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2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知8x+1<7x，则下列变形正确的是( )
A. 15x<−1 B. x<1 C. x<−1 D. x>−1
2. 如图图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A. a2+4a−21=a(a+4)−21 B. a2+4a−21=(a−3)(a+7)
C. (a−3)(a+7)=a2+4a−21 D. a2+4a−21=(a+2)2−25
4. 把2x(a−b)−4y(b−a)分解因式，其结果是( )
A. (a−b)(2x−4y) B. (a−b)(2x+4y) C. 2(a−b)(x−2y) D. 2(a−b)(x+2y)
5. 多项式−4a2b2+12a2b2−8a3b2c的公因式是( )
A. −4a2b2c B. −a2b2 C. −4a2b2 D. −4a3b2c
6. 已知关于x的方程ax−2=1−x2−x−3的解是0，则a的值为( )
A. −2 B. −4 C. 5 D. −5
7. “五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为( )
A. 180x−180x+2=3 B. 180x+2−180x=3 C. 180x−180x−2=3 D. 180x−2−180x=3
8. 平行四边形ABCD中，若∠A=50°，则∠B的度数为( )
A. 40° B. 50° C. 120° D. 130°
9. 如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，AD=8，BE=3，则▱ABCD的周长是( )
A. 11 B. 13 C. 22 D. 26
10. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°，AD=2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②OD=AB；③S平行四边形ABCD=AC⋅CD；④S四边形OECD=32S△AOD：⑤OE=14AD.其中成立的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是 ．
12. 在平面直角坐标系中，如果点M(−1,a−1)在第三象限，那么a的取值范围是______ ．
13. 如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为______ ．
14. 若一个正多边形的一个内角是156°，则这个正多边形的边数是______ ．
15. 若x2−(m+2)x+16可以用完全平方式来分解因式，则m的值为______ ．
16. 已知x，y，z满足x2=y3=z4，则分式x+zy的值为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E.求证：△ACD≌△AED．
18. (本小题8.0分)
因式分解：
(1)2x2−18；
(2)3x2−12xy+12y2；
(3)9x2(a−b)+16y2(b−a)；
(4)(y2−1)2−6(y2−1)+9．
19. (本小题6.0分)
已知m+n=4，mn=−1，求下列各式的值．
(1)m2n+mn2
(2)m2+n2．
20. (本小题6.0分)
分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为(x+6)(x−1)，乙看错了b的值，分解结果为(x−2)(x+1)．
(1)求a，b的值；
(2)把x2+ax+b分解因式．
21. (本小题4.0分)
化简求值：(xx−2−1x−2)÷x2−xx2−4，其中x=−3．
22. (本小题6.0分)
解下列方程：
(1)2x+1+1=xx−1；
(2)x2x−3+53−2x=4．
23. (本小题6.0分)
为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球.已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．
(1)求两种足球的单价；
(2)为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？
24. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F．
(1)求证：AB=AE；
(2)求证：BE//DF．
25. (本小题6.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF//BD交BE的延长线于点F，连接DF.求证：四边形AODF是平行四边形．
26. (本小题6.0分)
阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：83=6+23=2+23=223.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如x−1x+1,x2x−1，这样的分式就是假分式；再如：3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)，如：x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1．
解决下列问题：
(1)分式13x2是______ (填“真分式”或“假分式”)；
(2)将假分式4a+12a−1化为整式与真分式的和的形式：4a+12a−1= ______ .若假分式4a+12a−1的值为正整数，则整数a的值为______ ；
(3)将假分式x2−2x−1x−1化为带分式(写出完整过程)．
