2022-2023学年天津市新四区示范校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年天津市新四区示范校联考高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市新四区示范校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={a,b,2}，B={1,3}，C={4}，若C⊆A，A∩B={1}，则A=(    )
A. {1,2,4} B. {1,4} C. {2,5} D. {1,2,3}
2. 命题“∀x∈R，ln(x2+1)>0”的否定为(    )
A. ∀x∉R，ln(x2+1)≤0 B. ∃x∈R，ln(x2+1)≤0
C. ∀x∈R，ln(x2+1)≤0 D. ∃x∉R，ln(x2+1)≤0
3. 已知a=log5 5，b=log1212，c=(12)0，则a，b，c的大小关系是(    )
A. a>b>c B. b>a>c C. b=c>a D. c>b>a
4. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)=(    )
A. 37 B. 47 C. 1021 D. 1121
5. 已知向量m=(2cos2x, 3)，n=(1,sin2x)，设函数f(x)=m⋅n，则下列关于函数y=f(x)的性质的描述正确的是(    )
A. 关于直线x=π12对称 B. 关于点(5π12,0)对称
C. 周期为2π D. y=f(x)在(−π3,0)上是增函数
6. 函数y=x22x−2的图象大致是(    )
A. B. C. D.
7. 如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，记四边形EFGH的面积为y，设BEAB=x，则(    )
A. 函数y=f(x)的值域为(0,4]
B. 函数y=f(x)的最大值为8
C. 函数y=f(x)在(0,13)上单调递减
D. 函数y=f(x)满足f(x)=f(1−x)
8. 顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈21分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为99m，转盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是(    )
A. H(t)=45sin(2π21t+π2)+54(0≤t≤21)
B. H(t)=45sin(2π21t−π2)+54(0≤t≤21)
C. H(t)=45cos(2π21t−π2)+54(0≤t≤21)
D. H(t)=−45sin(2π21t−π2)+54(0≤t≤21)
9. 若函数f(x)=x+3x,x≤013x3−4x+a,x>0在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围为(    )
A. a163 D. a≥163
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10. 若复数z=1+ii，则|z|=______．
11. 向量a=(1,−2)在向量b=(−4,3)方向上的投影向量是______ ．
12. 深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为______．
13. 重庆八中某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(105,δ2).若P(90≤X≤120)=12，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是______．
14. 已知向量a，b满足(a+2b)⋅(a−b)=−6，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为______．
15. 已知函数f(x)=ex+1,x≤1−x2+3x−2,x>1，若函数g(x)=f(x)−k|x+2|有三个零点，则实数k的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题15.0分)
已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且(2a−b)cosC=ccosB．
(1)求角C；
(2)若a=2，b=3，CD为角C的平分线，求CD的长；
(3)若acosB+bcosA=4，求锐角△ABC面积的取值范围．
17. (本小题15.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求三棱锥A−BDE的体积；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．

18. (本小题15.0分)
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

19. (本小题15.0分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：2Snn=an+1(n∈N*)．
(Ⅰ)求证：数列{an}为等差数列；
(Ⅱ)若a2=5，令bn=1an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式45(T2n+1−Tn)≤m2−5m对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
20. (本小题15.0分)
已知函数f(x)=ax−lnx，a∈R．
(Ⅰ)若a=1e，求函数f(x)的最小值及取得最小值时的x值；
(Ⅱ)求证：lnx0“的否定为“∃x∈R，ln(x2+1)≤0“．
故选：B．
根据全称量词命题的否定为存在性量词命题即可判断．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：由题意a=12，
b=1，
c=1，
所以有b=c>a．
故选：C．
对a，b，c的值进行化简而后进行比较．
本题主要考查对数和乘方的运算，属基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：由题意，ξ可能取值为0，1，2，
P(ξ=0)=C52C72=1021，P(ξ=1)=C51C21C72=1021，P(ξ=2)=C22C72=121，
E(ξ)=0×1021+1×1021+2×121=47．
故选：B．
求得ξ的可能取值及对应概率，根据期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题．

5.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查向量的数量积，属于中档题．
利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，根据正弦函数的性质判断．
【解答】
解：f(x)=m⋅n=2cos2x+ 3sin2x
=cos2x+ 3sin2x+1
=2sin(2x+π6)+1，
当x=π12时，sin(2x+π6)=sinπ3≠±1，
∴f(x)不关于直线x=π12对称，选项A错误；
当x=5π12时，2sin(2x+π6)+1=1，
∴f(x)关于点(5π12,1)对称，不关于点(5π12,0)对称，选项B错误；
f(x)得周期T=2π2=π≠2π，选项C错误；
当x∈(−π3,0)时，2x+π6∈(−π2,π6)，
∴f(x)在在(−π3,0)上是增函数，选项D正确．
故选D．  
6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象的判断，一般从定义域、值域、特殊点、单调性等方面进行判断，属于基础题．
根据函数的定义域与函数值的符号进行判断．
【解答】
解：由函数有意义得2x−2≠0，即x≠1，排除B，C；
当x0，解得x=2．
当00时的最小值．
∵函数f(x)在其定义域R上有且只有一个零点，且由(1)可知在区间(−1,0)内已经有一个零点了，所以在区间(0,+∞)上没有零点，
∴必须满足f(2)>0，即233−4×2+a>0，解得a>163．
故a的取值范围是(163,+∞)．
故选：C．
根据函数的单调性画出函数的图象，及题意其定义域R上有且只有一个零点，即可求出a的取值范围．
利用导数得出函数的单调性并画出图象是解题的关键．

10.【答案】 2 
【解析】解：由z=1+ii=(1+i)(−i)−i2=1−i，
得|z|= 2．
故答案为： 2．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

11.【答案】(85,−65) 
【解析】解：a⋅b=−10，|b|= 16+9=5，
向量a=(1,−2)在向量b=(−4,3)方向上的投影向量是：
a⋅b|b|×b|b|=−105×b5=−25b=(85,−65)．
故答案为：(85,−65)．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题考查了向量坐标的数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

12.【答案】0.68 
【解析】解：当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率P=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32，
因此当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率=1−0.32=0.68，
故答案为：0.68．
利用全概率公式、对立事件的概率计算公式即可得出结论．
本题考查了全概率公式、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

13.【答案】532 
【解析】解：学生成绩符合正态分布N(105,δ2)，
故P(X>120)=1−P(90≤X≤120)2=14，
故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为P=C32(14)2⋅34+(14)3=532．
故答案为：532．
结合正态分布特点先求出P(X>120)，再结合独立重复试验的概率公式，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．

14.【答案】π3 
【解析】解：设a与b的夹角为θ，∵向量a，b满足(a+2b)⋅(a−b)=−6，且|a|=1，|b|=2，
∴a2+a⋅b−2b2=1+a⋅b−8=−6，∴a⋅b=1．
∴cosθ=a⋅b |a|⋅|b|=12，再由θ的范围为[0,π]，可得θ=π3，
故答案为π3．
由条件可得求得a⋅b=1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ=12，再由θ的范围求出θ的值．
本题主要考查两个向量的夹角公式，求出a⋅b=1，是解题的关键，属于中档题．

15.【答案】(0,7−4 3)∪(1,e23] 
【解析】解：当x=−2时，g(x)=e−1≠0，
令g(x)=0可得：k=f(x)|x+2|，
令h(x)=f(x)|x+2|=ex+1−x−2,x