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人教版数学小升初暑假衔接 专题04 平面图形的面积问题（原卷版+解析版）
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专题04 平面图形的面积问题
在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理等等。难度自不必说，思维的层次也大为不同。甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。
求几何图形面积常见方法及运用：
1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）容斥原理（韦恩图）等。
公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。
割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。
和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。
等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比来表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的是抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或者随便求出直角边的平方。
考点1、割补法求面积（一）平移与对称
【解题技巧】常见模型
图形
转化后的图形
秘籍计算方法
例1．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】8平方厘米
【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米）
例2．（2022春·吉林·六年级统考期末）如图：求阴影部分的面积。（取3.14，单位：厘米）
【答案】4平方厘米
【分析】通过观察图形可知，把阴影部分通过“旋转”或“割补”法，把阴影部分拼成三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出大三角形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积。
【详解】如图：4×4÷2÷2＝16÷2÷2＝8÷2＝4（平方厘米）
变式1．（2023秋·北京西城·五年级统考期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（ ）cm2。
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】如图：观察图形可知，三角形ABC左右两边的涂色小三角形完全一样，把左边的涂色小三角形平移至右边，与右边涂色小三角形组合成一个与①一样大的三角形；这样三角形ABC平均分成4份，涂色部分占其中的一份；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积，再除以4即是涂色部分的面积。
【详解】6×4÷2＝24÷2＝12（cm2） 12÷4＝3（cm2） 图中涂色部分的面积是3cm2。故答案为：D
【点睛】本题考查三角形面积公式的运用，关键是利用割补法，把涂色部分平移到一起，得出涂色部分与大三角形ABC面积之间的关系。
变式2．（2023春·全国·六年级专题练习）求阴影部分面积。（单位：厘米）
【答案】16平方厘米
【分析】把右边那个小块的阴影部分移到左边，两部分的阴影部分组合起来，如图：
形成一个平行四边形，平行四边形的底边长是4厘米，高等于圆的半径，也等于4厘米，再利用平行四边形的面积公式即可得解。
【详解】4×4＝16（平方厘米）
变式3．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·六年级统考期末）求下图中阴影部分的面积（单位：cm）。
【答案】39.25cm2
【分析】如图所示，右边阴影部分的面积和左边两个空白部分的面积相等，则整个阴影部分的面积等于直径10cm的圆面积的一半，据此解答。
【详解】3.14×（10÷2）2÷2＝3.14×25÷2＝78.5÷2＝39.25（cm2）
考点2、割补法求面积（二）旋转
【解题技巧】常见模型
图形
转化后的图形
秘籍计算方法
例1．（2023秋·四川绵阳·六年级校考期末）求阴影部分的面积。
【答案】
【分析】如上图，画出正方形的两条对角线，相交与O点，将1所在部分绕点O逆时针旋转到3的位置，将2所在的部分绕点O顺时针旋转到4的位置，可以发现，阴影部分的面积就是正方形面积的一半。据此解答。
【详解】＝ ＝ 阴影部分的面积是
例2．（2022春·浙江温州·六年级期末）求下图阴影部分面积。（单位：厘米）
【答案】22平方厘米
【分析】如图：通过平移，把上面的阴影部分补充到空白部分，下面的阴影部分可组成一个梯形，梯形的上底是4厘米，下底是7厘米，高是4厘米，根据梯形的面积公式，即可求出阴影部分的面积。
【详解】（4＋7）×4÷2＝11×4÷2＝22（平方厘米）
变式1．（2023春·山东青岛·六年级统考期末）求下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm）
（1） （2）
【答案】（1） 12.56cm2 （2） 28.26cm2
【分析】（1） 把右下角的三角形进行旋转，转到左上角，与左上角的阴影部分组成一个扇形，这样阴影部分的面积即是圆面积的。（2） 把右下角的三角形旋转至左上方，也就是把两块阴影部分转化成一个规则的图形——扇形，再计算面积。
【详解】（1）3.14×42×＝12.56（cm2） （2）3.14×62×＝28.26（cm2）
变式2．（2023春·江苏连云港·六年级专题练习）如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是( )平方厘米。
【答案】9
【分析】标注字母并作出辅助线，如图：根据正方形的性质可得OA＝OC，△AOB和△COD形状大小完全相同，可以将△COD割补到△AOB的位置，因此重叠部分面积就是正方形面积的。
【详解】根据分析可知，重叠部分面积：6×6＝36＝9（平方厘米）
如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是9平方厘米。
【点睛】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答。
考点3、和差法求面积
【解题技巧】常见模型
图形
转化后的图形
秘籍计算方法
例1．（2022秋·新疆阿勒泰·六年级统考期末）如图所示，阴影部分的面积是______cm2。
【答案】8.41