27. (本小题6.0分)
平行四边形ABCD中，点C关于AD的对称点为E，连接DE，BE，BE交AD于点F．
(1)如图1，若∠ADC=90°，试说明点F为BE的中点；
(2)如图2，若∠ABC=α(0°<α<90°)．
①试判断点F是否为BE的中点？并说明理由；
②若∠ABC=45°，延长BA，DE交于点H，求DFBH的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵8x+1<7x，
∴8x−7x<−1，
∴x<−1；
故选：C．
先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可得到答案．
本题考查的是不等式的解法，熟练的解一元一次不等式是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．
【解答】
解；A、a2+4a−21=a(a+4)−21，不是因式分解，故A选项错误；
B、a2+4a−21=(a−3)(a+7)，是因式分解，故B选项正确；
C、(a−3)(a+7)=a2+4a−21，不是因式分解，故C选项错误；
D、a2+4a−21=(a+2)2−25，不是因式分解，故D选项错误；
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：因为2x(a−b)−4y(b−a)
=2x(a−b)+4y(a−b)
=2(a−b)(x+2y)．
故选：D．
先利用相反数的定义，变形(b−a)为−(a−b)，再提取公因式，
本题考查了整式的因式分解，掌握相反数的意义和提公因式法是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：多项式−4a2b2+12a2b2−8a3b2c的公因式是−4a2b2．
故选：C．
根据确定多项式各项公因式的方法，①定系数，即确定各项系数的最大公约数②定字母，即确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数最低次幂，确定公因式即可．
本题考查了确定公因式的方法，掌握确定公因式的方法是关键．
6.【答案】C
【解析】解：原分式方程去分母得：a=x−1−3(x−2)，
∵关于x的方程ax−2=1−x2−x−3的解是0，
将x=0代入a=x−1−3(x−2)中得a=5，
故选：C．
将原分式方程去分母转化为整式方程，然后将x=0代入计算即可．
本题考查了分式方程的解，熟知分式方程的解即为能使分式方程成立的未知数的值是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得：180x−180x+2=3．
故选：A．
设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：180x+2元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来多摊了3元车费即可得到等量关系．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=50°，
∴∠B=130°．
故选：D．
根据平行四边形的性质可得AD//BC，再根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用．
9.【答案】D
【解析】解：∵在▱ABCD中，AD=8，
∴BC=AD=8，AD//BC，
∴CE=BC−BE=8−3=5，∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE=5，
∴▱ABCD的周长是：2(AD+CD)=2(8+5)=26．
故选：D．
先由▱ABCD中，AD=8，BE=3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△CED是等腰三角形是解此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，AO=CO，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵BC=AD=2AB，
∴EC=AE=BE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO>AB，
∴OD>AB，故②错误；
∴S▱ABCD=AB⋅AC=AC⋅CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD=1：4，
∴S四边形OECD=32S△AOD，故④正确．
∵AO=OC，BE=EC，
∴AB=2OE，
∵AD=2AB，
∴OE=14AD，故⑤正确，
故选：D．
结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由BC=AD=2AB，可判断①，证明∠BAC=90°，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④，由三角形中位线定理可求AB=2OE，即可判断⑤，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】
【分析】
本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解．
【解答】
解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3，
即点D到AB的距离DE=3．
故答案为：3．
12.【答案】a<1
【解析】解：∵点M(−1,a−1)在第三象限，
∴a−1<0，
∴a<1，
故答案为a<1
利用各个象限点的特点，第三象限，纵坐标和横坐标都小于零列出不等式求解即可．
此题是解一元一次不等式，主要考查了象限点的特点求解，解本题的关键是掌握象限点的特点，是中考常考的常规题．
