,∵AD⊥CD,AD⊥DB',且CD∩DB'=D,∴AD⊥平面DB'C,∵AD⊂平面ACD,∴平面ACD⊥平面DB'C.又平面ACD∩平面DB'C=DC,且B'M⊥CD,∴B'M⊥平面ACD,∴∠B'DM即为B'D与平面ADC所成的角,∵在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,
要使得四面体AB'CD为一个鳖臑,则需满足DB'⊥B'C,在Rt△B'DC中,
求线面角的步骤:①作,作(或找)出斜线在平面内的射影;②证,证明某平面角就是斜线与平面所成的角;③求,通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
◆角度3.二面角例5如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若PA=AB=2,AC=BC,则二面角P-AC-B大小的正切值是(　　)
解析 过点O作OD⊥AC交AC于点D,连接PD,∵PO⊥平面ABC,可知PD⊥AC,∴∠PDO即为二面角P-AC-B的平面角.∵PA=AB=2,AC=BC,
寻找二面角的平面角的方法(1)定义法:在二面角的棱上任找一点,以此点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,两射线所成的小于或等于180°的角.(2)垂线法:过一个平面内一点A作另一个平面的垂线,垂足为B,过垂足B作二面角的棱的垂线,垂足为O,连接AO,∠AOB即为二面角的平面角.(3)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面相交,得到两条交线,这两条交线形成的角即为二面角的平面角.
解析 如图,∠POQ为二面角α-l-β的平面角,故∠POQ=60°,由于l⊥平面POQ,所以平面POQ⊥平面α,过点Q作QH⊥PO于点H,则QH⊥α,所以Q到平面α的距离为QH,又因为QH= ,故选B.