【分析】如图：1的面积＋2的面积＋3的面积＝大圆的面积的一半，3的面积＋4的面积＋5的面积＝小圆的面积的一半，小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半＝1的面积＋2的面积＋3的面积×2＋4的面积＋5的面积，阴影部分的面积＝1的面积＋3的面积＋5的面积，小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半－（2的面积＋3的面积＋4的面积）＝1的面积＋3的面积＋5的面积＝阴影部分的面积，而2的面积＋3的面积＋4的面积＝三角形的面积，所以阴影部分的面积＝小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半－三角形的面积，据此解答。
【详解】3.14×（6÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2－6×4÷2＝3.14×32÷2＋3.14×22÷2－24÷2
＝3.14×9÷2＋3.14×4÷2－12＝14.13＋6.28－12＝20.41－12＝8.41（平方厘米）
即阴影部分的面积是8.41平方厘米。
【点睛】此题整体较难，关键是找到阴影部分的面积与圆的面积、三角形的面积之间的关系，利用圆的面积和三角形的面积公式，求出结果。
例2．（2022秋·陕西咸阳·六年级校考期末）计算下面图形阴影部分的面积。
【答案】32.25cm2
【分析】由图可知，阴影部分的面积＝圆的面积－中间空白的面积＋两个拐角部分的面积，圆的面积公式：S＝πr2，中间空白部分面积＝半径为10cm的半圆的面积－正方形的面积，两个拐角的面积＝（正方形的面积－圆的面积）÷2，正方形的面积＝边长×边长，据此解答即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝21.5＋10.75
＝32.25（cm2）
变式1．（2023秋·四川乐山·六年级统考期末）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圆的直径，A为扇形ADC的圆心，求阴影部分的面积是多少平方厘米。（结果用π表示）
【答案】（4π－8）平方厘米
【分析】如图：
通过图形可知，①＋②＝一个半径是4厘米，圆心角是45°的扇形面积，②＋③＋④＝一个直径是4厘米的半圆面积，①＋②＋③＝底和高都是4厘米的等腰直角三角形面积，阴影部分面积＝②＋④，（①＋②）＋（②＋③＋④）－（①＋②＋③）＝②＋④，通过推算可知，阴影部分的面积＝一个半径是4厘米，圆心角是45°的扇形面积＋一个直径是4厘米的半圆面积－底和高都是4厘米的等腰直角三角形面积，根据扇形面积＝πr2×，圆面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2，用π×42×＋π×（4÷2）2×－4×4÷2即可求出阴影部分的面积。
【详解】π×42×＋π×（4÷2）2×－4×4÷2＝π×42×＋π×22×－4×4÷2
＝π×42×＋π×22×－4×4÷2＝π×16×＋π×4×－4×4÷2＝2π＋2π－8＝（4π－8）平方厘米
阴影部分的面积是（4π－8）平方厘米。
【点睛】明确阴影部分的面积可以由哪些规则图形计算得出是解答本题的关键。
变式2．（2022·辽宁沈阳·六年级校考期末）直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，厘米，AB有多长？
【答案】32.8厘米
【分析】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圆的一部分，甲乙分别加上空白部分，差不变。阴影甲比乙的面积大28平方厘米，所以三角形ABC比半圆面积多28平方厘米。求出三角形ABC面积，利用三角形面积公式倒推AB边长度即可。
【详解】3.14×（）2＝1256（平方厘米）
1256÷2＝628（平方厘米）
628＋28＝656（平方厘米）
656×2＝1312（平方厘米）
1312÷40＝32.8（厘米）
答：AB有32.8厘米长。
【点睛】本题的关键是结合同加同减差不变的规律找出规则图形的面积差，把不规则转换成规则。
变式3．（2023秋·河南南阳·六年级统考期末）如图，半圆的圆心为O，AB＝4厘米，以A为圆心，AB为半径画一个圆心角为45°的扇形，图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】1.14
【分析】阴影部分的面积＝AB为半径的扇形面积－圆的面积－等腰直角三角形的面积，据此列式计算。
【详解】3.14×42×－3.14×（4÷2）2×－（4÷2）×（4÷2）÷2
＝3.14×16×－3.14×22×－2×2÷2
＝6.28－3.14×4×－2
＝6.28－3.14－2
＝1.14（平方厘米）
图中阴影部分的面积是1.14平方厘米。
【点睛】关键是看懂图示，掌握并灵活运用扇形面积公式。
考点4、整体代换法
【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。
例1．（2022秋·湖北武汉·六年级统考期末）如图中阴影部分的面积是40平方厘米，图中大圆的面积比小圆的面积大( )平方厘米。
【答案】251.2
【分析】假设大圆的半径为R，小圆的半径为r，用含有字母的算式表示图中阴影部分的面积，求出R2－r2的差，进一步求出大圆面积比小圆面积大出的面积。
【详解】可以设大圆的半径为R，小圆的半径为r，
R2÷2－r2÷2＝40
（R2－r2）÷2＝40
（R2－r2）÷2×2＝40×2
R2－r2＝80
大圆面积比小圆面积大出的面积：
（R2－r2）×π
＝80×3.14
＝251.2（平方厘米）
大圆面积比小圆面积大251.2平方厘米.
【点睛】本题运用三角形的面积公式及圆的面积公式进行解答即可。
例2.（2021·四川成都·六年级期末）如图，已知阴影三角形的面积是50dm²，则圆的面积是( )dm²。
【答案】314
【详解】三角形的面积是50dm²，即r²÷2＝50，r²＝100。圆的面积为πr²＝3.14×100＝314（dm²）
例3．（2023·广东·六年级期中）如图：（1）若大正方形的面积是20平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。（2）若小正方形的面积是20平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。
【答案】 15.7 31.4
【分析】（1）圆的直径应该等于大正方形的边长，正方形的面积已知，从而可以求出半径的平方，进而可以求出圆的面积。（2）小正方形的对角线等于圆的直径，设圆的半径为r，则可以表示出正方形的面积，正方形的面积已知，进而求出正方形的面积与半径的关系，即可解决问题。
【详解】（1）3.14×（20÷4）＝3.14×5＝15.7（平方厘米）
（2）设圆的半径为r，则正方形的面积：2r×r÷2×2＝2r2
2r2＝20 r2＝10（厘米）
圆的面积：π＝3.14×10＝31.4（平方厘米）
【点睛】解答此题的关键是：弄清楚所求图形面积可以由哪些规则图形的面积和或差求解。
变式1．（2022·湖北武汉·六年级校考期末）下图中环形的面积是314平方厘米，阴影部分的面积是( )。
【答案】100平方厘米/100cm2
