第01讲 集合的概念-新高一数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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第01讲 集合的概念

1. 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
2. 能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
3. 了解空集的含义．

知识点一 元素与集合的概念
1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，通常用大写拉丁字母来表示集合．
2．元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母表示．
3．集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等．
4．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
特性
含义
确定性
集合中的元素必须是确定的．因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合中的元素，应该可以明确地判断出来
互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素
无序性
集合中的元素可以任意排列

知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，那么就记作，读作“a属于A”．
2．不属于：如果a不是集合A的元素，那么就记作，读作“a不属于A”．
3．常见的数集及符号表示
数集
非负整数集
(自然数集)
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R

考点一：集合的含义
例1 (多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是(　　)
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者
【答案】 BCD
【解析】 A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．
【总结】
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
变式 (多选)现有以下说法，其中正确的是(　　)
A．接近于0的数的全体构成一个集合
B．正方体的全体构成一个集合
C．未来世界的高科技产品构成一个集合
D．不大于3的所有自然数构成一个集合
【答案】 BD　
【解析】 A、C不符合集合中元素的确定性，B、D具有确定性．

考点二：元素与集合关系的判断
例2 下列关系中，正确的有(　　)
①∈R；② ∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A.1个 B．2个
C.3个 D．4个
【答案】 C　
【解析】 是实数，是无理数，|－3|＝3是自然数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
变式 用“∈”，“∉”填空．
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A．
【答案】 ∈　∉
【解析】 由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－∉Z.所以－5∉A.
例3 若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
【答案】 0，1，2
【解析】 由题意可得x为自然数，所以可以为2，3，6，因此x的值为0，1，2.因此A中有0，1，2三个元素．
【总结】
1．判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
2．已知元素与集合的关系求参数的思路
当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反．
利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．
变式 方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根组成集合A．当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素．
【解析】 A中有且只有一个元素，即ax2＋2x＋1＝0有且只有一个根或有两个相等的实根．
①当a＝0时，方程的根为－；
②当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1，此时方程有两个相等的根为－1.
综上，当a＝0时，集合A中的元素为－；当a＝1时，集合A中的元素为－1.


考点三：集合中元素的特性及应用
例4 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
【答案】 －1
【解析】 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
【总结】
根据集合中元素的特性求参数的3个步骤


变式 已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________．
【解析】 因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.


考点四：根据集合相等求参数
例5 由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，求a2 022＋
b2 022的值．
【解析】 由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，a≠b，由题意可得或解得或(不满足集合元素的互异性，舍去).
所以a2 022＋b2 022＝(－1)2 022＋0＝1.
【总结】
从集合相等的定义入手，结合元素的无序性，寻找元素之间的关系．若集合中的元素不止一个，需要利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍．
变式 集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________．
【答案】 ±2
【解析】 由题意知a2＝4，即a＝±2.

1．下列说法正确的是(　　)
A.某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B.由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等
C.不超过20的非负数组成一个集合
D.方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
【解析】 C　A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，组成的集合中有2个元素．
2．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是(　　)
A.锐角三角形 B．直角三角形
C.钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】 D　因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等．故选D.
3．(多选)下列说法正确的有(　　)
A.N与N*是同一个集合
B.N中的元素都是Z中的元素
C.Q中的元素都是Z中的元素
D.Q中的元素都是R中的元素
【解析】 BD　因为N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确．故选B、D.
4．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2