压轴题12 带电粒子在电磁组合场和叠加场中的运动-高考物理压轴题专项训练（全国通用）

这是一份压轴题12 带电粒子在电磁组合场和叠加场中的运动-高考物理压轴题专项训练（全国通用），文件包含压轴题12带电粒子在电磁组合场和叠加场中的运动解析版docx、压轴题12带电粒子在电磁组合场和叠加场中的运动原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

压轴题12 带电粒子在电磁组合场和叠加场中的运动

考向一/计算题：二维平面内的带电粒子在电磁组合场和叠加场中的运动
考向二/计算题：带电粒子在交变电磁组合场和叠加场中的运动
考向三/计算题：三维平面内的带电粒子在电磁组合场和叠加场中的运动

要领一：“电偏转”与“磁偏转”的基本规律

垂直电场线进入
匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入
匀强磁场(不计重力)
受力情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动轨迹示例


求解方法
利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2
偏转角φ满足：tan φ＝＝
半径：r＝；周期：T＝
偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解
运动时间
t＝
t＝T＝
动能
变化
不变
要领二：电粒子在交变场中运动问题的基本思路


1．如图所示是半导体注入工艺的装置示意图，某种元素的两种离子和，质量均为m，可从A点水平向右注入加速电场，初速度大小连续分布且在0和之间。经电压为U的电场直线加速后，离子均从小孔C水平射入偏转电场（两极板水平放置且上极板带负电，电势差可调），偏转后均能穿出此电场，其中CD为偏转电场的中线。离子穿出电场后立即进入紧靠电场的匀强磁场，该磁场边界线竖直、右侧足够大，磁感应强度大小B在和之间可调，方向始终垂直纸面向里。不考虑离子的重力及相互作用，元电荷带电量为e。
（1）仅注入初速度0的离子，不为0，求和穿出偏转电场时竖直方向位移之比；
（2）仅注入初速度为的离子，不为0且，求离子在磁场中射入位置与射出位置的距离Y；
（3）若放置一块紧靠磁场左边界的竖直收集板，长度，下端距D点的距离。先调节偏转电场的电压，使，仅注入离子，每秒发射的离子数为，各种速率的离子数目相同，再调节磁感应强度大小，使，求收集板上每秒能收集到的离子数n与B之间的关系。

【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）设偏转电场的极板间距为，板长为，则在加速电场中在偏转电场中竖直方向位移为联立上述两方程可得可知竖直方向位移与所带电荷量无关，仅注入初速度0的离子时和穿出偏转电场时竖直方向位移之比为。
（2）仅注入初速度为的离子，则在加速电场在偏转电场射出后的速度大小为，在磁场当中，设入射方向与磁场边界线夹角为，则射入位置与射出位置的距离，，联立以上方程可得
（3）收集板最上端的位置距离点初速度为0的粒子射入磁场后偏转的距离为
初速度为的粒子射入磁场后偏转的距离为
当时，所有的粒子均在收集板上。当解得即范围时所有的粒子恰好均在收集板上。当解得即恰好所有的粒子均不在收集板上。当范围时，每秒能收集到的离子数n为
收集板上每秒能收集到的离子数n与B之间的关系为时；时；
时
2．如图所示，在平面第Ⅰ象限内有一半径为的圆形区域，圆心为，圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界与x和y轴分别相切于M、N两点。在区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限内存在方向垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在电场中有一个位于平面内且与y轴平行、长为R的线状粒子源，的中点A在x轴上，粒子源上各点均能沿平面发射质量为m、电荷量为的同种带电粒子，且所发射粒子的速度大小均为，方向均与x轴正方向成角。已知从C点发出的粒子，恰好沿水平方向经过y轴上的P点，经圆形磁场偏转后恰好从M点进入第Ⅳ象限，粒子的比荷，P点坐标为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。求：
（1）匀强电场场强的大小E和间的距离s；
（2）圆形磁场磁感应强度的大小B；
（3）粒子源上各点所发出的粒子经圆形磁场后最终都能通过x轴进入第Ⅳ象限，经第Ⅳ象限磁场偏转后将第二次通过x轴，求这些粒子中第二次通过x轴时能到达离O点最远的点的坐标，并求出该粒子从出发到该位置所经历的总时间。