【分析】由图可知，大圆的半径等于大正方形的边长，小圆的半径等于小正方形的边长，利用环形的面积公式“”求出大圆半径的平方与小圆半径的平方的差，正方形的面积＝边长×边长，阴影部分的面积＝大圆半径的平方－小圆半径的平方，据此解答。
【详解】314÷3.14＝100（平方厘米）
所以，阴影部分的面积是100平方厘米。
【点睛】掌握并灵活运用环形的面积计算公式是解答题目的关键。
变式2．（2023·江苏常州·校考小升初模拟）在图中正方形的面积是5平方厘米，则图中阴影部分面积为（ ）平方厘米。
A．5－π B．5－π C．π D．π
【答案】A
【分析】阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；因为正方形的面积是5平方厘米，则圆的半径的平方等于5，据此解答。
【详解】5－×5＝5－（平方厘米）故答案为：A
【点睛】本题主要考查求不规则图形的面积，解答本题的关键是由正方形的面积是5平方厘米，得出圆的半径的平方等于5。
考点5、等积变换法求面积
【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。
例1．（2023春·广东广州·六年级专题练习）下图中三角形ABC的面积30平方厘米，高是6厘米，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】45平方厘米
【分析】阴影部分是一个梯形，先根据三角形的面积公式，用三角形ABC的面积×2÷6，求出三角形ABC的底边长BC的长度，即梯形的下底长度，再根据梯形的面积公式，代入数据即可求出阴影部分的面积。
【详解】30×2÷6＝10（厘米） （5＋10）×6÷2＝15×6÷2＝45（平方厘米）
即阴影部分的面积是45平方厘米。
例2．（2022·重庆沙坪坝·统考小升初真题）如图，在梯形ABCD中，上底长是下底长的一半，点E是CB的的中点，点F是AE线段的中点，阴影部分是梯形面积的几分之几？
【答案】
【分析】假设梯形的下底是10厘米，高为8厘米，因为上底长是下底长的一半，所以上底是（10÷2）厘米，根据三角形的面积公式，用10×8÷2即可求出△ABC的面积，已知点E是CB的的中点，则CE＝BE，所以△ABE和△ACE的底相等，高相同，根据三角形的面积公式，可知△ABE和△ACE的面积相等，因为△ABE的面积＋△ACE的面积＝△ABC的面积，所以用△ABC的面积÷2即可求出△ACE的面积；已知点F是AE线段的中点，则AF＝EF，所以△ACF和△CEF的底相等，高相同，根据三角形的面积公式，可知△ACF和△CEF的面积相等，因为△ACF的面积＋△CEF的面积＝△ACE的面积，所以用△ACE的面积÷2即可求出△ACF的面积；再根据梯形的面积公式求出梯形ABCD的面积，最后根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用△ACF的面积除以梯形ABCD的面积，即可求出阴影部分是梯形面积的几分之几。
【详解】假设梯形的下底是10厘米，高为8厘米，上底： 10÷2＝5（厘米）
△ABC的面积：10×8÷2＝40（平方厘米） △ACE的面积：40÷2＝20（平方厘米）
△ACF的面积：20÷2＝10（平方厘米） 梯形的面积：（10＋5）×8÷2＝15×8÷2＝60（平方厘米）
10÷60＝ 答：阴影部分是梯形面积的。
【点睛】本题可用假设法解决问题，然后根据三角形的面积公式和梯形的面积公式解答即可。
变式1．（2023春·浙江·六年级专题练习）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是( )平方厘米。
【答案】6
【分析】如图：根据题意得BD＝BC＝6厘米，AD＝AB－BD＝10－6＝4厘米，因为三角形ADE的面积＝×AD×DE，三角形BDE的面积＝×BD×DE，所以三角形ADE的面积∶三角形BDE的面积＝AD∶BD＝4∶6＝2∶3，又因为三角形ABC的面积＝×6×8＝24（平方厘米），所以三角形ADE的面积＝＝6（平方厘米）。
【详解】根据分析得，BD＝6（厘米） AD＝10－6＝4（厘米）
三角形ADE的面积∶三角形BDE的面积∶三角形BCE＝AD∶BD∶BC＝4∶6∶6＝2∶3∶3
三角形ABC的面积＝×6×8＝24（平方厘米） 三角形ADE的面积＝＝6（平方厘米）
【点睛】此题主要考查等底等高的三角形面积相等，关键是找准面积的比。
变式2．（2023春·湖北黄冈·六年级校考期中）如图，的面积为14平方厘米，，，阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】6
【分析】如图，连接DF，因为AE＝ED，所以三角形AEF与三角形DEF的面积相等，即阴影部分的面积就是三角形FDC的面积。同理，三角形ACE与三角形DCE的面积相等。
所以三角形CDF与三角形CAF的面积相等。因为，所以三角形CDF的面积是三角形BDF的面积的3倍，所以三角形ABC的面积是三角形BDF的面积的7倍，阴影部分面积占三角形ABC面积的，根据分数乘法的意义，求出阴影部分的面积即可。
【详解】14×＝6（平方厘米） 阴影部分的面积是6平方厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用三角形面积公式，通过辅助线确定阴影部分和三角形ABC的关系，整体数量×部分对应分率＝部分数量。
变式3．（2023·河北·小升初模拟）在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形EFGO的面积是9平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】69平方厘米
【详解】试题分析：由图示得：其中△DBF和△AFC是等高的三角形，所以2个三角形面积和=（BF+CF）×AB÷2=BC×AB÷2，又因为四边形EFGO在两个三角形中，重复减了两次，要再加上一次，阴影部分面积=长方形ABCD的面积﹣（△DBF的面积+△AFC的面积）+9．
解：15×8﹣15×8÷2+9=120﹣60+9=69（平方厘米）．
答：阴影部分的面积是69平方厘米．
点评：解决本题的关键是找到关系式：阴影部分面积=长方形ABCD的面积﹣（△DBF的面积+△AFC的面积）+9．
考点6、容斥原理（韦恩图）
【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。
例1.是边长为4的正方形，分别以、、、为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________
解析：根据容斥原理，观察可发现：计算四个半圆的面积和，阴影部分重叠计算一次，所以，四个半圆的面积和减去正方形面积即为阴影部分面积。阴影部分的面积为：
例2.（2022·河南南阳·六年级期末）如图，直角三角形三条边分别为3厘米、4厘米5厘米，分别以三边为直径画半圆，图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】6
【分析】如图：可先用大半圆的面积减去直角三角形的面积，得到的是①＋②的面积；再用中半圆与小半圆面积之和减去（①＋②）的面积，就是阴影部分面积。
