11中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解（基础）

这是一份11中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解（基础），共8页。
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）
【考纲要求】
1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．

【知识网络】





【考点梳理】
考点一、一元二次方程
1.一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
它的一般形式为(a≠0)．
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．
（2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．
（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．
（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．
要点诠释：
直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．
3．一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为．
△>0方程有两个不相等的实数根；
△＝0方程有两个相等的实数根；
△0，所以方程有两个不相等的实数根．
（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以，
根据方程的根与系数的关系得，解得，
所以原方程可化为，解得，.

类型二、分式方程
3．（2015•贺州）解分式方程：=﹣．
【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.
【答案与解析】
解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得
x+1=3(2x-1)-2(2x+1)
x+1=2x-5，
解得x=6．
检验：x=6是原方程的根．
故原方程的解为：x=6．
【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根.
举一反三：
【变式1】解分式方程：．
【答案】方程两边同乘以，得
．
　．
．
　　　 经检验：是原方程的解，
所以原方程的解是．
【变式2】方程的解是x= ．
【答案】.

4．若解分式方程产生增根，则m的值是（ ）
A. B. C. D.
【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m的值.
【答案】D；
【解析】由题意得增根是：
化简原方程为：把代入解得，
故选择D.
【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值.
举一反三：
【变式】若关于的方程无解，则的值是 ．
【答案】1.

类型三、一元二次方程、分式方程的应用
5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
【思路点拨】
在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系.
【答案与解析】
设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时
由题意，得

答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时.
【总结升华】
流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度；
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.
举一反三：
【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？
【答案】设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
由题意得：

答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.

6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
【思路点拨】
设该产品的成本价平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．
【答案与解析】
设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x．
625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500
整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．
1-x=±0.9，x=1±0.9，
x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．
答：该产品的成本价平均每月应降低10%．
【总结升华】
题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．