2022-2023学年上海市光明中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市光明中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市光明中学高一（上）期中数学试卷
一、填空题（每小题3分，满分36分）
1．设集合，只有一个子集，则满足要求的实数　　．
2．命题“任意，”的否定是 　　．
3．已知，，则的取值范围是 　　．
4．已知，且，则　　．
5．关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 　　．
6．关于的不等式解集是 　　．
7．已知，且，则的最小值是 　　．
8．已知且，则　　．
9．已知，，，，，，，，则下列关于集合，，关系的表述 　　．
10．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 　　．
11．已知，且，若恒成立，则实数的范围是 　　．
12．已知，，，，，，且，其中，2，3，，若，，，且的所有元素之和为56，则　　．
二、选择题（每小题4分，满分16分）
13．（4分）已知，则“”是“”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
14．（4分）若，，，，下列运算正确的是　　
A．
B．
C．
D．
15．（4分）用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设　　
A．任意三角形都没有钝角
B．存在一个三角形恰有一个钝角
C．任意三角形都有两个钝角
D．存在一个三角形至少有两个钝角
16．（4分）已知全集为，对任意集合，，下列式子恒不成立的是　　
A． B． C． D．
三、解答题（共有5题，满分48分）
17．（8分）设，是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由．
18．（8分）已知关于的方程的两个实数根是，，若，求实数的值．
19．（12分）已知集合，，．
（1）用区间形式表示集合；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
20．经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间有函数关系：．
（1）为保证在该时段内车流量至少为12千辆小时，则汽车平均速度应控制在什么范围？
（2）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？
21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既悬点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）．

2022-2023学年上海市光明中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，满分36分）
1．设集合，只有一个子集，则满足要求的实数　0　．
解：集合，只有一个子集，
则，，
所以方程无解，即．
故答案为：0．
2．命题“任意，”的否定是 　存在，　．
解：命题“任意，”的否定是存在，．
故答案为：存在，．
3．已知，，则的取值范围是 　　．
解：，，
则，，
故由不等式的可加性可知，，
故的取值范围是．
故答案为：．
4．已知，且，则　1　．
解：因为，，
所以，
所以，，
所以．
故答案为：1．
5．关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 　，　．
解：不等式的解集是，
和2是方程的两个根，且，
由韦达定理可得，，解得，
不等式可化为，，
又，方程化为，
解得，
即不等式的解集为，．
故答案为：，．
6．关于的不等式解集是 　　．
解：①当时，不等式化为，
解得，
又，，
②当时，不等式化为，
解得，
又，，
综上所述，不等式的解集为．
故答案为：．
7．已知，且，则的最小值是 　　．
解：，且，
，当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值是．
故答案为：．
8．已知且，则　　．
解：，，，
则，则．
故答案为：．
9．已知，，，，，，，，则下列关于集合，，关系的表述 　　．
解：，，，，，
，，，，
，，，，
．
故答案为：．
10．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 　，　．
解：因为不等式对一切恒成立，
所以或，即．
故答案为：，．
11．已知，且，若恒成立，则实数的范围是 　，　．
解：，且，若恒成立，
则，

，
当且仅当，即，时，等号成立，
，
实数的范围是，．
故答案为：，．
12．已知，，，，，，且，其中，2，3，，若，，，且的所有元素之和为56，则　8　．
解：由，得，，
，即，，，
（1）若，，，
此时，，，
即，，从而，，
，则，
即，或，与矛盾．
（2）若，则，，即，
，从而，，
由题意得，，即，或，
而与矛盾，，，
，，
将，，代入，得到，
解得或（舍，
．
故答案为：8．
二、选择题（每小题4分，满分16分）
13．（4分）已知，则“”是“”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
解：由于，
所以“”时，“”成立，
当“”时，由于，故，
所以“”是“”的充要条件．
故选：．
14．（4分）若，，，，下列运算正确的是　　
A．
B．
C．
D．
解：由，，，，知：
对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，故错误；
对于，，故错误．
故选：．
15．（4分）用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设　　
A．任意三角形都没有钝角
B．存在一个三角形恰有一个钝角
C．任意三角形都有两个钝角
D．存在一个三角形至少有两个钝角
解：第一步应假设结论不成立，
则应该假设存在一个三角形至少有两个钝角．
故选：．
16．（4分）已知全集为，对任意集合，，下列式子恒不成立的是　　
A． B． C． D．
解：取，则对任意集合，都有，故错误；
取，则对任意集合，都有，故错误；
取，则，故错误；
对于，若，，则，，；
若，，则，，；
若，则，，；
若，如图，

则，，；
若，如图，

则为图中阴影部分，为图中非阴影部分，；
若，如图，

则为图中阴影部分，为图中非阴影部分，；
若，如图，

则，，．
综上所述，恒不成立．
故选：．
三、解答题（共有5题，满分48分）
17．（8分）设，是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由．
解：，
①当，时，，故：；
②当，时，，故：；
③当，时，，故：；
故．
18．（8分）已知关于的方程的两个实数根是，，若，求实数的值．
解：关于的方程的两个实数根是，，
，，
，
解得或3，
又△，或，
．
19．（12分）已知集合，，．
（1）用区间形式表示集合；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
解：（1），
故集合为；
（2），
，
，
，解得，
故实数的取值范围为；
（3），即，
当时，，则，
若，
则，满足题意，
当时，，，满足题意，
当时，，则，
若，
则或，解得或，
综上所述，实数的取值范围为．
20．经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间有函数关系：．
（1）为保证在该时段内车流量至少为12千辆小时，则汽车平均速度应控制在什么范围？
（2）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？
解：（1）令，即，解得，
故为保证在该时段内车流量至少为12千辆小时，则汽车平均速度应控制在20千米小时到50千米小时范围内．
（2），
当且仅当，即时等号成立，
故当汽车的平均速度千米小时时，车流量最大．
21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既悬点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）．
解：（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和．
（2）是，证明如下：
点是点的“上位点”， ，，
，
，点是点的“下位点”，
，
，点是点的“上位点”；
点既是点的“下位点”又是点的“上位点”；
（3）若正整数满足条件，在，时恒成立，
由（2）中的结论可知，，时，满足条件，
若，由于，
则对，时不恒成立，
因此，的最小值为4039．