【详解】S半中＝（）2×3.14÷2＝6.28（cm2） S半小＝（）2×3.14÷2＝3.5325（cm2）
S三角＝×3×4＝6（cm2） S半大＝（）2×3.14÷2＝9.8125（cm2）
S阴＝S半中＋S半小－（S半大－S三角）＝6.28＋3.5325－（9.8125－6）＝6（cm2）
【点睛】本题较为复杂，①＋②的面积既是大半圆面积的一部分，同时也是中半圆和小半圆面积的一部分，所以要先清楚几个半圆的面积的关系，再计算；同时计算量也很大，要有一定的耐心。
变式1.如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积．(取3)
解析：利用容斥原理(平方厘米)
变式2.在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？
【解析】根据容斥原理得，所以（平方厘米）
A级（基础过关）
1．（2023秋·四川乐山·六年级统考期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，把一幅七巧板按如图①所示进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块。图②所示的“天鹅”是由这幅七巧板拼成的，“天鹅”头颈由3号和6号块构成，其面积为3，则图①大正方形的边长为（ ）。
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】由七巧板可知，6号块的面积是3号块面积的2倍，已知“天鹅”头颈由3号和6号块构成，其面积为3，则3号块的面积是1，6号块的面积是2；由此推出5号块面积是1，4号块和7号块的面积是2；可得出3、4、5、6、7号块的面积一共是（1＋2＋1＋2＋2）；它们的面积和正好是图①大正方形面积的一半，由此求出正方形的面积；然后根据正方形的面积＝边长×边长，推出正方形的边长。
【详解】已知“天鹅”头颈由3号和6号块构成，其面积为3，则3号块的面积是1，6号块的面积是2；
3、4、5、6、7号块的面积一共是1＋2＋1＋2＋2＝8；正方形的面积是：8×2＝16
因为16＝4×4，所以图①大正方形的边长为4。故答案为：C
【点睛】发现七巧板各部分之间的面积关系是解题的关键。
2．（2023春·江苏南京·六年级专题练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，则图中涂色部分的面积占原正方形面积的（ ）。
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，涂色部分的面积＝正方形的面积－三角形ADE的面积－三角形EFC的面积－三角形ABF的面积；假设正方形的边长为2，那么三角形ADE的高为2，底为2÷2＝1；三角形EFC的高为2÷2＝1，底为2÷2＝1；三角形ABF的高为2，底为2÷2＝1；根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，求出阴影部分的面积，然后再除以正方形的面积即可。
【详解】假设正方形的边长为2；
阴影部分的面积：2×2－（2÷2）×2÷2－（2÷2）×（2÷2）÷2－（2÷2）×2÷2
＝4－1×2÷2－1×1÷2－1×2÷2＝4－1－0.5－1＝1.5
1.5÷（2×2）＝1.5÷4 涂色部分的面积占原正方形面积的。 故答案为：D
【点睛】解答求组合图形的面积，关键是观察分析图形是由那几部分组成的，是求各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答。
3．（2022·北京丰台·六年级统考期末）如图，计算阴影部分面积，下面列式正确的是（ ）。（图中每个小正方形格的边长是1）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图中可得到：外面大圆的直径是6个小正方形方格，即为6；大圆中的两个白色半圆可旋转拼接为一个圆形，直径为4个小正方形方格，即为4。根据圆形面积＝πr2，阴影部分面积＝大圆面积−小圆面积，即可得出答案。
【详解】根据图中可得到阴影部分面积：故答案为：B
【点睛】本题主要考查的是组合图形的面积，解题的关键是熟知圆面积计算公式及方格图中圆的直径，进而得出答案。
4．（2023·重庆·六年级期末）如图所示，将半径为4cm和5cm的两个半圆形叠放在一起，，为圆心。阴影部分的总周长为（ ）cm。
A．19.42 B．34.26 C．37.26 D．38.26
【答案】D
【分析】由图可知，阴影部分的周长＝小圆周长的一半＋小圆的半径＋大圆周长的一半＋大圆半径＋大圆半径与小圆半径的差，已知两圆各自的半径，用公式：圆周长的一半＝πr，分别计算出数量关系中的长度再相加即可，据此解答。
【详解】根据分析：4×3.14＋4＋5×3.14＋5＋（5－4）
＝12.56＋4＋15.7＋5＋1＝16.56＋15.7＋6＝32.26＋6＝38.26（cm）
所以，这个阴影部分的总周长为38.26cm。故答案为：D
【点睛】此题考查了求阴影部分的周长，关键计算时不能数漏边数。
5．（2023·江苏苏州·六年级小升初模拟）如图，在一个上底和下底分别是10、20的梯形中，阴影部分面积为40平方厘米，则空白部分的面积是（ ）平方厘米。
A．20 B．40 C．60
【答案】A
【分析】三角形的面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。
【详解】方法一：空白部分面积＝梯形面积－三角形面积
三角形面积：40平方厘米，梯形的高和三角形的高一样：40×2÷20＝4（厘米）
梯形面积：（10＋20）×4÷2＝60（平方厘米）
空白部分面积：60－40＝20（平方厘米）故答案为：A
【点睛】学生可以通过自己学习的水平选择一种方法来解答，可以按面积计算解答，也可以按比的知识解答。考查了学生各个基本平面图形面积计算知识。
6．（2022秋·山东滨州·六年级统考期末）我们在探究圆的面积公式时，经历了怎样的研究过程？（ ）
A．寻找关系→转化图形→推导公式 B．转化图形→推导公式→寻找关系
C．转化图形→寻找关系→推导公式 D．寻找关系→推导公式→转化图形
【答案】C
【分析】将圆分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形，然后寻找长方形的长、宽与圆的周长、半径之间的关系，长方形的面积等于圆的面积，由长方形的面积公式推导出圆的面积公式。
【详解】如图：
转化图形：把圆分成若干等份，剪开后再拼成一个近似的长方形；
寻找关系：拼成的长方形的长等于圆周长的一半，即πr；长方形的宽等于圆的半径r，长方形的面积等于圆的面积；推导公式：根据长方形的面积＝长×宽，可推导出圆的面积公式S＝πr×r＝πr2。
所以，在探究圆的面积公式时，经历了转化图形→寻找关系→推导公式。故答案为：C
【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程及运用。