13.【答案】22cm
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴CF=AD=3cm，AC=DF，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+BC+AC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=AB+BC+AC+CF+AD
=16+3+3
=22(cm)．
故答案为：22cm．
先根据平移的性质得到CF=AD=2cm，AC=DF，而AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
14.【答案】15
【解析】解：设这个正多边形的边数为n，
∴这个正多边形的一个内角的度数为：(n−2)180°n，
又∵正多边形的一个内角是156°，
∴(n−2)180n=156，
解得：n=15．
检验后知道：n=15是原方程的根．
∴这个正多边形的边数15．
故答案为：15．
设这个正多边形的边数为n，根据正多边形的每个内角(n−2)180°n，据此得(n−2)⋅180n=156，解此方程求出n即可．
此题主要考查了正多边形的性质，解答此题的关键是理解正n边形的n条边都相等，n个内角都相等，正n边形的内角和为(n−2)180°，每个内角的度数为(n−2)180°n．
15.【答案】6或−10
【解析】解：∵x2−(m+2)x+16=(x±4)2
∴−(m+2)x=±2×x×4=±8x
∴m+2=±8
解得：m=6或m=−10，
故答案为：6或−10．
根据完全平方式：a2±2ab+b2，可得出答案．
本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
16.【答案】2
【解析】解：设x2=y3=z4=k(k为实数)．
∴x=2k，y=3k，z=4k．
∴x+zy=2k+4k3k=6k3k=2．
故答案为：2．
设x2=y3=z4=k(k为实数)，得x=2k，y=3k，z=4k，从而代入分式求值．
本题主要考查比例的性质、分式的值，熟练掌握比例的性质、求分式的值是解决本题的关键．
17.【答案】证明：∵∠C=90°，
∴AC⊥DC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=AD DC=DE ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
【解析】根据角平分线的性质得到DC=DE，利用HL即可证明Rt△ACD≌Rt△AED．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定，熟记各性质并能熟练运用是解题的关键．
18.【答案】解：(1)2x2−18
=2(x2−9)
=2(x−3)(x+3)；
(2)3x2−12xy+12y2
=3(x2−4xy+4y2)
=3(x−2y)2；
(3)9x2(a−b)+16y2(b−a)
=(a−b)(9x2−16y2)
=(a−b)(3x−4y)(3x+4y)；
(4)(y2−1)2−6(y2−1)+9
=[(y2−1)−3]2
=(y2−4)2
=(y−2)2(y+2)2．
【解析】(1)先提公因式，再用公式法因式分解即可；
(2)先提公因式，再用公式法因式分解即可；
(3)先提公因式，再用公式法因式分解即可；
(4)先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)m2n+mn2=mn(m+n)=(−1)×4=−4．
(2)∵(m+n)2=m2+n2+2mn，
∴m2+n2=(m+n)2−2mn=42−2×(−1)=18．
【解析】(1)将m2n+mn2因式分解得m2n+mn2=mn(m+n)，代入m+n=4，mn=−1即可；
(2)由完全平方公式(m+n)2=m2+n2+2mn得m2+n2=(m+n)2−2mn，代入m+n=4，mn=−1即可．
这道题比较基础，考查了因式分解、完全平方公式和计算能力．
20.【答案】解：(1)因为(x+6)(x−1)=x2+5x−6，
(x−2)(x+1)=x2−x−2，
由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b=−6，
乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a=−1，
∴a=−1，b=−6；
(2)多项式x2+ax+b=x2−x−6=(x−3)(x+2)．
【解析】(1)直接利用多项式乘多项式运算法则化简，进而得出a，b的值，即可得出答案；
(2)直接利用(1)中所求，进而利用十字相乘法分解因式得出答案．
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用十字相乘法分解因式是解题关键．
21.【答案】解：原式=x−1x−2⋅(x+2)(x−2)x(x−1)
=x+2x，
当x=−3时，原式=−3+2−3=13．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)2x+1+1=xx−1
方程的两边同乘(x+1)(x−1)，得2(x−1)+(x+1)(x−1)=x(x+1)，
去括号得，2x−2+x2−1=x2+x，
移项，合并同类项得，x=3，
解得x=3．
检验：把x=3代入(x+1)(x−1)=8≠0．
∴原方程的解为x=3．
(2)x2x−3+53−2x=4
方程两边同时乘(2x−3)，得x−5=4(2x−3)，
解方程，得x=1．
检验：当x=1时，2x−3=−1≠0，
∴原分式方程的解是x=1．
【解析】(1)根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可；
