2022-2023学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

这是一份2022-2023学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县八年级（下）期末数学试卷（五四学制），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年黑龙江省大庆市杜尔伯特县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 关于x的一元二次方程x2=5x−1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )
A. 1，−5，−1 B. −1，−5，−1 C. 1，−5，1 D. 1，5，1
2. 若方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是(    )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3. 如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.
4. 两个相似三角形的周长比是1：2.则其相似比是(    )
A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 1：4
5. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )
A. 正六边形 B. 平行四边形 C. 正三角形 D. 等腰梯形
6. 如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为(    )
A. 12
B. 1
C. 32
D. 3
7. 如图，已知AB//CD//EF，BC：CE=3：4，AF=21，那么DF的长为(    )
A. 9
B. 12
C. 15
D. 18
8. 如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AC：AB=1：2，则△ADC与△ABC的面积比是(    )
A. 1： 2
B. 1：2
C. 1：3
D. 1：4
9. 一个口袋中有红球、黄球共20个，这些除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋，不断重复这一过程，共摸了200次，发现其中有161次摸到红球.则这个口袋中红球数大约有(    )
A. 4个 B. 10个 C. 16个 D. 20个
10. 已知点A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(1,y3)均在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(    )
A. y1 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 一元二次方程x2=2022x的解是______ ．
12. 反比例函数y=kx的图象经过点(−2,3)，那么图象分布在______ 象限．
13. 若一元二次方程−x2+2x+4=0，则x1+x2的值是______ ．
14. 若a3=b4=c5，则a+b+cc= ______ ．
15. 现有6张质地均匀，完全相同的纸片，分别写有“人”“民”“就”“是”“江”“山”6个汉字，现从中一次取出2张，刚好组成“人民”的概率为______ ．
16. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=4，则CD= ______ ．


17. 反比例函数y=kx(k>0)在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为2，那么k的值是______ ．


18. 如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C为位似中心的位似图形，点A(−1.4,1.5)的对应点为A′(−0.2,−3)，点C位于(−1,0)处，若点B的对应点B′的横坐标为3，则点B的横坐标为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题4.0分)
解方程：
(1)x2−2x−3=0；
(2x+1)2−9=0．
20. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC、AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF为矩形．

21. (本小题6.0分)
为推进党的“二十大精神”第一时间进课堂、进头脑，引导广大青少年坚定理想信念，把人生理想融入国家和民族发展的伟大“中国梦”之中，大丰区教育局12月份开展“二十大”主题教育演讲比赛，某学校从甲、乙2名男生和丙、丁、戊3名女生中随机选派一男一女进行宣讲．
(1)请利用画树状图或列表法，列举出所有可能选派的结果；
(2)求选派丁去演讲的概率．
22. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接HO.AC=8，BD=6，AB=5．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)求△DHO的周长

23. (本小题7.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−3x+2−m2−m=0．
(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；
(2)若方程x2−3x+2−m2−m=0，的两个实数根α、β满足α2+β2=9，求m的值．
24. (本小题7.0分)
随着新能源汽车配套设施的不断普及，新能源汽车的销售量逐年增加.某小区物业统计2023年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2021年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．
(1)求这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率；
(2)若2023年春节小区内停放新能源汽车数量为490辆，且增长率保持不变，请估计到2024年春节该小区停放新能源汽车的数量．
25. (本小题7.0分)
办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升20℃，水温到100℃时停止加热.此后水温开始下降.水温y(℃)与开机通电时间x(min)成反比例关系.若水温在20℃时接通电源.一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．
(1)水温从20℃加热到100℃，需要______ min；
(2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域；
(3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于80℃的时间有多少？

26. (本小题7.0分)
如图是由一些大小相同的小立方块搭成的几何体．

(1)图中共有        个小立方块；
(2)请在下面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
27. (本小题7.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx(x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．

28. (本小题9.0分)
解题突破：如图①，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点.求证：∠PMN=∠PNM.结合图①，写出完整的证明过程；
方法探究：如图②，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC=90°，AD=10，BC=8，点P、Q分别为AB、CD的中点，求PQ的长．
方法拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC=120°，AD=12，BC=6，点P、Q分别在AB、CD边上，AP=2PB，CQ=12QD，则PQ= ______ .(不用写过程.直接写结果)