7．（2022秋·辽宁沈阳·六年级校考期中）把一张圆形纸片剪拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是12.56厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。
A．25.12 B．50.24 C．100.48 D．200.96
【答案】B
【分析】把一个圆形纸片分成若干等份，然后拼成近似的长方形，长方形的长＝圆周长的一半，再根据圆周长的一半÷＝半径，代入数据先求出圆的半径，根据圆的面积公式：S＝，列式计算即可。
【详解】12.56÷3.14＝4（厘米） 3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）
即圆的面积是50.24平方厘米。故答案为：B
【点睛】关键是熟悉圆面积公式的推导过程，掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。
8．（2022秋·山东枣庄·六年级统考期末）下图阴影部分的面积是( )平方厘米。（单位：厘米）
【答案】32
【分析】如图作辅助线，把阴影部分面积转化为三角形的面积，则阴影部分面积是正方形面积的一半，据此解答。
【详解】由图可知，②和③面积相等，①和④面积相等
阴影部分面积是整个正方形面积的一半 8×8÷2＝64÷2＝32（平方厘米）
【点睛】分析图形把不规则图形的面积转化为基本图形的面积是解答题目的关键。
9．（2023·浙江宁波·五年级统考期末）计算下面阴影部分的面积。（单位：厘米）
（1） （2）
【答案】（1）63平方厘米（2）36平方厘米
【分析】（1）观察图形可知，阴影部分的面积合起来是一个梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。（2）观察图形可知，阴影部分是两个三角形，两个三角形的面积都等于一个底是6厘米、高是8厘米的大三角形的面积减去一个底是6厘米、高是2厘米的小三角形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个阴影三角形的面积，再乘2即可。
【详解】（1）（5＋13）×7÷2＝18×7÷2＝126÷2＝63（平方厘米）
阴影部分的面积是63平方厘米。
（2）6×8÷2－6×2÷2＝48÷2－12÷2＝24－6＝18（平方厘米）
18×2＝36（平方厘米） 阴影部分的面积是36平方厘米。
10．（2022春·湖南永州·六年级统考期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】9.42平方厘米
【分析】经过平移后，如图：大圆的半径为2厘米，空白小圆的半径为（2÷2）厘米，利用圆的面积公式，分别计算大圆和空白小圆的面积，用大圆的面积减去空白小圆的面积，即是阴影部分的面积。
【详解】3.14×22－3.14×（2÷2）2＝3.14×4－3.14×1＝12.56－3.14＝9.42（平方厘米）
11．（2023春·全国·六年级小升初模拟）求下图中阴影部分的面积。（π取3.14）
【答案】57cm2
【详解】观察图形可知，两个阴影部分的面积相等，一个阴影部分的面积＝×半径是10cm圆的面积－空白直角三角形的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此求出一个阴影部分的面积再乘2即可。
【解答】＝314×－100÷2＝78.5－50＝28.5（cm2） 28.5×2＝57（cm2）
12．（2023秋·河北邢台·六年级校联考期末）求图中涂色部分周长和面积。（单位：cm）
【答案】周长是26.28 cm，面积是27.44cm2。
【分析】涂色部分的周长等于半径是4 cm的圆的周长的加上两条（4＋6）cm的线段的长；面积等于长方形面积减去圆的面积的。
【详解】3.14×4×2×＋（4＋6）×2＝6.28＋20＝26.28（cm） 4＋6＝10（cm）
10×4－3.14×42×＝40－12.56＝27.44（cm2）
组合图形的周长是26.28 cm，面积是27.44 cm2。
13．（2023秋·湖北十堰·六年级统考期末）计算下面阴影部分面积。（单位：cm）
【答案】15.25cm2
【分析】阴影部分的面积＝半圆的面积－三角形的面积，根据半圆的面积＝πr2÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据进行计算即可。
【详解】3.14×（10÷2）2÷2－6×8÷2＝3.14×25÷2－48÷2＝78.5÷2－24＝39.25－24＝15.25（cm2）
阴影部分的面积是15.25cm2。
14．（2022·广西玉林·统考小升初真题）为了增加百姓的休闲活动空间，某社区准备新建一个口袋公园。右图左侧的正方形是口袋公园的平面设计图，空白部分为活动区域（是4个完全相同的扇形），阴影部分为绿植区域。
（1）以正方形中心O点为观测点，A点在正（ ）方向上，距离是（ ）米；B点在（ ）°方向上。
（2）绿植区域的图形共有（ ）条对称轴。绿植区域的面积是（ ）平方米。
（3）在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上面右侧正方形中用圆规画出你的新设计图（如没有新设计，也可以画出原设计图），并将绿植区域涂上阴影。
【答案】（1）北；10；东偏北45；（2）4；86；（3）见详解
【分析】（1）根据图上确定方向的方法：上北下南，左西右东，结合图示确定各点的位置，以正方形的中心点为观测点，A点在正北方向，距离为正方形边长的一半，即20÷2＝10（米），根据正方形的特点，以A点为观测点，根据方向和角度确定B点的位置，可得B点在东偏北45°方向上，据此解答即可。
（2）绿植部分的面积等于正方形面积减掉以20米为直径的圆的面积，利用正方形面积公式：S＝a2，以及圆的面积公式：S＝r2，计算其面积即可。根据图形的特点可知，它有4条对称轴。
（3）根据图形的特点，设计在正方形中去掉一个以正方形边长为直径的圆，作为绿植区域即可。
【详解】（1）20÷2＝10（米）
即以正方形中心O为观测点，A在正北方向上，距离是10米；B在东偏北45度方向上。
（2）20×20－3.14×（20÷2）2＝400－3.14×102＝400－3.14×100＝400－314＝86（平方米）
即绿植区域共有4条对称轴，它的面积是86平方米。
（3）如图：
【点睛】本题主要考查根据方向、距离确定物体的位置，同时考查阴影部分的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式计算。
15．（2022秋·河南南阳·六年级统考期末）图中平行四边形的面积是18平方厘米，高是3厘米，求图中阴影部分的面积是多少？
【答案】37.68平方厘米
【分析】观察图形可知，阴影部分是一个扇形，扇形的半径等于平行四边形高3厘米对应的底边长；根据平行四边形的底＝面积÷高，即可求出高3厘米对应的底边长，即扇形的半径。
从图中可知，扇形的圆心角是180°－60°＝120°，那么这个扇形占整个圆的，根据圆的面积公式S＝πr2，求出整个圆的面积，再乘，即是阴影部分的面积。
【详解】平行四边形的底（圆的半径）：18÷3＝6（厘米）