(2)根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23.【答案】解：(1)设甲种足球的单价是x元，则乙种足球的单价是(x+30)元，
根据题意得：2500x=2000x+30×2，
解得：x=50，
经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=50+30=80．
答：甲种足球的单价是50元，乙种足球的单价是80元；
(2)设学校购买乙种足球y个，则购买甲种足球(50−y)个，
根据题意得：50(50−y)+80y≤3000，
解得：y≤503，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为16．
答：学校至多购买乙种足球16个．
【解析】(1)设甲种足球的单价是x元，则乙种足球的单价是(x+30)元，利用数量=总价÷单价，结合用2500元购买甲种足球的数量是用2000元购买乙种足球的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲种足球的单价，再将其代入(x+30)中，可求出乙种足球的单价；
(2)设学校购买乙种足球y个，则购买甲种足球(50−y)个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，AD//CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC，∠CDF=12∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∠A=∠CAB=CD∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，
∴ED=BF，
∵ED//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠ABE=∠AEB，进而解答即可；
(2)由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=CB，AD//CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，证出∠ABE=∠CDF，由ASA即可得出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定和性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
25.【答案】证明：∵AF//BD，
∴∠EAF=∠EOB，∠AFE=∠EBO，
又∵点E为AO的中点，
∴AE=OE，
在△AEF和△OEB中，
∠EAF=∠EOB∠AFE=∠EBOAE=OE，
∴△AEF≌△OEB(AAS)，
∴AF=OB，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴AF=OD，
又∵AF//BD，
∴四边形AODF是平行四边形．
【解析】证△AEF≌△OEB(AAS)，得AF=OB，再由平行四边形的性质得OB=OD，则AF=OD，然后由AF//BD，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△AEF≌△OEB是解题的关键．
26.【答案】真分式 2+32a−1 1，0，2，−1
【解析】解：(1)由题意得：分式13x2是真分式，
故答案为：真分式；
(2)4a+12a−1=4a−2+32a−1=2+32a−1，
当2+32a−1的值为正整数时，
2a−1=1或±3，
∴a=1，2，−1；
故答案为：2+32a−1；1，2，−1；
(3)原式=x2−2x+1−2x−1=(x−1)2−2x−1=x−1−2x−1．
(1)根据定义即可求出答案；
(2)根据定义进行化简，然后根据题意列出方程即可求出a的值；
(3)先化为x2−2x+1−2x−1=(x−1)2−2x−1，再计算即可．
本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．
27.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵C，E关于AD对称，
∴DE=CD，EC⊥AD，
∴AB=DE，
∵AD⊥CD，
∴C，D，E共线，
∴AB//CE，
∴∠A=∠ADE，
∵AB=DE，∠AFB=∠EFD，
∴△AFB≌△DFE(AAS)，
∴BF=EF，
∴点F为BE的中点；
(2)①点F是BE的中点．理由如下：
如图2中，连接CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EFD=∠EBC，∠DFC=∠FCB，
∵E，C关于AD对称，
∴FE=FC，FO⊥EC，
∴∠EFD=∠DFC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∴BF=EF．
②如图3中，设OD=a，OF=b．
∵∠ABC=45°，AD//BC，
∴∠HAD=∠ABC=45°，
∵E，C关于AD对称，
∴∠CDA=∠ADH=45°，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∵∠DOC=90°，∠ODC=45°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴AB=CD= 2OD= 2a，
∵EF=FB，EO=OC，
∴BC=AD=2b，
∴AH= 2b，
∴BH= 2a+ 2b= 2(a+b)，DF=a+b，
∴BH= 2DF，
∴DFBH= 22．
【解析】(1)只要证明△AFB≌△DFE(AAS)即可解决问题；
(2)①点F是BE的中点．只要证明∠FBC=∠FCB即可解决问题；
②如图3中，设OD=a，OF=b.想办法用a，b表示BH，DF即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知8x+1<7x，则下列变形正确的是( )