【答案】（1），；（2）；（3），
【详解】（1）C点到P点逆过程粒子做类平抛运动，设C点到P运动时间为，y轴方向，由上述两式解得；x轴方向，由上述两式解得
（2）C点发出的粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，其入射速度设粒子轨迹半径为，由牛顿第二定律得由几何关系可知联立解得
（3）分析可知，上任意点发出的粒子经圆形磁场偏转后都从M点通过x轴进入第Ⅳ象限，其中从A点射出的粒子将从N点进入、从M点离开圆形磁场，且第一次通过x轴时速度方向沿方向，它第二次通过x轴时能到达离O点最远的位置，该粒子运动轨迹如图

设粒子在第Ⅳ象限磁场中运动的轨迹半径为，由牛顿第二定律得解得所求点的坐标为。由于所有粒子在第二象限运动规律完全相同，故从A点发射从N点进入的磁场的粒子在电场中运动时间也为其到达x轴最远位置时在两个磁场中运动的时间分别为
，该粒子从出发到x轴上最远位置经过的时间为

3．如图所示，圆心为O点、半径为的圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场区域的右侧有两个水平放置、带等量异种电荷的平行金属板M、N，金属板的长度为，金属板间的距离为，两金属板左端的连线与磁场区域相切。圆周上A点有一粒子源，A点是金属板N的延长线与圆的切点，粒子源不断地沿纸面各个方向向磁场内发射质量均为、带电荷量均为、速率均为的粒子。金属板的右侧处有一荧光屏，荧光屏与金属板垂直，粒子打在荧光屏上发光并被吸收。已知从粒子源射出的初速度与夹角为的粒子在磁场中的偏转角为，且该粒子恰好通过两金属板右端连线上的S点，S点到金属板M、N的距离之比为，不计粒子重力及粒子间的相互影响。
（1）求圆形区域内磁场的磁感应强度大小；
（2）求初速度与夹角为的粒子从A点射出至打在荧光屏上的运动时间及该粒子打到荧光屏上时的速度大小；
（3）若在荧光屏上以P点（在金属板M的延长线上）为原点，向下为正方向建立坐标轴x轴，求荧光屏上发光部分的坐标范围。

【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）初速度与夹角为的粒子的运动轨迹如图所示

设轨迹圆的圆心为，从磁场区域出射的出射点位C点，半径为；由题意可知，由几何关系可得且在圆形磁场区域的边界上，粒子在磁场中运动有解得
（2）初速度与夹角为的粒子以与金属板平行的速度方向从C点离开磁场，匀速经过CD后，从D点进入偏转电场，离开电场后做匀速直线运动打到荧光屏上的E点，该粒子在磁场中的运动时间为
粒子离开C点后到打到荧光屏上过程中发生的水平位移
发生这段位移所用的时间为该粒子运动的总时间为
由几何关系可知，粒子沿电场方向的位移为设经过S点时沿电场方向的速度为，则有；解得该粒子打到荧光屏上时的速度大小为
（3）由几何关系可知，D点的坐标为则E点坐标为
由题意可得，所有粒子离开磁场区域时速度方向都平行于金属板，在金属板间运动的时间相等，从右侧离开时，沿电场方向侧移量、速度均相等，故从金属板右侧离开的粒子分别在的区域内，关于E点对称，所以荧光屏上发光区域的坐标范围为即为
4．如图所示，一个质量为m、电荷量为-q的带电粒子以速度v0=，α=30°从O点射入匀强磁场①区中，匀强磁场外侧紧贴一个圆心角β=300°的绝缘刚性圆壁（粒子在圆壁上无能量损失反射），最后粒子从A射出磁场，经过宽度为0.5d的对称性匀强电场E及匀强磁场②区之后，又恰好从B点回到匀强磁场①区中。已知匀强磁场①区的半径为d，匀强磁场①、②的磁感应强度大小分别为B1、B2，且B2=4B1，匀强电场E=。不计粒子重力、粒子间的相互作用力，回答以下问题：
（1）带电粒子在匀强磁场②区中的轨道半径；
（2）返回B点后第一次接触匀强磁场①区外侧绝缘刚性圆壁时，两点间位移大小；
（3）不计碰撞反射时间，从O点出发到第一次回到O点的总时间。