扇形的圆心角：180°－60°＝120°
扇形的面积：3.14×62×＝3.14×36×＝3.14×12＝37.68（平方厘米）
答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。
【点睛】本题考查平行四边形面积公式的灵活运用，以及扇形面积的计算；求出扇形的半径以及扇形面积占整个圆面积的几分之几是解题的关键。
16．（2023秋·重庆渝中·六年级统考期末）如下图，分别以长方形、平行四边形、梯形的四个顶点为圆心，画半径为2厘米的圆。琳琳说：这三个图形阴影部分的面积相等。你同意琳琳的说法吗？请说出你的理由。
【答案】同意；见详解
【分析】已知长方形、平行四边形、梯形的内角和都是360°，三个图形的阴影部分的圆心分别在长方形、平行四边形、梯形的四个顶点，都是半径为2厘米的扇形，正好可以组合成一个整圆，则三个图形阴影部分的面积都等于一个半径为2厘米圆的面积，据此解答。
【详解】三个图形阴影部分的面积都是：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）
答：我同意琳琳的说法。因为长方形、平行四边形、梯形的内角和都是360°，三个图形的阴影部分在四个角，角度和是360°，正好可以合成一个整圆，且半径均为2厘米，所
以三个图形阴影部分面积相等。
【点睛】根据四边形的内角和是360°，观察图形可知阴影部分可以合成一个圆是解题的关键。
17．（2022秋·陕西安康·六年级统考期末）计算下面图形阴影部分的周长和面积。
【答案】周长：50.24厘米；面积：50.24平方厘米
【分析】根据图可知，阴影部分的周长可以看作一个直径是8厘米的圆的周长和一个半径是8厘米的半圆弧的长度，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数代入公式即可求解；
阴影部分的面积可以看作一个半径是8厘米的半圆的面积减去一个直径是8厘米的圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数代入公式即可求解。
【详解】3.14×8＋3.14×8×2÷2＝25.12＋25.12＝50.24（厘米） 8÷2＝4（厘米）
3.14×8×8÷2－3.14×4×4＝100.48－50.24＝50.24（平方厘米）
所以阴影部分的周长是50.24厘米；面积是50.24平方厘米。
B级（能力提升）
1．（2023秋·福建龙岩·六年级统考期末）图中ABCD为正方形，E为AB的中点，阴影部分的面积是21cm2，正方形ABCD的面积是( )cm2。
【答案】56
【分析】如下图，把阴影部分分割成3个完全一样的小三角形，用阴影部分的面积除以3，求出一个小三角形的面积，然后乘4，即是正方形面积的一半，再乘2，求出正方形的面积。
【详解】如图：21÷3＝7（cm2） 7×4×2＝28×2＝56（cm2） 正方形ABCD的面积是56cm2。
【点睛】把求正方形的面积转化到求三角形的面积上，把阴影部分平均分成3个小三角形，而正方形的一半是4个同样的小三角形，求出一个小三角形的面积是解题的关键。
2．（2023秋·山东潍坊·六年级校考期末）下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填。
如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用π表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：三角形的底是圆的周长的（ ），表示为（ ），三角形的高是圆的半径的（ ）倍，表示为（ ），圆形和三角形的（ ）相等。请你根据三角形的面积公式推理出圆的面积公式，并写出推导过程。
【答案】；；4；4r；面积；见详解
【分析】从图中可以看出，拼成的近似三角形的底是圆周长的，根据圆的周长公式C＝2πr得出三角形的底是；三角形的高是圆的半径的4倍，即高是4r；因为圆的面积等于三角形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，即可推导出圆的面积公式。
【详解】如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用π表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：三角形的底是圆的周长的，表示为，三角形的高是圆的半径的4倍，表示为4r，圆形和三角形的面积相等。
三角形的面积＝底×高÷2 圆的面积＝×4r÷2＝πr2 所以，圆的面积S＝πr2。
【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程的应用，把圆剪拼成一个近似三角形，找出三角形的底、高与圆周长、半径的关系是解题的关键。
3．（2023春·江苏无锡·六年级专题练习）芳芳用一张长10厘米的长方形纸如右图进行翻折，折出的平行四边形面积比原来少了15平方厘米。这张长方形纸的宽是( )厘米，折成的平行四边形的面积是( )平方厘米。
【答案】 5 35
【分析】通过观察图形可知，折成的平行四边形比原来长方形的面积减少了15平方厘米，面积减少的部分是两个完全一样三角形的面积，已知每个三角形的底是3厘米，三角形的高等于原来长方形的宽，这两个完全一样的三角形可以拼一个长方形，根据长方形的面积＝长×宽，那么宽＝面积÷长，把数据代入公式求出长方形原来的宽，用原来长方形的面积减去15平方厘米就是折成的平行四边形的面积。
【详解】15÷3＝5（厘米） 10×5－15＝50－15＝35（平方厘米）
所以，这张长方形纸的宽是5厘米，折成的平行四边形的面积是35平方厘米。
【点睛】此题主要考查长方形的面积公式、平行四边形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。重点是求出原来长方形的宽。
4．（2023春· 重庆六年级月考）如图所示的纸带，( )是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，( )（填“能”或“不能”）吃到纸带内的面包屑。
【答案】 ② 不能
【分析】根据莫比乌斯带的特点：莫比乌斯带是把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈。可以判断，图②是莫比乌斯带；根据图①的特点，蚂蚁不爬过纸带的边缘，无法进入纸带的内部，也就无法吃到面包屑。据此解答。
【详解】如图所示的纸带，②是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，不能吃到纸带内的面包屑。
【点睛】此题考查了数学常识，应注意平时数学常识知识的积累。
5．（2023春·湖南邵阳·六年级统考期末）一个长30厘米、宽2分米的长方形，沿对角线对折后，得到下图所示几何图形，阴影部分的周长是( )厘米。
【答案】100
【分析】
如上图，因为图形沿BD对折，所以BE＝AB，DE＝AD，所以阴影部分的周长与长方形的周长相等。
【详解】2分米＝20厘米
根据分析可知：阴影部分的周长与长方形的周长相等，所以阴影部分的周长是：