A. 15x<−1 B. x<1 C. x<−1 D. x>−1
2. 如图图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A. a2+4a−21=a(a+4)−21 B. a2+4a−21=(a−3)(a+7)
C. (a−3)(a+7)=a2+4a−21 D. a2+4a−21=(a+2)2−25
4. 把2x(a−b)−4y(b−a)分解因式，其结果是( )
A. (a−b)(2x−4y) B. (a−b)(2x+4y) C. 2(a−b)(x−2y) D. 2(a−b)(x+2y)
5. 多项式−4a2b2+12a2b2−8a3b2c的公因式是( )
A. −4a2b2c B. −a2b2 C. −4a2b2 D. −4a3b2c
6. 已知关于x的方程ax−2=1−x2−x−3的解是0，则a的值为( )
A. −2 B. −4 C. 5 D. −5
7. “五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为( )
A. 180x−180x+2=3 B. 180x+2−180x=3 C. 180x−180x−2=3 D. 180x−2−180x=3
8. 平行四边形ABCD中，若∠A=50°，则∠B的度数为( )
A. 40° B. 50° C. 120° D. 130°
9. 如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，AD=8，BE=3，则▱ABCD的周长是( )
A. 11 B. 13 C. 22 D. 26
10. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°，AD=2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②OD=AB；③S平行四边形ABCD=AC⋅CD；④S四边形OECD=32S△AOD：⑤OE=14AD.其中成立的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是 ．
12. 在平面直角坐标系中，如果点M(−1,a−1)在第三象限，那么a的取值范围是______ ．
13. 如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为______ ．
14. 若一个正多边形的一个内角是156°，则这个正多边形的边数是______ ．
15. 若x2−(m+2)x+16可以用完全平方式来分解因式，则m的值为______ ．
16. 已知x，y，z满足x2=y3=z4，则分式x+zy的值为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E.求证：△ACD≌△AED．
18. (本小题8.0分)
因式分解：
(1)2x2−18；
(2)3x2−12xy+12y2；
(3)9x2(a−b)+16y2(b−a)；
(4)(y2−1)2−6(y2−1)+9．
19. (本小题6.0分)
已知m+n=4，mn=−1，求下列各式的值．
(1)m2n+mn2
(2)m2+n2．
20. (本小题6.0分)
分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为(x+6)(x−1)，乙看错了b的值，分解结果为(x−2)(x+1)．
(1)求a，b的值；
(2)把x2+ax+b分解因式．
21. (本小题4.0分)
化简求值：(xx−2−1x−2)÷x2−xx2−4，其中x=−3．
22. (本小题6.0分)
解下列方程：
(1)2x+1+1=xx−1；
(2)x2x−3+53−2x=4．
23. (本小题6.0分)
为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球.已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．
(1)求两种足球的单价；
(2)为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？
24. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F．
(1)求证：AB=AE；
(2)求证：BE//DF．
25. (本小题6.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF//BD交BE的延长线于点F，连接DF.求证：四边形AODF是平行四边形．
26. (本小题6.0分)
阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：83=6+23=2+23=223.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如x−1x+1,x2x−1，这样的分式就是假分式；再如：3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)，如：x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1．
解决下列问题：
(1)分式13x2是______ (填“真分式”或“假分式”)；
(2)将假分式4a+12a−1化为整式与真分式的和的形式：4a+12a−1= ______ .若假分式4a+12a−1的值为正整数，则整数a的值为______ ；
(3)将假分式x2−2x−1x−1化为带分式(写出完整过程)．
27. (本小题6.0分)
平行四边形ABCD中，点C关于AD的对称点为E，连接DE，BE，BE交AD于点F．
(1)如图1，若∠ADC=90°，试说明点F为BE的中点；