【答案】（1）；（2）d；（3）
【详解】根据题意，带电粒子在整个区域中运动的轨迹，如图所示。

（1）带电粒子从O点射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，带电粒子的轨迹半径r=代入已知条件，得r=d经过4次圆心角均为60°的圆周运动，从A点恰好水平飞出。进入匀强电场后，带电粒子在电场中做类平抛运动，即将E=代入可得y=0.25d粒子速度偏转角的正切值tanθ=2×=1即带电粒子进入匀强磁场②区时与-y轴的夹角为45°。粒子进入匀强磁场②区的瞬时速度大小v′=v0
带电粒子在匀强磁场②区的轨迹半径r′=解得r′=
（2）带电粒子从匀强磁场②区出来后，根据类平抛知识可知，恰好水平向左出匀强电场，离开的速度大小恰好为v0，返回匀强磁场①区时，半径大小为r=d、所以第一次恰好回到O点，BO=d。
（3）根据带电粒子在磁场中的运动轨迹，首先在匀强磁场①区中的时间t1=从A到C及从D到B的时间相等，总时间t2=2×在电场的两段时间相等，总时间t3=2×在匀强磁场②区中的时间为粒子转过90°圆心角的时间，即t4=从B回到O的时间t5=
所以从出发到回到O点的总时间为
5．波荡器是利用同步辐射产生电磁波的重要装置，它能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其装置简化模型如图所示，个互不重叠的圆形匀强磁场沿水平直线分布，半径均为，磁感应强度大小均相同，方向均垂直纸面，相邻磁场方向相反、间距相同，初始时磁感应强度为。一重力不计的带正电粒子，从靠近平行板电容器P板处由静止释放，PQ极板间电压为，粒子经电场加速后平行于纸面从点射入波荡器，射入时速度与水平直线夹角为，在范围内可调。
（1）若粒子入射角，粒子恰好能从点正下方离开第一个磁场，求粒子的比荷；
（2）若粒子入射角，调节的距离、磁场的圆心间距和磁感应强度的大小，可使粒子每次穿过水平线时速度与水平线的夹角均为，最终通过同一水平线上的点，到的距离为，求的大小和磁感应强度的大小；
（3）在（2）问的情况下，求粒子从A运动到的时间。

【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）设粒子电场加速后速度为，根据动能定理可得由几何关系可知粒子在磁场中偏转半径为，根据洛伦兹力提供向心力可得联立解得粒子的比荷为
（2）粒子的轨迹如图所示

