2022-2023学年陕西省西安工业大学附中高一（下）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安工业大学附中高一（下）第二次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安工业大学附中高一（下）第二次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知z=2+i，则z(z−i)=(    )
A. 6+2i B. 4−2i C. 6−2i D. 4+2i
2. 已知等边三角形ABC的边长为2，则AB⋅BC=(    )
A. 2 B. −2 C. − 3 D. 3
3. 设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(    )
A. 若m⊥n，n//α，则m⊥α
B. 若m//β，β⊥α，则m⊥α
C. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
4. 从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是(    )
A. 至少有1个红球 B. 至少有1个黑球 C. 至多有1个黑球 D. 至多2个红球
5. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为(    )
A. 24 B. 64 C. 2 2 D. 2 6
6. 若数据x1，x2，⋯，xn的方差为2，则2x1−3，2x2−3，…，2xn−3的方差为(    )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7. 在△ABC中，BC=3，AC=5，sinA=13，则cosB=(    )
A. 59 B. ±59 C. 2 149 D. ±2 149
8. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为(    )
A. 432 2π B. 216 2π C. 144 2π D. 12 2π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下面关于复数的说法，正确的是(    )
A. 1−i的虚部为1 B. |1−i|=2
C. (1−i)2是纯虚数 D. 1−i在复平面内对应的点位于第四象限
10. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，下列说法正确的是(    )
A. 若A为锐角，则b2+c2>a2
B. 若A为锐角，则b2+c2sinB，则A>B
D. 若sinA>sinB，则A与B大小不能确定
11. 某公司为检测某型号汽车的质量问题，需对三个批次生产的该型号汽车进行检测，三个批次产量分别为100000辆、150000辆和250000辆，公司质监部门计划从中抽取500辆进行检测，则下列说法正确的是(    )
A. 样本容量为500
B. 采用简单随机抽样比分层随机抽样合适
C. 应采用分层随机抽样，三个批次的汽车被抽到的概率不相等
D. 应采用分层随机抽样，三个批次分别抽取100辆、150辆、250辆
12. 已知圆锥PO(P为圆锥顶点，O为底面圆心)轴截面PAB是边长为2的等边三角形，则下面选项正确的是(    )
A. 圆锥PO的表面积为3π
B. 圆锥PO的内切球半径为 33
C. 圆锥PO的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为 32
D. 若C为PB的中点，则沿圆锥PO的侧面由点A到点C的最短路程是 3
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数z=3−m+(m+1)i(i为虚数单位)为纯虚数，则实数m=          ．
14. 已知直线l与平面α所成角为30°，若直线m⊂α，则l与m所成角的最小值为          ．
15. 某小区12户居民四月份月用水呈(单位：t)分别为：
5.4 13.6 6.8 7.7 16.8 3.5
10.5 7.1 20.5 4.9 15.2 11.1
则所给数据的第75百分位数是          ．
16. 为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组：[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求高一学生身高的平均数和中位数的估计值．
18. (本小题12.0分)
已知向量a=(2,−1)，b=(3,1)，c=(3,2)．
(1)若a+λb与c平行，求λ的值；
(2)求与a垂直的单位向量的坐标．
19. (本小题12.0分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1  的边长为2，E、F分别为AD1，CD1  的中点．

(1)求证：EF//平面ABCD；
(2)求异面直线EF与B1C1所成角的大小．

20. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，AC交BD于点O，点E为PB的中点，且PA=PC，PB=PD．
(1)求证：PO⊥AB；
(2)若PO=2，求三棱锥A−BCE的体积．

21. (本小题12.0分)
坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56．
(1)求抽取的总样本的平均数；
(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差．
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：n1，x−，s12，n2，y−，s22.记总样本的平均数为ω−，样本方差为s2，s2=1n1+n2{n1[s12+(x−−ω−)2]+n2[s22+(y−−ω−)2]}
22. (本小题12.0分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B，A1C的中点，D为B1C1上的点，且A1D⊥B1C.
(1)求证：平面A1FD⊥平面BCC1B1；
(2)若三棱柱所有棱长都为a，求二面角A1−B1C−C1的平面角的正切值．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查共轭复数的概念以及复数代数形式的四则运算，属于基础题．
直接利用复数代数形式的四则运算即可求解．
【解答】
解：∵z=2+i，
∴z(z−−i)=(2+i)(2−2i)=4−4i+2i+2=6−2i，
故选：C．
  
