2023黄山高二下学期期末考试数学试题含答案

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黄山市2022—2023学年度第二学期期末质量检测
高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
D
C
B
C
A
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
题号
9
10
11
12
答案
ACD
AC
BCD
ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 14. 15. 16.
四、解答题（本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分10分）
（1）设数列的公差为d，
因为是，的等比中项，则，
即，且，整理得①， ………………………………2分
又因为，整理得②
由①②解得，，，所以. ………………………………4分
（2）由（1）知，， ………………………………5分
则，
可得，
两式相减得 …………8分
，
所以. ……………………………………………………………10分
18．（本题满分12分）
（1）由正弦定理得：．
所以
所以．即，
因为，所以； ……………………………………………………………5分
（2）因为，即， ………………………………7分
所以． ……………………………………………………………………8分
在中，由余弦定理得
，所以，
则， ………………………………………………………………………10分
所以. …………………………12分
19．（本题满分12分）
（1）连接交于点，在正方形中，
且点分别是边和的中点，所以, …………………………2分
即，,又,
故平面,又因为平面，所以. …………………5分
（2）当平面平面时，且交线为，又因为平面且，所以平面, ………………………………………………6分
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系,





则， ……………………………………8分
，
设平面的法向量为，
，取.
同理可得平面的法向量为 ……………………………………10分
，
即平面与平面夹角的余弦值为. …………………………12分
20．（本题满分12分）
（1）解：设事件 “2个盲盒都是“校园”模型”，事件 “2个盲盒都是“图书馆”模型”， 事件“2个盲盒都是“名人馆”模型”，则与与为互斥事件，
∵，,
∴2个盲盒为同一种模型的概率
． …………………4分
（2）解：设事件“第次取到的是“校园”模型”，;
设事件“第次取到的是“图书馆”模型”，;
设事件“第次取到的是“名人馆”模型”，;
设事件“第次取到的是“科技馆”模型”，.
∵，，，,，,，
∴由全概率公式，可知第2次取到的是“图书馆”模型的概率为：
. ……………………………………………8分
（3）解：∵，，
， ………………………………11分

1
2
3

9
10







……………………………………………12分
21．（本题满分12分）
（1）已知，
当时，恒成立，在上单调递增，无极值， ……2分
当时，令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，有极大值，，无极小值， ……………5分
综上：当时，无极值；
当时，极大值为，无极小值； …………………6分
（2）若，则在时恒成立，
恒成立，令，
令，则，
在单调递减，又，
由零点存在定理知，存在唯一零点，使得，
即， ………………………………9分
令在上单调递增，
， 即
当时，单调递增，单调递减，
，
，即的取值范围为. ……………………………………12分
22．（本题满分12分）
（1）焦点， ………………………………1分
∵，又点到抛物线准线的距离不大于，∴ ………………………3分
抛物线E的标准方程为； ……………………………………………………4分
（2）依题意直线斜率存在，设的方程为，
由，化简得：，
设，则， ……………………………6分
消去得：      ①
又，则      ②
由①②得，∴③ …………8分
（ⅰ）若直线没有斜率，则，又，
∴（舍去） ………………………………………………………………9分
（ⅱ）若直线有斜率，为，
直线的方程为，即， ………11分