由几何关系可得粒子转动的圆心恰好在磁场圆周上且在磁场圆心的正下方或正上方。
由几何关系可得；可得
（3）由几何关系可得；每次从水平线到磁场边缘的时间为每次在磁场中运动的时间为可得粒子运动的时间为
6．如图甲所示，空间中有一直角坐标系Oxyz，在紧贴坐标为点的下侧有一粒子源P，能沿x轴正方向以的速度持续发射比荷的带正电的粒子。图乙为xOy平面图，在、的空间中有沿－y方向的匀强电场，电场强度大小为，在的空间有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为。若在xOz平面内区域放置一足够大的吸收屏（如图甲所示），屏上方施加有沿－y方向，大小为的匀强磁场（忽略粒子间的相互作用）。求：（结果保留一位有效数字）
（1）粒子第一次穿过y轴的坐标；
（2）粒子第二次穿过y轴的坐标；
（3）粒子打到吸收屏上的坐标。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）粒子从P点射出后在xOy平面内做平抛运动，沿y轴负方向的加速度为
做平抛运动的时间为粒子在竖直方向上的位移所以粒子第一次穿过y轴时的坐标为。
（2）粒子第一次穿过y轴时的速度为由于所以粒子沿着与y轴负方向成角的方向进入磁场，然后做匀速圆周运动。由可得圆周半径
由几何关系可知，圆心在x轴正半轴的处。所以粒子将从y轴的正半轴某点处离开磁场，其坐标与粒子第一次穿过y轴时的坐标关于原点对称，所以粒子第二次穿过y轴时的坐标为。
（3）粒子第二次穿过y轴后，沿着与y轴负方向成角的方向进入磁场。在磁场中，粒子沿着y轴负方向的分速度为在这个方向上，洛伦兹力为零；粒子沿着x轴负方向的分速度为
在这个方向上，粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动。所以粒子进入磁场后，将沿着螺旋线向吸收屏运动。根据；可得，粒子在磁场中运动半周的时间为
粒子从y轴上处运动到xOz平面上的时间为由于，所以在粒子离开磁场之前，就已经打到了吸收屏上。粒子的圆周轨迹对应的角度为
粒子做圆周运动的半径为所以粒子打到吸收屏上的坐标；；
7．如图所示，真空中有一坐标系，在x≤0的空间存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出），在x≥0的空间存在磁感应强度大小为、方向沿z轴负方向的匀强磁场（图中未画出），在、的空间存在沿z轴正方向的勾强电场（图中未画出），两处电场的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为q（）的带电微粒从处由静止开始运动，其y坐标第一次为零时恰好经过原点O。重力加速度大小为g。求；
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）在y≤0空间中运动时，微粒的最大动能；
（3）微粒从离开P到其y坐标第二次为零经历的时间；
（4）在x≥0空间，微粒的y坐标第二次正的最大值时的位置坐标。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）微粒从P向O运动过程。重力与电场力的分合力沿PO方向，即解得
（2）设微拉从O点进入磁场时，速度大小为，则沿x、y方向的分速度大小相等微粒所受洛伦兹力沿y方向的分力方向向上，大小为即微粒在x轴下方磁场中的运动，可分解为沿x方向的匀速运动和平面的勾速圆周孟动，设圆周运动的半径为R，则
转过四分之一圆周时，微粒的速度方向沿x轴正方向，此时速度最大，为激粒的最大动能为解得
（3）微粒从P到O的运动，由运动公式得微粒从O到再次经x轴的时间为圆周运动的半个周期，时间为微粒从离开P开始到其y坐标第二次为零经历的时间
（4）沿x方向有，y坐标正最大为R，即沿z方向有其中整理得；；
即微粒的位置坐标。
8．如图所示为某离子实验装置结构图。Ⅰ区为电加速区，由间距为d中间有小孔S、O的两正方形平行金属板M、N构成，金属板边长为，其中离子源紧贴小孔S；Ⅱ、Ⅲ区为长方体形状的磁偏转区，水平间距分别为d、，其竖直截面与金属板形状相同。Ⅲ区左右截面的中心分别为，以为坐标原点，垂直长方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N间有垂直于金属板的水平向右的匀强电场；Ⅱ、Ⅲ区的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别沿、方向。某时刻离子源有一电量为、质量为m的粒子无初速的飘入小孔S，经过一段时间后恰好能返回到小孔S，不考虑粒子的重力。
（1）求粒子经过小孔O时速度v的大小及Ⅰ区电场强度E的大小；
（2）求粒子在磁场中相邻两次经过小孔O时运动的时间；
（3）若在Ⅱ区中方向增加一个附加匀强磁场，可使粒子经过小孔O后恰好不能进入Ⅲ区、并直接从Ⅱ区前表面（方向一侧）P点飞出，求P点坐标为。

【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）粒子在磁场中运动轨迹如图所示

由几何关系得根据牛顿第二定律得得粒子经过小孔O时速度v的大小为
粒子由S到O过程，由动能定理得联立上式解得
（2）粒子在磁场中的周期为粒子在磁场中运动的时间联立方程，解得
（3）如图所示