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由原方程得到：x2−5x+1=0，则该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，−5，1．
故选：C．
首先将原方程化为一般式，然后由一般式即可求得一元二次方程x2=5x−1的二次项系数、一次项系数、常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

2.【答案】D 
【解析】解：根据题意得Δ=(−3)2−4m>0，
解得m<94，
即m的取值范围为m<94．
故选：D．
先根据根的判别式的意义得到Δ=(−3)2−4m>0，再解不等式得到m的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

3.【答案】B 
【解析】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意，
故选：B．
根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．

4.【答案】B 
【解析】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，
∴这两个三角形的相似比是1：2．
故选：B．
由两个相似三角形的周长比是1：2，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得这两个三角形的相似比．
此题考查了相似三角形的性质，注意掌握相似三角形周长的比等于相似比定理的应用是解此题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、不一定是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6.【答案】D 
【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴OA=OC，∠BAO=12∠DAB=30°，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴OB=12AB=12，
∴OA= AB2−OB2= 12−(12)2= 32，
∴AC=2OA= 3，
故选：D．
连接BD交AC于点O，由菱形的性质得OA=OC，∠BAO=30°，AC⊥BD，再由含30°角的直角三角形的性质得OB=12，然后由勾股定理得OA= 32，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：∵AB//CD//EF，BC：CE=3：4，
∴ADDF=BCCE=34，
∵AF=21，
∴21−DFDF=34，
解得：DF=12，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵∠B=∠ACD，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴S△ACDS△ABC=AC2AB2=14，
故选：D．
根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．
本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方．

9.【答案】C 
【解析】解：因为共摸了200次，有161次摸到红球，所以摸到红球的频率=161200=0.805，由此可根据摸到红球的概率为0.805，所以可估计这个口袋中红球的数量为0.805×20≈16(个)，
故选：C．
先计算出摸到红球的频率为0.805，根据利用频率估计概率得到摸到红球的概率为0.805，然后根据概率公式可估计这个口袋中红球的数量，再计算白球的数量．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

10.【答案】B 
【解析】解：∵反比例函数y=3x，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(1,y3)均在反比例函数y=3x的图象上，
∴y2 故选：B．
根据反比例函数的性质，可以判断出y1，y2，y3的大小关系．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

11.【答案】x1=0，x2=2022 
【解析】解：x2−2022x=0，
x(x−2022)=0，
x=0或x−2022=0，
∴x1=0，x2=2022．
故答案为：x1=0，x2=2022．
先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x=0或x−2022=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

12.【答案】二、四 
【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx，
∵反比例函数的图象经过点(−2,3)，
∴k=−2×3=−6，
∴函数的图象在第二、四象限，
故答案为：二、四．
点的横纵坐标相乘即为反比例函数的比例系数，根据比例系数的符号即可判断反比例函数的两个分支所在的象限．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

13.【答案】2 
【解析】解：在一元二次方程−x2+2x+4=0中，a=−1，b=2，则：
x1+x2=−ba=−2−1=2．
故答案为：2．
根据根与系数的关系直接得到答案．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．

14.【答案】125 
【解析】解：设a3=b4=c5=k，
∴a=3k，b=4k，c=5k，
∴a+b+cc=3k+4k+5k5k=12k5k=125，
故答案为：125．
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．

15.【答案】115 
【解析】解：画树状图为：

共有30种等可能的结果，其中2张刚好组成“人民”的结果数为2，
所以从中一次取出2张，刚好组成“人民”的概率=230=115．
故答案为：115．
画树状图展示所有30种等可能的结果，再找出2张刚好组成“人民”的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．

16.【答案】2 
【解析】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∵AB=4，
∴CD=12AB=2．
故答案为：2．
直接根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

17.【答案】4 
【解析】解：∵△MOP的面积为2，
∴12|k|=2，
∴k=±4，
∵其函数图象在第一象限，
∴k>0，
∴k=4．
故答案为：4．
根据△AOB的面积为2求出|k|的值，由其函数图象在第四象限可知k>0，进而可确定出k的值．
主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