（30＋20）×2＝50×2＝100（厘米）
【点睛】解答此题的关键是明白：阴影部分的周长就等于长方形的周长。
6．（2023春·江苏南通·六年级专题练习）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。
【答案】220
【分析】折叠后图形减少的面积等于三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽；据此解答即可。
【详解】20×22÷2＝440÷2＝220（平方厘米）
【点睛】本题考查了图形的折叠问题，动手折一折能更直观的看出减少部分面积就是三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽。
7．（2022·四川成都·成都嘉祥外国语学校校考小升初真题）如图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
【答案】22.26平方厘米
【分析】通过观察0图形可知，阴影部分的面积等于底是（6＋4）厘米，高是6厘米的三角形面积减去空白部分①的面积，空白部分①的面积等于边长6厘米的正方形面积减去半径6厘米的圆的面积的，根据圆的面积公式：S＝r2，正方形的面积公式：S＝a2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答。
【详解】三角形面积：（6＋4）×6÷2＝10×6÷2＝60÷2＝30（平方厘米）
空白部分①的面积：6×6－3.14×62÷4＝36－28.26＝7.74（平方厘米）
阴影部分面积：30－7.74＝22.26（平方厘米）
阴影部分的面积是22.26平方厘米。
8．（2023秋·河南南阳·六年级统考期末）如图，大半圆的直径为8厘米，求图中阴影部分的面积。
【答案】9.12平方厘米
【分析】如图，把下面两个阴影分别平移至左面和右面的阴影中，那么阴影部分的面积等于一个半径为（8÷2）厘米的半圆的面积减去一个底为8厘米，高为（8÷2）厘米的三角形的面积，分别利用圆、三角形的面积公式求出这两个图形的面积，再相减即可求出图中阴影部分的面积。
【详解】3.14×（8÷2）2÷2－8×（8÷2）÷2
＝3.14×42÷2－8×4÷2
＝3.14×16÷2－32÷2
＝25.12－16
＝9.12（平方厘米）
即图中阴影部分的面积是9.12平方厘米。
9．（2023春·六年级单元测试）求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】平方厘米
【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝梯形面积－三角形面积－圆的面积的；根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2；三角形面积公式：底×高÷2；圆的面积公式：S＝πr2；代入数据，即可解答。
【详解】（4＋6）×（4＋6）÷2－6×6÷2－3.14×42×
＝10×10÷2－36÷2－3.14×16×
＝100÷2－18－50.24×
＝50－18－12.56
＝32－12.56
＝19.44（平方厘米）
10．（2023秋·浙江杭州·六年级统考期末）如图，一枚半径是1厘米的游戏币沿着边长是4厘米的等边三角形的边绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？
【答案】36.56平方厘米
【分析】如图，它扫过的面积是3个边长4厘米，宽1×2厘米的长方形和一个圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式解答。
【详解】1×2＝2（厘米）
2×4×3＋3.14×22
＝24＋3.14×4
＝24＋12.56
＝36.56（平方厘米）
答：它扫过的面积是36.56平方厘米。
【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用长方形和圆的面积公式。
11．（2022春·全国·六年级统考期末）如果将直角三角形ABC绕A点逆时针旋转90°，可以形成下图。请根据图中数据，计算阴影部分的面积。
【答案】6.56平方厘米
【分析】观察题意可知，阴影部分的面积＝一个半径是4厘米的圆面积的－底为4厘米、高为3厘米的三角形面积；根据圆面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，用3.14×42×－4×3÷2即可求出阴影部分的面积。
【详解】3.14×42×－4×3÷2
＝3.14×16×－4×3÷2
＝12.56－6
＝6.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是6.56平方厘米。
【点睛】本题考查了圆面积公式和三角形面积公式的灵活应用，明确三角形逆时针扫过的面积是解答本题的关键。
12．（2023秋·湖北襄阳·六年级统考期末）我们已经学习了“外方内圆”（如下图1）的问题，现在让你继续研究，你会有新的发现。
（1）图1的阴影部分面积是多少？（列式计算）（2）图2的阴影部分面积是多少？（列式计算）（3）通过上面两个图形的计算，你是否有所发现？按你的发现，那么如图3这样正方形中有16个小圆，阴影部分的面积是（ ）。
【答案】（1）13.76平方厘米（2）13.76平方厘米（3）13.76平方厘米
【分析】（1）阴影部分的面积＝正方形面积－圆的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，代入数据进行计算即可；
（2）观察图形可得：图2的阴影部分面积＝正方形的面积－圆的面积×4，正方形的边长是4×2＝8，圆的直径是4，根据正方形面积公式S＝a2和圆的面积公式：S＝πr2进行解答；
（3）通过上面两个图形的计算，我发现阴影部分的面积相等，也就是在一张正方形里面画内切圆，无论画几个圆，剩下的面积相等，据此解答。
【详解】（1）8×8－3.14×（）2＝64－3.14×16＝64－50.24＝13.76（平方厘米）
（2）8×8－3.14×2×4＝64－12.56×4＝64－50.24＝13.76（平方厘米）
（3）通过上面两个图形的计算，我发现阴影部分的面积相等，也就是在一张正方形里面画内切圆，无论画几个圆，剩下的面积相等。
那么如图3这样正方形中有16个小圆，阴影部分的面积是13.76平方厘米。
【点睛】此题主要考查了圆与组合图形问题的应用，解答此题的关键是熟练掌握圆的面积公式。
13．（2023春·江苏·六年级小升初模拟）如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米。那么长方形（阴影部分）的面积是多少平方厘米？
【答案】24平方厘米
【分析】半圆面积为39.25平方厘米，则半圆所在的圆面积就是（39.25×2）平方厘米，根据圆面积计算公式“S＝πr2”，r2＝39.25×2÷3.14＝25，由于52＝25，由此得出半圆的半径是5厘米，进而求出半圆的直径为5×2＝10（厘米）；圆的面积为28.26平方厘米，同理可求出圆的半径，进而求出圆的直径；圆直径是阴影长方形的长，半圆直径减圆直径是阴影长方形的宽，根据长方形面积计算公式“S＝ab”即可求出阴影部分面积。