粒子恰好与Ⅱ、Ⅲ区边界相切时由P射出，对应半径即解得，
由几何关系得解得，则有
即P点坐标为
9．M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，S板为记录板，分界面QP将N、S间区域分为I、II、III三部分，其中I区宽度均为d，M、N、P、Q、S所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与S板的交点O为坐标原点，以平行于S板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域I、II内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和沿y轴负方向的匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为和E。区域III内充满沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B2。一质量为m、电荷量为+q的粒子，从a孔以初速度进入电场，经b孔进入磁场，经P面上的c点（图中未画出）进入电场后，从Q面上的f点（f点与c点等高）进入III区，经个周期打到记录板S上。不计粒子重力，求粒子：
（1）在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L；
（2）从离开N板到打到板S所用的时间；
（3）打到记录板上的位置x、y坐标（用R、d表示）。

【答案】（1）；；（2）；（3），
【详解】（1）粒子在M、N间加速，由动能定理有 ；
粒子在N、P间做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力；
c点到z轴的距离L
（2）粒子所做圆周运动对应的圆心角； 粒子所做圆周运动的角速度为
粒子所做圆周运动所用时间为粒子在P、Q间做类斜上抛运动；粒子在Q、S间在x-y平面内以速度vsinθ做匀速圆周运动，沿z轴方向以速度vcosθ做匀速运动；；
（3）因为  则；
10．利用电场与磁场控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，一粒子源不断释放比荷一定的正电粒子，其初速度为零，经过加速电压后，以速度垂直于平面射入边长为的正方体区域。可调整粒子源及加速电场位置，使带电粒子在边长为的正方形区域内入射，不计粒子重力及其相互作用。完成以下问题：
（1）求粒子的比荷大小；
（2）若只加平行于的电场，粒子从点射入，从点射出，求所加匀强电场的大小和方向；
（3）若仅在正方体区域中加上沿方向的匀强磁场，要让所有粒子都到达平面，求所加匀强磁场磁感应强度的最大值和最小值；
（4）以为原点建立如图所示直角坐标系，若在正方体区域中同时加上沿方向大小为的匀强电场和大小的匀强磁场，让粒子从入射，求粒子离开正方体区域时的坐标位置（结果可用根号表示，圆周率取3）。

【答案】（1）；（2），沿方向；（3），；（4）
【详解】（1）粒子在加速电场中，由动能定理可得，粒子的比荷大小为
（2）若只加平行于的电场时，粒子在正方体区域中做类平抛运动，当点射入的粒子恰好从点射出，则由牛顿第二定律和类平抛运动知识，有；；联立解得，所加匀强电场的大小为因为粒子带正电，所以匀强电场的方向为沿方向。
（3）若仅在正方体区域中加上沿方向的匀强磁场时，粒子在正方体区域中做匀速圆周运动，当从点射入的粒子恰好到达点时所加的磁场为最小值，由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力得联立解得，所加磁场的最小值为当从点射入的粒子恰好到达点时所加的磁场为最大值，有；联立解得，所加磁场的最大值为
（3）若在正方体区域中同时加上沿MN方向的匀强电场及匀强磁场，电场加速粒子所带来的速度分量恰与磁场平行，不会带来新的洛伦兹力，故粒子的运动可分解为在磁场中的匀速圆周运动和在电场中的匀加速直线运动，对于在磁场中的圆周运动，正视图如图所示

由洛伦兹力提供向心力得此时轨道半径为因为在磁场中的圆心角为即则粒子在磁场中的运动时间对于在电场中的匀加速直线运动，有；联立解得，在电场中的运动时间为因分运动与合运动具有等时性，且，则粒子的运动时间为故粒子完成磁场区域的完整偏转离开立方体时方向的坐标
离开立方体时x方向的坐标为则粒子离开立方体时的位置坐标为。
11．如图甲所示，在xOy平面的第I象限内有沿x轴正方向的匀强电场，第II、III象限内同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面的磁场，已知，磁场随时间t变化的规律如图乙所示，其中，设垂直纸面向外为磁场正方向。一个质量为、电荷量为C的带正电液滴从P点以速度沿x轴负方向入射，经恰好以沿y轴负方向的速度v经过原点O后进入的区域。已知时液滴恰好通过O点，重力加速度g取10。求：
（1）电场强度的大小及液滴第一次到达O点时速度v的大小；
（2）液滴在内的路程；
（3）若在时撤去电场、和磁场，同时在整个空间区域加竖直向上的磁感应强度大小为的匀强磁场（未画出），从此时刻起，再经过s，液滴距O点的距离。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）对带电液滴由动量定理可知，水平方向0解得竖直方向
解得
（2）液滴通过O点后，由可知，液滴将仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，