(2)如图2，若∠ABC=α(0°<α<90°)．
①试判断点F是否为BE的中点？并说明理由；
②若∠ABC=45°，延长BA，DE交于点H，求DFBH的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵8x+1<7x，
∴8x−7x<−1，
∴x<−1；
故选：C．
先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可得到答案．
本题考查的是不等式的解法，熟练的解一元一次不等式是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．
【解答】
解；A、a2+4a−21=a(a+4)−21，不是因式分解，故A选项错误；
B、a2+4a−21=(a−3)(a+7)，是因式分解，故B选项正确；
C、(a−3)(a+7)=a2+4a−21，不是因式分解，故C选项错误；
D、a2+4a−21=(a+2)2−25，不是因式分解，故D选项错误；
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：因为2x(a−b)−4y(b−a)
=2x(a−b)+4y(a−b)
=2(a−b)(x+2y)．
故选：D．
先利用相反数的定义，变形(b−a)为−(a−b)，再提取公因式，
本题考查了整式的因式分解，掌握相反数的意义和提公因式法是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：多项式−4a2b2+12a2b2−8a3b2c的公因式是−4a2b2．
故选：C．
根据确定多项式各项公因式的方法，①定系数，即确定各项系数的最大公约数②定字母，即确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数最低次幂，确定公因式即可．
本题考查了确定公因式的方法，掌握确定公因式的方法是关键．
6.【答案】C
【解析】解：原分式方程去分母得：a=x−1−3(x−2)，
∵关于x的方程ax−2=1−x2−x−3的解是0，
将x=0代入a=x−1−3(x−2)中得a=5，
故选：C．
将原分式方程去分母转化为整式方程，然后将x=0代入计算即可．
本题考查了分式方程的解，熟知分式方程的解即为能使分式方程成立的未知数的值是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得：180x−180x+2=3．
故选：A．
设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：180x+2元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来多摊了3元车费即可得到等量关系．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=50°，
∴∠B=130°．
故选：D．
根据平行四边形的性质可得AD//BC，再根据平行线的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用．
9.【答案】D
【解析】解：∵在▱ABCD中，AD=8，
∴BC=AD=8，AD//BC，
∴CE=BC−BE=8−3=5，∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE=5，
∴▱ABCD的周长是：2(AD+CD)=2(8+5)=26．
故选：D．
先由▱ABCD中，AD=8，BE=3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△CED是等腰三角形是解此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，AO=CO，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵BC=AD=2AB，
∴EC=AE=BE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO>AB，
∴OD>AB，故②错误；
∴S▱ABCD=AB⋅AC=AC⋅CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD=1：4，
∴S四边形OECD=32S△AOD，故④正确．
∵AO=OC，BE=EC，
∴AB=2OE，
∵AD=2AB，
∴OE=14AD，故⑤正确，
故选：D．
结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由BC=AD=2AB，可判断①，证明∠BAC=90°，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④，由三角形中位线定理可求AB=2OE，即可判断⑤，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】
【分析】
本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解．
【解答】
解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3，
即点D到AB的距离DE=3．
故答案为：3．
12.【答案】a<1
【解析】解：∵点M(−1,a−1)在第三象限，
∴a−1<0，
∴a<1，
故答案为a<1
利用各个象限点的特点，第三象限，纵坐标和横坐标都小于零列出不等式求解即可．
此题是解一元一次不等式，主要考查了象限点的特点求解，解本题的关键是掌握象限点的特点，是中考常考的常规题．
13.【答案】22cm
