2022-2023学年上海市建平中学高二下学期期末考数学试卷含答案

这是一份2022-2023学年上海市建平中学高二下学期期末考数学试卷含答案，共8页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
建平中学2022~2023学年第二学期期末考试
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．已知，则，________．
2．为了了解同学们的作业量，学校决定采用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取150人进行调查，已知高一学生有400人，高二学生有500人，高三学生有600人，则应抽取的高三学生人数为________．
3．已知随机变量服从二项分布，则________．
4．甲和乙在五分钟内独立复原魔方的概率分别为0.7和0.5，则甲、乙两人在五分钟内均独立复原魔方的概率为________．
5．有5个除颜色以外完全一样的玻璃球，其中3个白色，2个红色，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到白球的条件下第二次取到白球的概率是________．
6．的二项展开式中常数项为________．
7．如图所示的茎叶图中记录了甲、乙两人5次的数学考试成绩（茎为十位，叶为个位），若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则________．

8．已知随机变量的分布为，且随机变量，则________．
9．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有1张A牌的概率为________．（精确到0.1%）
10．设随机变量服从正态分布，且，，则________．
11．人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有10%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是________．（用分数表示）
12．已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是________．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ）
A．的可能取值为1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服从超几何分布
14．已知有8个数据：1，2，3，3，4，5，5，6，则以下选项正确的是（ ）
A．众数为 B．第25百分位数为 C．极差为 D．平均数为4
15．从总体容量为240的研究对象中挑选10个样本，利用随机数表法抽取样本时，先将所有研究对象按001，002，，240进行编号，然后从随机数表第4行第5个数开始向右读，则选出的第4个编号是（注：下面为随机数表的第3~5行）（ ）
91685307 17337298 29849526 37515923 03886191 14679054
49042443 36160865 53317333 03570684 57173171 84357012
17355239 47454753 01644305 44017425 26545229 10694745
A．865 B．086 C．173 D．171
16．若存在实数，，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在上严格增，求实数的取值范围．
18．（14分）某箱子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球，2个白球．从箱子中每次随机取出1个球，如果取出的是红球，则不放回；如果取出的是白球，则放回，每一次操作，称为一次取球．记两次取球后，箱子中小球的个数为．
（1）求两次取球都是红球的概率；
（2）求的分布、期望和方差．
19．（14分）某中学为了加强食堂用餐质量开展“美食”工作，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生的认可系数（认可系数）不低于0.95，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）为了了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求出应选取评分在的学生人数；
（2）判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
20．（16分）已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心．

（1）求椭圆的离心率；
（2）如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值；
（3）试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
21．（18分）给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”．记函数所有“正交点”所组成的集合为．
（1）若，判断集合是否为空集，并说明理由；
（2）若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线；
（3）若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围．


建平中学2022~2023学年第二学期期末考试
一、填空题
1． 2．60． 3．2 4．0.35 5． 6． 7．8 8．29
9．34.1% 10． 11．
12．
【解析】因为，所以，
变形，换元，，
化简，
结合的图像，知道有两根互不相同的根，，

且，利用根的分布，
解得
二、选择题
13．C 14．B 15．D 16．B
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．【解析】（1），，
，，故切线方程为；
（2）在恒成立，
即在恒成立，所以．
18．【解析】（1）两次取球都是红球的概率即为；
（2）由题意知的所有可能取值为3，4，5，则
，，
所以的分布为，，
．
19．【解析】（1）；
评分低于80分的频率为，
因此评分低于80分的人数为，
评分在的学生总数为，
因此分层抽样时应选取评分在的学生人数为人．
（2）认可程度平均分为

设认可程度评分第60百分位数为，则，解得，
因此认可系数，所以需要进一步整改．
20．【解析】（1），，；
（2）设直线的方程为，
联立得，
设，，，则，，
因为原点为的重心，所以，，所以

（3）因为原点为的重心，所以当直线的斜率不存在时，必有或，当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为，将或者代入椭圆方程，均求得，
又点到直线的距离均为3，因此．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由（2）知，，
，，
因为在椭圆上，代入椭圆方程可得，
化简得：，又
到直线AB的距离为
，
所以为定值．
综上所述，的面积是为定值．
21．【解析】（1）假设存在“正交点”，则存在两条相互垂直的切线，
设为和处的切线．因为，
所以，所以，
所以不存在“正交点”，所以．
（2）设“正交点”是在和处的切线的交点，
因为，所以，
所以在和处的切线方程为：，，
联立，解得，
因为两条切线互相垂直，所以，
所以，所以的所有“正交点”在一定直线上．
（3）因为，所以不存在图像上的点，使得该点是“正交点”．
先证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点．
反证法：假设该点不是切点，则存在切线，
它与函数图像交于点，所以，
化简得，因为，所以，
同理可得，所以，所以两条切线重合，矛盾！所以该点本身一定是切点．
假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，
则由前文可知，所以
，
因为，所以，
即，
设，
则有，
由题意可知图像上的点都不是“正交点”，也即不存在这样的点，
所以方程对无解．
设，其对称轴为
所以当时，取得最小值
要使得无解，只要，解得．