18.【答案】−3 
【解析】解：过A作AM⊥x轴于M，过A′作A′N⊥x轴于N，
则AM//A′N，
∴△ACM∽△A′CM，
∴AMA′N=ACA′C，
∵点A(−1.4,1.5)的对应点为A′(−0.2,−3)，点C位于(−1,0)处，
∴ACA′C=−1.4−(−1)−0.2−(−1)=12，
∴△ABC和△A′B′C的相似比为1：2，
过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，
则BE//B′F，
∴△BCE∽△B′CF，
∴CECF=BCB′C，
∵点C的坐标为(−1,0)，点B′的横坐标为3，
∴CF=4，
∵△ABC和△A′B′C的相似比为1：2，即BCB′C=12，
∴EC4=12，
解得：EC=2，
∴点B的横坐标为−3，
故答案为：−3．
过A作AM⊥x轴于M，过A′作A′N⊥x轴于N，过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，得到△BCE∽△B′CF，根据相似三角形的性质求出△ABC和△A′B′C的相似比，进而求出EC，根据坐标与图形性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．

19.【答案】解：(1)x2−2x−3=0，
分解因式：(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1；
(2)(2x+1)2−9=0，
移项：(2x+1)2=9，
开方：2x+1=±3，
∴x1=1，x2=−2． 
【解析】(1)根据因式分解法即可求出答案．
(2)移项后直接开平方计算即可．
本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用因式分解和开平方法．

20.【答案】证明：∵点D、E分别为BC、AC中点，
∴AE=EC，BD=DC，
∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴▱ADCF是矩形． 
【解析】根据平行四边形的判定得出四边形ADCF是平行四边形，再根据等腰三角形的性质和矩形的判定解答即可．
此题考查矩形的判定，关键是根据平行四边形的判定得出四边形ADCF是平行四边形解答．

21.【答案】解：(1)列表可得所有可能选派的结果如下：

甲
乙
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
戊
(甲，戊)
(乙，戊)
(2)由表知，共有6种等可能结果，其中选派丁去宣讲的有2种结果，
所以选派丁去宣讲的概率为26=13． 
【解析】(1)根据列表法，求解即可；
(2)分别求得总的结果数和选派丁去演讲的结果数，根据概率公式，求解即可．
此题考查了列表法或树状图求解概率，概率公式，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．

22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=8，BD=6，
∴OA=OC=12AC=4，OD=OB=12BD=3，
∵AB=5，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵DH⊥AB，
∴DH⋅AB=12AC⋅BD，OH=12DB=3，
即5DH=12×8×6，
∴DH=245，
∴△DHO的周长为245+3+3=545． 
【解析】(1)由平行四边形的性质和勾股定理的逆定理得△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，则AC⊥BD，即可得出结论；
(2)由菱形面积公式求出DH的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：Δ=9−4(2−m2−m)=4m2+4m+1=(2m+1)2，
∵无论m为何实数，总有(2m+1)2≥0，即Δ≥0，
∴无论m为何实数，方程总有两个实数根；
(2)解：∵方程x2−3x+2−m2−m=0，的两个实数根α、β，
∴α+β=3，αβ=2−m2−m，
∴α2+β2=(α+β)2−2αβ=9−2(2−m2−m)=5+2m2+2m=9，
解得m=1或−2． 
【解析】(1)根据Δ=9−4(2−m2−m)=4m2+4m+1=(2m+1)2≥0，即Δ≥0，即可得出结论；
(2)根据两根之和以及两根之积得α+β=3，αβ=2−m2−m，代入α2+β2=(α+β)2−2αβ=9−2(2−m2−m)=5+2m2+2m=9，计算即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac和一元二次方程的根与系数的关系：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．

24.【答案】解：(1)设2022年与2021年这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为x，
则(1+x)2=1.96，
解得：x1=0.4=40%，x2=−2.4(舍去)，
答：这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为40%；
(2)490×(1+40% )=686(辆)，
答：估计到2024年春节该小区停放新能源汽车的数量约为686辆． 
【解析】(1)设2022年与2021年这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为x，根据2023年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2021年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．列出一元二次方程，解方程即可；
(2)根据(1)的结果列式计算即可．
本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

25.【答案】4 
【解析】解：(1)∵开机加热时水温每分钟上升20℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为100−2020=4(min)，
故答案为：4；
(2)由题可得，(4,100)在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y=kx，
代入点(4,100)可得，k=400，
∴y=400x，
当y=20时，x=40020=20，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=400x(4≤x≤20)；
(3)由计算可知，水温从20℃开始加热到100℃再冷却到20℃需4+20=24分钟，
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：80−2020=3，
令y=8，则x=40080=5，
∴水温不低于30℃的时间为5−3=2(分钟)，
答：不低于80℃的时间有2分钟．
(1)根据开机加热时水温每分钟上升20℃即可求出水温从20℃加热到100℃所需时间；
(2)根据反比例函数过点(4,100)可求出解析式；
(3)分别计算出水温达到100℃前80℃和达到100℃后再降到80℃所需时间即可．
本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．