【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴CF=AD=3cm，AC=DF，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+BC+AC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=AB+BC+AC+CF+AD
=16+3+3
=22(cm)．
故答案为：22cm．
先根据平移的性质得到CF=AD=2cm，AC=DF，而AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
14.【答案】15
【解析】解：设这个正多边形的边数为n，
∴这个正多边形的一个内角的度数为：(n−2)180°n，
又∵正多边形的一个内角是156°，
∴(n−2)180n=156，
解得：n=15．
检验后知道：n=15是原方程的根．
∴这个正多边形的边数15．
故答案为：15．
设这个正多边形的边数为n，根据正多边形的每个内角(n−2)180°n，据此得(n−2)⋅180n=156，解此方程求出n即可．
此题主要考查了正多边形的性质，解答此题的关键是理解正n边形的n条边都相等，n个内角都相等，正n边形的内角和为(n−2)180°，每个内角的度数为(n−2)180°n．
15.【答案】6或−10
【解析】解：∵x2−(m+2)x+16=(x±4)2
∴−(m+2)x=±2×x×4=±8x
∴m+2=±8
解得：m=6或m=−10，
故答案为：6或−10．
根据完全平方式：a2±2ab+b2，可得出答案．
本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
16.【答案】2
【解析】解：设x2=y3=z4=k(k为实数)．
∴x=2k，y=3k，z=4k．
∴x+zy=2k+4k3k=6k3k=2．
故答案为：2．
设x2=y3=z4=k(k为实数)，得x=2k，y=3k，z=4k，从而代入分式求值．
本题主要考查比例的性质、分式的值，熟练掌握比例的性质、求分式的值是解决本题的关键．
17.【答案】证明：∵∠C=90°，
∴AC⊥DC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=AD DC=DE ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
【解析】根据角平分线的性质得到DC=DE，利用HL即可证明Rt△ACD≌Rt△AED．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定，熟记各性质并能熟练运用是解题的关键．
18.【答案】解：(1)2x2−18
=2(x2−9)
=2(x−3)(x+3)；
(2)3x2−12xy+12y2
=3(x2−4xy+4y2)
=3(x−2y)2；
(3)9x2(a−b)+16y2(b−a)
=(a−b)(9x2−16y2)
=(a−b)(3x−4y)(3x+4y)；
(4)(y2−1)2−6(y2−1)+9
=[(y2−1)−3]2
=(y2−4)2
=(y−2)2(y+2)2．
【解析】(1)先提公因式，再用公式法因式分解即可；
(2)先提公因式，再用公式法因式分解即可；
(3)先提公因式，再用公式法因式分解即可；
(4)先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)m2n+mn2=mn(m+n)=(−1)×4=−4．
(2)∵(m+n)2=m2+n2+2mn，
∴m2+n2=(m+n)2−2mn=42−2×(−1)=18．
【解析】(1)将m2n+mn2因式分解得m2n+mn2=mn(m+n)，代入m+n=4，mn=−1即可；
(2)由完全平方公式(m+n)2=m2+n2+2mn得m2+n2=(m+n)2−2mn，代入m+n=4，mn=−1即可．
这道题比较基础，考查了因式分解、完全平方公式和计算能力．
20.【答案】解：(1)因为(x+6)(x−1)=x2+5x−6，
(x−2)(x+1)=x2−x−2，
由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b=−6，
乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a=−1，
∴a=−1，b=−6；
(2)多项式x2+ax+b=x2−x−6=(x−3)(x+2)．
【解析】(1)直接利用多项式乘多项式运算法则化简，进而得出a，b的值，即可得出答案；
(2)直接利用(1)中所求，进而利用十字相乘法分解因式得出答案．
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用十字相乘法分解因式是解题关键．
21.【答案】解：原式=x−1x−2⋅(x+2)(x−2)x(x−1)
=x+2x，
当x=−3时，原式=−3+2−3=13．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)2x+1+1=xx−1
方程的两边同乘(x+1)(x−1)，得2(x−1)+(x+1)(x−1)=x(x+1)，
去括号得，2x−2+x2−1=x2+x，
移项，合并同类项得，x=3，
解得x=3．
检验：把x=3代入(x+1)(x−1)=8≠0．
∴原方程的解为x=3．
(2)x2x−3+53−2x=4
方程两边同时乘(2x−3)，得x−5=4(2x−3)，
解方程，得x=1．
检验：当x=1时，2x−3=−1≠0，
∴原分式方程的解是x=1．
【解析】(1)根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可；
(2)根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23.【答案】解：(1)设甲种足球的单价是x元，则乙种足球的单价是(x+30)元，
根据题意得：2500x=2000x+30×2，
