重难点突破08 证明不等式问题（十三大题型）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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重难点突破08 证明不等式问题
目录


利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形

题型一：直接法
例1．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；
(2)求证：当时，．（其中）




例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.




例3．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：，．




题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．
(1)证明：；
(2)讨论的单调性，并证明：当时，．




例5．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：当时，．




例6．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．




变式1．已知函数．
（1）证明：；
（2）数列满足：，．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：，．




变式2．讨论函数的单调性，并证明当时，．




题型三：分析法
例7．已知函数，已知是函数的极值点．
（1）求；
（2）设函数．证明：．




例8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线;
(2)若，证明当时，.




例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．




变式3．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．




题型四：凹凸反转、拆分函数
例10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立.




例11．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，．
(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：．




例12．已知函数．
（Ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，为的导函数，证明：当时，．




变式4．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：．




题型五：对数单身狗，指数找朋友
例13．已知函数．
（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）当时，求证．




例14．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）当且时．求证：．




例15．已知二次函数对任意实数都满足，且（1），令．
（1）求的表达式；
（2）设，．证明：对任意，，，恒有．




变式5．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图象过点，求证：．




变式6．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．




题型六：放缩法
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．




例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数 （，为自然对数的底数）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.




例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意的，当时，．




变式7．已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，．




变式8．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）解关于的不等式




题型七：虚设零点
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．




例20．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.




例21．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：．




变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．当时，证明：．




变式10．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，.




题型八：同构法
例22．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．




例23．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．




例24．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．




变式11．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明不等式．




题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例25．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式：．




例26．（2023·全国·高三专题练习）证明：




例27．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示）
(1)求的通项公式.
(2)求证：对任意的，，都有.




变式12．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数a的值；
(2)已知且，求证：.




变式13．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．




变式14．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．





题型十：分段分析法、主元法、估算法
例28．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的导函数的单调性；
（2）若，求证：对，恒成立．




例29．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，且时，．




例30．若定义在上的函数满足，，．
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．




变式15．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，，．




题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
例31．已知函数
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，，求证：．

例32．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）证明：；
（3）若函数有两个零点，，证明．

例33．设函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．

题型十二：函数与数列不等式问题
例34．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)已知且，求证：.




例35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.




例36．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数.
(1)是的导函数，求的最小值；
(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）




变式16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)对任意的，求证：.




变式17．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，证明：.




题型十三：三角函数
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．当，时，求证：．




例38．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)当时，证明：.




例39．已知函数在，（1）处的切线为．
（1）求的单调区间与最小值；
（2）求证：．