26.【答案】6 
【解析】解：(1)由图可知，图中共有6个小立方块．
故答案为：6；
(2)如图，

(1)根据图形解答即可；
(2)分别根据从正面、左面、上面看到的图形画图即可．
本题考查了从不同方向看几何体，良好的空间想象能力是解答本题的关键．

27.【答案】解：(1)∵OA=1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
则−k+2=0，
解得：k=2，
∴直线l的解析式为y=2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2=6，
∴点C的坐标为(2,6)，
∴m=2×6=12；
(2)设点D的坐标为(n,2n+2)，则点E的坐标为(n,12n)，
∴DE=|2n+2−12n|，
∵OB//DE，
∴当OB=DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y=2x+2与y轴交于点B，
∴OB=2，
∴|2n+2−12n|=2，
当2n+2−12n=2时，n1= 6，n2=− 6(舍去)，
此时，点D的坐标为( 6,2 6+2)，
当2n+2−12n=−2时，n1= 7−1，n2=− 7−1(舍去)，
此时，点D的坐标为( 7−1,2 7)，
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为( 6,2 6+2)或( 7−1,2 7). 
【解析】(1)根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
(2)分2n+2−12n=2、2n+2−12n=−2两种情况，计算即可．
本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

28.【答案】4 3 
【解析】解题突破：证明：∵点P，N分别是BD，AB的中点，
∴PN是△ABD的中位线，
∴PN=12AD，
∵AD=BC，
∴PN=12BC，
∵点P，M分别是BD，CD的中点，
∴PM是△BCD的中位线，
∴PM=12BC，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM；

方法探究：如图②，连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG，

∵点P，G分别是AB，BD的中点，
∴PG是△ABD的中位线，
∴PG=12AD=12×10=5，
同理：QG是△BCD的中位线，
∴QG=12BC=12×8=4，
∵PG是△ABD的中位线，
∴PG//AD，
∴∠BPG=∠A，
∵QG是△BCD的中位线，
∴∠DGQ=∠DBC，
∴∠PGQ=∠DGQ+∠PGD=∠BPG+∠ABD+∠DBC=∠BPG+∠ABC=∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠PGQ=90°，
根据勾股定理得，PQ= PG2+QG2= 41；

方法拓展：解：如图③，

连接BD，在BD上取一点E，使DE=2BE，则BD=3BE，
∵AP=2BP，
∴AB=3BP，
∴BPAB=BEBD=13，
∵∠PBE=∠ABD，
∴△PBE∽△ABD，
∴PEAD=BPAB=13，∠BPE=∠A，
∴PE=13AD=4，
同理：△QEQ∽△DBC，
∴QEBC=DEBD=23，∠DEQ=∠DBC，
∴QE=23BC=4，
∴PE=QE=4，
∵∠A+∠ABC=120°，
∴∠PEQ=∠PEQ+∠DEQ=∠BPE+∠ABD+∠DBC=∠A+∠ABC=120°，
过点E作EF⊥PQ于F，则PQ=2PF，∠PEF=12∠PEF=60°，
∴∠EPF=30°，
∴EF=12PE=2，根据勾股定理得，PF= PE2−EF2=2 3，
∴PQ=2PF=4 3，
故答案为：4 3．
先判断出PN是△ABD的中位线，得出PN=12AD，再判断出PM是△BCD的中位线，得出PM=12BC，即可得出结论；
方法探究：连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG，先判断出PG是△ABD的中位线，得出PG=5，同理：QG是△BCD的中位线，得出QG=4，再利用中位线得出∠DGQ=∠DBC，进而判断出∠PGQ=90°，最后用勾股定理，即可求出答案；
方法拓展：连接BD，在BD上取一点E，使DE=2BE，则BD=3BE，判断出△PBE∽△ABD，进而得出∠BPE=∠A，PE=4，同理：△QEQ∽△DBC，∠DEQ=∠DBC，QE=4，进而得出PE=QE=4，进而判断出∠PEQ=120°，得出△EPQ是等腰三角形，即可求出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，三角形的外角的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．