解得：x=50，
经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=50+30=80．
答：甲种足球的单价是50元，乙种足球的单价是80元；
(2)设学校购买乙种足球y个，则购买甲种足球(50−y)个，
根据题意得：50(50−y)+80y≤3000，
解得：y≤503，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为16．
答：学校至多购买乙种足球16个．
【解析】(1)设甲种足球的单价是x元，则乙种足球的单价是(x+30)元，利用数量=总价÷单价，结合用2500元购买甲种足球的数量是用2000元购买乙种足球的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲种足球的单价，再将其代入(x+30)中，可求出乙种足球的单价；
(2)设学校购买乙种足球y个，则购买甲种足球(50−y)个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，AD//CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC，∠CDF=12∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∠A=∠CAB=CD∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，
∴ED=BF，
∵ED//BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠ABE=∠AEB，进而解答即可；
(2)由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=CB，AD//CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，证出∠ABE=∠CDF，由ASA即可得出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定和性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
25.【答案】证明：∵AF//BD，
∴∠EAF=∠EOB，∠AFE=∠EBO，
又∵点E为AO的中点，
∴AE=OE，
在△AEF和△OEB中，
∠EAF=∠EOB∠AFE=∠EBOAE=OE，
∴△AEF≌△OEB(AAS)，
∴AF=OB，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴AF=OD，
又∵AF//BD，
∴四边形AODF是平行四边形．
【解析】证△AEF≌△OEB(AAS)，得AF=OB，再由平行四边形的性质得OB=OD，则AF=OD，然后由AF//BD，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△AEF≌△OEB是解题的关键．
26.【答案】真分式 2+32a−1 1，0，2，−1
【解析】解：(1)由题意得：分式13x2是真分式，
故答案为：真分式；
(2)4a+12a−1=4a−2+32a−1=2+32a−1，
当2+32a−1的值为正整数时，
2a−1=1或±3，
∴a=1，2，−1；
故答案为：2+32a−1；1，2，−1；
(3)原式=x2−2x+1−2x−1=(x−1)2−2x−1=x−1−2x−1．
(1)根据定义即可求出答案；
(2)根据定义进行化简，然后根据题意列出方程即可求出a的值；
(3)先化为x2−2x+1−2x−1=(x−1)2−2x−1，再计算即可．
本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．
27.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵C，E关于AD对称，
∴DE=CD，EC⊥AD，
∴AB=DE，
∵AD⊥CD，
∴C，D，E共线，
∴AB//CE，
∴∠A=∠ADE，
∵AB=DE，∠AFB=∠EFD，
∴△AFB≌△DFE(AAS)，
∴BF=EF，
∴点F为BE的中点；
(2)①点F是BE的中点．理由如下：
如图2中，连接CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EFD=∠EBC，∠DFC=∠FCB，
∵E，C关于AD对称，
∴FE=FC，FO⊥EC，
∴∠EFD=∠DFC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∴BF=EF．
②如图3中，设OD=a，OF=b．
∵∠ABC=45°，AD//BC，
∴∠HAD=∠ABC=45°，
∵E，C关于AD对称，
∴∠CDA=∠ADH=45°，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∵∠DOC=90°，∠ODC=45°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴AB=CD= 2OD= 2a，
∵EF=FB，EO=OC，
∴BC=AD=2b，
∴AH= 2b，
∴BH= 2a+ 2b= 2(a+b)，DF=a+b，
∴BH= 2DF，
∴DFBH= 22．
【解析】(1)只要证明△AFB≌△DFE(AAS)即可解决问题；
(2)①点F是BE的中点．只要证明∠FBC=∠FCB即可解决问题；
②如图3中，设OD=a，OF=b.想办法用a，b表示BH，DF即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
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