解得磁感应强度为B0时s，磁感应强度为2B0时，内运动轨迹如图所示，则解得
（3）只有磁场存在时，油滴在水平方向做匀速圆周运动，则周期s半径
油滴在竖直方向做自由落体运动，经过s沿y轴下落高度为2经过后距O点的距离为
解得m
12．如图甲示，一对平行金属板C、D间距为d，加如图乙规律变化的电压，0时刻C板电势为正，O、为两板上正对的小孔，紧贴D板右侧存在范围足够大，磁感应强度B按如图丙规律变化的磁场（取垂直纸面向里为正）。现有质量、电荷量的微粒，0时刻从O孔进入C、D板间，粒子的初速度和重力不计。
求：
（1）若，微粒射出D板时的速度；
（2）要使微粒射出D板时速度最大，则两板之间的最小距离d；
（3）若带电微粒按丙图中0时刻以最大速度进入磁场，经运动的位移大小。

【答案】（1）0；（2）0.5m；（3）
【详解】（1）微粒在时间内一直加速，受到的电场力为由牛顿第二定律得
运动的距离为此时速度达到最大，之后，微粒做匀减速直线运动，运动了0.25m，此后又经历加速和减速，最后微粒射出D板时的速度为0。
（2）要使微粒射出D板时速度最大，需微粒在运动过程一直加速，加速时间为，则两板之间的最小距离d为解得
（3）微粒以最大速度进入磁场，设速度为v，由动能定理得得速度为
微粒进入磁场，洛伦兹力提供向心力圆周运动半径为圆周运动周期为
当大小为时，半径和周期为当大小为时，半径和周期为若以点为坐标原点，水平向右方向为x轴正方向，以竖直向下方向为y轴正方向，则微粒时处于位置，则位移大小为

13．制造芯片，要精准控制粒子的注入。如图甲所示，是控制粒子运动的装置示意图，两块边长均为d的正方形金属板M、N上、下正对水平放置，极板间距也为d。以该装置的立方体中心O点为原点建立直角坐标系，并在极板间加沿y轴负方向的匀强磁场（磁感应强度大小未知），两极板接到电压为U的电源上。现有一束带正电粒子以速度v0沿x轴正方向从左侧持续注入极板间，恰好沿x轴做匀速直线运动。不考虑电磁场的边缘效应，粒子的重力忽略不计，粒子之间的静电力忽略不计。
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）若仅撤去磁场，该带电粒子束恰好击中点（，0，），求粒子的比荷；
（3）若仅撤去电场，求带电粒子束离开立方体空间的位置坐标；
（4）若将磁场方向改为沿z轴正方向，并将两极板接到电压按如图乙所示变化的电源上，t=0时刻让粒子从中心O点沿x轴正方向以速度v0注入，试通过计算说明从粒子注入后到击中极板前会经过z轴几次。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1
【详解】（1）粒子做匀速直线运动，则有可得
（2）粒子做类平抛运动，有；；联立可得粒子的比荷
（3）粒子做匀速圆周运动，则有可得则所以粒子在磁场中运动半个周期，从左边界飞出，则带电粒子束离开立方体空间的位置坐标；
（4）粒子沿z轴做变速直线运动，在xoy平面内做圆周运动，周期为由乙图可知，在时间内加速，粒子在z轴方向的位移在时间内减速，粒子在z轴方向的位移在时间内向反方向加速，粒子在z轴方向的位移在时间内向反方向减速到速度为零，粒子在z轴方向的位移粒子回复最初的方向接着重复最初的运动，运动时间为此时距板的距离为则由可得到达极板所用总时间为粒子每个周期经过一次z轴，则取整数，所以经过1次。
14．如图甲所示，离子源持续逸出带电量为、质量为m的离子，其初速度视为0，离子经过加速电场后，以速度沿两平行极板PQ的中线飞入交变电场。已知极板P、Q水平放置，间距为d，长度为L，极板上所加的交变电压如图乙所示，变化周期，所有离子均能从PQ极板右侧射出，不计离子重力及离子间相互作用，求：
（1）加速电场的电压大小；
（2）PQ极板间所加电压U的最大值；
（3）当PQ极板间交变电压为（2）问中所求的时，在PQ极板右侧建立直角坐标系，其中Ox与极板Q的中轴线在同一直线上，图中的两个正方体边长均为d，正方体区域内存在沿y轴正方向、大小为的匀强磁场，正方体区域内存在沿x轴正方向、大小为的匀强磁场，求离子在正方体区域内运动的最长时间。

