河南省开封市五校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

这是一份河南省开封市五校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题，共12页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，在中，内角的对边分别为等内容，欢迎下载使用。

开封五校2022~2023学年下学期期末联考
高一数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4.本卷主要考查内容：必修第二册.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数且，其中为虚数单位，则（ ）
A.0 B.-3 C.-2 D.
2.在连续六次数学考试中，甲､乙两名同学的考试成绩情况如图，则（ ）

A.甲同学最高分与最低分的差距低于30分
B.乙同学的成绩一直在上升
C.乙同学六次考试成绩的平均分高于120分
D.甲同学六次考试成绩的方差低于乙同学
3.已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A.无解 B.有一解
C.有两解 D.解的个数不确定
6.如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（ ）

A.三点共线，且
B.三点共线，且
C.三点不共线，且
D.三点不共线，且
7.如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，某同学选择地面作为水平基线，使得在同一条直线上，在两点用测角仪器测得点的仰角分别是和，则建筑物的高度为（ ）

A. B. C. D.
8.已知是不共线的两个向量，，若，则的最小值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.一组数据3，6，8，a，5，9的平均数为6，则对此组数据下列说法正确的是（ ）
A.极差为6 B.中位数为5
C.众数为5 D.方差为4
10.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ）
A.如果，那么
B.如果，那么
C.如果，那么
D.如果，那么与所成的角和与所成的角相等
11.不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A.2张卡片都不是红色 B.2张卡片恰有一张蓝色
C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色
12.已知圆锥的母线长为为底面圆的一条直径，.用一平行于底面的平面截圆锥，得到截面圆的圆心为.设圆的半径为，点为圆上的一个动点，则（ ）
A.圆锥的体积为
B.的最小值为
C.若，则圆锥与圆台的休积之比为1:8
D.若为圆台的外接球球心，则圆的面积为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.甲､乙两组共200人，现采取分层随机抽样的方法抽取40人的样本进行问卷调查，若样本中有16人来自甲组，则乙组的人数为__________.
14.在中，，将绕直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为__________.
15.如图，在正三棱柱中，，则直线与直线所成角的正切值为__________.

16.如图，在Rt中，，圆为单位圆.

（1）若点在圆上，，则__________；（2分）
（2）若点在与圆的公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为__________.（3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知，复数（是虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.
18.（本小题满分12分）
如图1，四边形是边长为2的正方形，将沿折叠，使点到达点的位置（如图2），且.

（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
19.（本小题满分12分）
某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分，上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示.

（1）估计所打分数的众数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
（2）该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深人调查，之后从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，分别是棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
21.（本小题满分12分）
已知的内角的对边分别是，点在边上，是角平分线，，且的面积为.
（1）求的大小及的值；
（2）若，求的长.
22.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，是棱上一点，且平面.

（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
开封五校2022~2023学年下学期期末联考·高一数学
参考答案､提示及评分细则
1.D ，则.故选D.
2.C 由图可知，C正确，B错误，且由于甲同学成绩波动较大，则甲同学六次成绩方差大，所以错误.
3.B .
4.A 假设二种玩偶分别为，则买3个盲盒，出现的玩偶为，，共八种，集齐2种的概率为.故选A.
5.C 由正弦定理，得，解得.
因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.故选C.
6.B 连接直线平面平面.又平面，平面平面直线三点共线..
7.A 在中，，由正弦定理，得，在中，，故选.
8.B 依题意可设的夹角为，则由题意可得，
由得，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，故选B.
9.ACD ，得极差，故A正确；
中位数，故B错误；
众数为5，故C正确；
，故D正确.
10.BCD 对于，可运用长方体举反例证明其错误，如图，

不妨设为直线为直线，四边形所在的平面为，四边形
所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；
B正确，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线，则，由
知，从而；
由平面与平面平行的定义知，如果，那么，C正确；
由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确.故选BCD.
11.ABD 6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是“2张都不是红色”，“2张恰有一张蓝色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.故选ABD.
12.ABD由圆锥的母线长为，底面圆的半径为2，可得圆锥的高.
考察选项：，A选项正确；
考察B选项：已知，设点在底面的投影为，则，所以，B选项正确；
考察C选项：当时，，所以，又，所以，C选项错误；
考察D选项：若点是圆台的外接球球心，则由，解得，所以选项正确.故选ABD.
13.120人 （人）.
14. 该几何体的底面半径为，高为的圆锥，.
15. 连接交于点，作点为的中点，连接，则与所成的角等于与所成的角，在中，.所以.
16.（1）（2分）（2）（3分）
（1）在中，，
则；
（2）

，
因为，所以，
故的取值范围为.
法二：
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，
则，所以，
则
，
，则.
即.
17.解：（1）因为是纯虚数，所以
（2）在复平面内对应的点为，由题意可得.
解得，即的取值范围是.
18.解：（1）在图1中连接交于，则，
所以在图2中，，因为为平面中的两条相交直线，
所以平面，所以；

（2）由（1）可知，为二面角的平面角，
在中，，
由余弦定理，得，因为，
所以，所以二面角的大小为.
19.解：（1）由众数概念可知，人数出现最多的为之间，所以众数为70，
平均值
；
（2）由直方图知，第一､二组的频率分别为0.05和0.1，
则第一､二组人数分别为5和10，
所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第一组和第二组的人数之比为，
则第一组有2人，记为；第二组有4人，记为.
从中随机抽取2人的所有情况如下：，共15种，其中，两人来自不同组的情况有：，共8种，
故两人来自不同组的概率为，
答：监督员来自不同组的概率为.
20.解：（1）证明：连接，
分别是棱的中点，，
平面平面平面，
分别是棱的中点，，
四边形是平行四边形，则，
平面平面平面，
平面，且平面平面，
平面平面；
（2）连接为中点，
由题意，，
作于，则面，且，
即三棱锥的高为，
.

21.解：（1）在中，，
由正弦定理得，
可得，又，
，
，解得，

（2），由（1）得，
是角平分线，
，
故，
解得.
在中，，
由余弦定理得，
.
22.（1）证明：在矩形中，所以，
平面平面平面，
，
在中，为中点，，
，即，
又平面平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）解：由（1）知，，
平面平面，
又平面，
平面，又平面，
又平面，
，平面平面平面，
平面，由（1）知为中点，
所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，
即，解得，
设直线与平面所成的角为，则.