2.【答案】B 
【解析】解：AB⋅BC=|AB||BC|cos(π−∠ABC)=2×2×cos120°=−2．
故选：B．
直接利用向量的数量积公式求解即可．
本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：A.若m⊥n，n//α，则m⊥α或m⊂α或m//α，故A错误．
B.若m//β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m//α，故B错误．
C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．
D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m//α，故D错误．
故选：C
根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．
本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．

4.【答案】C 
【解析】解：由题，由对立事件的定义，“至少有2个黑球”与“至多有1个黑球”对立，
故选：C．
根据对立事件的定义判断即可．
本题主要考查对立事件，属于基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：∵三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形，
∴直观图的面积是12×2×2×sin60°= 3，
由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系S直观图S原图= 24，
∴直观图的面积为 24× 34×22= 64，
故选：B．
求出直观图三角形的面积，利用平面图形的面积是直观图面积的2 2倍，求出直观图的面积即可．
本题考查平面图形的三视图，由三视图还原实物图，是一个简单的计算题目，解题的关键是对于这两个对应的图形的面积之比要掌握．两个面积可以互相推出．

6.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查方差的求法，考查方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用方差的性质直接求解．
【解答】
解：∵数据x1，x2，⋯，xn的方差为2，
∴2x1−3，2x2−3，…，2xn−3的方差为：22×2=8．
故选：D．
  
7.【答案】D 
【解析】解：利用正弦定理：ACsinB=BCsinA，
由于BC=3，AC=5，sinA=13，
解得：sinB=59，
由于b>a，
所以cosB=±2 149．
故选：D．
直接利用正弦定理的应用求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

8.【答案】C 
【解析】解：如图所示，
设圆锥的底面半径为r，则2πr=18×2π3，得r=6．
则圆锥的高h= 182−62=12 2．
所以圆锥的体积V=13π×62×12 2=144 2π.
故选：C．
画出图形，由展开后所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得底面半径，再求出圆锥的高，代入圆锥体积公式求解即可．
本题考查了圆锥体积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

9.【答案】CD 
【解析】解：对于A，1−i的虚部为−1，故A错误，
对于B，|1−i|= 12+(−1)2= 2，故B错误，
对于C，(1−i)2=−2i是纯虚数，故C正确，
对于D，1−i在复平面内对应的点(1,−1)位于第四象限，故D正确．
故选：CD．
根据已知条件，结合虚部和纯虚数的定义，复数模公式，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查虚部和纯虚数的定义，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．

10.【答案】AC 
【解析】解：对于A：若A为锐角，则cosA=b2+c2−a22bc>0，则b2+c2>a2，故A正确；
对于B：由于A为锐角，则b2+c2>a2，故B错误；
对于C：由于sinA>sinB，利用正弦定理：a>b，故C正确；
对于D：由于C正确，故D错误．
故选：AC．
直击利用余弦定理的应用判断A和B的结论，直接利用正弦定理判断C和D的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形的边角关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

11.【答案】AD 
【解析】
【分析】
本题考查了简单随机抽样的理解与应用，样本容量的概念以及分层抽样的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
利用样本容量的定义判断选项A，由分层抽样的定义以及分层抽样的特点判断选项BCD．
【解答】
解：因为抽取500辆进行检测，所以样本容量为500，故选项A正确；
因为汽车分为三个型号，故应该采用分层抽样比较合适，故选项B错误；
由分层抽样的定义可知，三个批次的汽车被抽到的概率都是相同的，故选项C错误；
设三种型号的车依次抽取x，y，z辆，
则有x100000=y150000=z250000x+y+z=500，
解得x=100，y=150，z=250，
所以三个批次分别抽取100辆、150辆、250辆，故选项D正确．
故选：AD．
  
12.【答案】ABC 
【解析】解：圆锥PO(P为圆锥顶点，O为底面圆心)轴截面PAB是边长为2的等边三角形，
对于A，圆锥PO的表面积为：
S=πr2+πrl=π×12+π×1×2=3π，故A正确；
对于B，如图，圆锥OP的高h= 22−12= 3，圆锥底面圆半径r=1，

∴圆锥PO的内切球半径为：
R=rh( h2+r2−r)=1 3( 3+1−1)= 33，故B正确；
对于C，如图，OB=1，PB=2，PO= 3，则∠OPB=30°，

设CD=R，则0