【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）离子经过加速电场后有解得
（2）离子在平行极板PQ间运动时，水平方向为匀速直线运动L=v0t解得即离子在平行极板PQ间运动的时间恰为电场变化的一个周期，，n=0，1，2，3……时刻进入电场的离子恰从极板边缘离开时，电压最大；解得
(3)离子飞过平行极板PQ过程中，沿竖直方向的速度增量为即=0，所有离子均以速度v0水平飞出PQ极板进入第一个正方体区域后解得离子运动轨迹如图所示

则有；即进入第二个正方体的离子均从正方向CDD1C1的MN连线进入，离子进入第二个正方体区域后，沿x轴方向做匀速直线运动，若能到GG1H1H，则解得
垂直于磁场的速度分量使离子做圆周运动，即离子边圆周边匀速直线，为螺旋运动
解得离子运动的侧视图如图所示

离子在第二个正方体圆周运动的周期为从N点进入的离子在磁场中圆周运动时间最长
即能在该场中做圆周运动的离子最长时间为由于t2>t1，即离子在第二个正方体中尚未完成一个螺旋便已离开，其运动的最长时间为
15．高能粒子实验装置是用以发现高能粒子并研究和了解其特性的主要实验工具。为了简化计算，一个复杂的高能粒子实验装置可以被简化为空间中的复合场模型。如图甲所示，三维坐标系中平面的右侧（空间）存在平行于z轴方向周期性变化的磁场B（图中未画出）和沿y轴正方向竖直向上的匀强电场。现将一个质量为m、电荷量为q的带正电的高能粒子从平面内的P点，沿x轴正方向水平抛出，粒子第一次经过x轴时恰好经过O点，此时速度大小为，方向与x轴正方向的夹角为45°。已知电场强度大小，从粒子通过O点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，规定当磁场方向沿z轴正方向时磁感应强度为正。已知，重力加速度大小为g。
（1）求抛出点P的坐标；
（2）求粒子从第1次经过x轴到第2次经过x轴的路程；
（3）求粒子第4次经过x轴时的x坐标值；
（4）若时撤去右侧的匀强电场和匀强磁场，同时在整个空间加上沿y轴正方向竖直向上的匀强磁场，求粒子向上运动到离平面最远时的坐标。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）P点抛出后做平抛运动；，；
代入数据得，抛出点P的坐标为
（2）进入平面右侧，由于粒子在磁场作用下做匀速圆周运动，0-时间内由图像得
由得；由得则粒子刚好第二次到达x轴解得
（3）在时间内，有，，则，，
此后时间内，粒子运动轨迹如图

粒子第4次经过x轴时得x坐标值为解得
（4）时刻后，粒子在竖直方向上做竖直上抛运动，水平方向上做匀速圆周运动；
到达最高点时，解得，由得，由得
又，，联立方程解得，，
粒子向上运动到离平面最远时的坐标为