【详解】39.25×2÷3.14＝78.5÷3.14＝25 因为52＝25所心半圆的半径为5厘米；
半圆直径为5×2＝10（厘米） 28.26÷3.14＝9 因为32＝9 所以圆的半径为3厘米；
圆的直径为3×2＝6（厘米） 6×（10－6）＝6×4＝24（平方厘米）
答：长方形（阴影部分）的面积是24平方厘米。
【点睛】阴影部分是一个长方形，求出这个长方形的长、宽是关键，也是难点。长方形的长为圆的直径，宽为半圆直径与圆直径之差，根据圆面积计算公式即可求出半圆、圆的半径，进而求出直径。
14．（2023春·广东广州·六年级专题练习）求阴影部分的面积。
【答案】15.4平方厘米；36平方厘米
【分析】（1）观察图形可知：阴影部分的面积＝大半圆的面积＋小半圆的面积－三角形的面积（长方形的面积的一半），将数据代入计算即可求解；
（2）由题意可知：空白三角形为直角三角形，已知两条直角边和斜边的长，于是可以求出斜边上的高，也就是梯形的高。再根据“阴影部分的面积＝梯形的面积－空白三角形的面积”即可求解。
【详解】（1）3.14×（8÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2－4×8÷2
＝3.14×42÷2＋3.14×22÷2－32÷2
＝3.14×16÷2＋3.14×4÷2－16
＝50.24÷2＋12.56÷2－16
＝25.12＋6.28－16
＝31.4－16
＝15.4（平方厘米）
（2）6×8÷2×2÷10
＝48÷2×2÷10
＝24×2÷10
＝48÷10
＝4.8（厘米）
（10＋15）×4.8÷2－6×8÷2
＝25×4.8÷2－48÷2
＝120÷2－24
＝60－24
＝36（平方厘米）
15．（2022秋·山东济南·六年级统考期末）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，以AD为弧的扇形的面积是它所在圆面积的，求阴影部分的面积？
【答案】4.56平方厘米
【分析】根据图意可知，三角形ABC的两条直角边长都是4厘米，以AD为弧的扇形的面积对应的是一个以4厘米为半径的圆的面积的，用圆的面积乘即可表示；阴影部分的面积用以AC为直径的半圆的面积加上以4厘米为半径、圆心角是45°的扇形的面积，再减去三角形ABC的面积即可。
【详解】3.14×（4÷2）2÷2＋×3.14×42－4×4÷2
＝3.14×22÷2＋×3.14×16－8
＝3.14×4÷2＋6.28－8
＝6.28＋6.28－8
＝4.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是4.56平方厘米。
【点睛】本题主要考查了圆与组合图形的面积，将要求的面积合理分割，转化为规则图形的面积差是本题解题的关键。
16．（2023秋·河北邢台·六年级校联考期末）已知涂色部分的面积是12cm2，求圆环的面积。
【答案】37.68平方厘米
【分析】通过观察图形可知，大正方形的边长等于外圆的半径，小正方形的边长等于内圆的半径，根据正方形的面积公式：面积＝边长×边长，阴影部分的面积等于大小正方形的面积差，也就是外圆半径与内圆半径平方的差，再根据环形面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），把数据代入公式解答。
【详解】3.14×12＝37.68（平方厘米）
C级（培优拓展）
1.（2022·成都外国语学校附属小学小升初模拟）如图，正方形ABCD的边AB＝1，弧BD和弧AC都是以1为半径的圆弧，则无阴影的两部分的面积之差为( )。
【答案】π－1
【分析】正方形面积＝边长×边长，圆面积＝半径×半径×π，分别设4块面积为，表达出所需面积，通过面积之间转化即可求解。
【详解】根据如下图两个阴影部分设为、，左边空白的部分设为，右边空白的部分设为。
正方形面积＝＝1×1＝1；两个扇形面积＝＝1×1×π×＝π；
两个扇形面积－正方形面积＝－（）
＝－＝＝π－1
【点睛】此题考查图形面积之间的转化关系，关键通过等式推导出无阴影部分的两部分的面积差即是阴影部分面积。
2．（2022·山东·六年级期中）如图，在长方形ABCD中，M是CD边中点，DN是以点A为圆心的一段弧，KN是以点B为圆心的一段弧，AN=3厘米，BN=2厘米．则图中阴影部分的面积是 平方厘米．（π取3.14）
【答案】3.545
分析：运用长方形的长是（3+2），宽是3，△KCM的底是KC是（3﹣2），高CM的长度是（3+2）÷2，用长方形的面积分别减去两个扇形的面积与一个三角形的面积．
【详解】（3+2）×3﹣3.14×32×﹣3.14×22×﹣（3﹣2）×（3+2）÷2÷2，
=15﹣7.065﹣3.14﹣1.25，=3.545（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是3.545平方厘米．故答案为3.545．
点评：本题运用长方形的面积公式及三角形，扇形的面积公式进行计算即可．
3．（2023·福建莆田·六年级期末）两个小朋友用圆做剪纸游戏，一个小朋友将圆拼成一个近似长方形，另一个小朋友将圆剪成两个半圆贴在长方形上，如下图，如果长方形周长为16.56cm，那么S②比S①大( )平方厘米．
【答案】1.72
【分析】根据圆面积公式推导的过程：把一个圆分成若干等份，拼成的图形近似于长方形，这个长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽就是圆的半径，设圆的半径为rcm，根据长方形的周长公式可得（3.14r＋r）×2＝16.56， 解方程可求得圆的半径；
由于两个半圆的面积等于这个长方形的面积，所以S②比S①大的面积就是左上角和右上角的面积，如下图所示③，所以用边长为圆半径的正方形的面积减去－圆的面积除以4的商后，再乘2就是S②比S①大的面积；据此解答。
【详解】设圆的半径为r厘米。
（3.14r＋ r）×2＝16.56
8.28r＝16.56
r＝2
2×2－3.14×22÷4 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米）
0.86×2＝1.72（平方厘米） S②比S①大1.72平方厘米。
【点睛】解答此题的关键是根据圆的周长与拼成的长方形周长之间的关系确定圆的半径，然后再根据圆的面积公式进行计算即可。
4．（2023·陕西西安·小升初模拟）在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，四边形AOCD的面积占正方形ABCD面积的( )。
【答案】
【分析】连接OB，设正方形的边长为1，求出各个三角形的面积，间接求出四边形AOCD的面积再除以正方形ABCD的面积即可。
【详解】设正方形的边长为1，连接OB，根据题意可知SΔOAE＝SΔOEB、SΔOCF＝SΔOFB，又根据正方形的对称性可知SΔOEB＝ SΔOFB，且SΔABF＝1× ÷2＝ ，所以SΔOAE＝SΔOEB＝SΔOCF＝SΔOFB＝÷3＝ 四边形OABC的面积为×4＝ ，那么四边形AOCD的面积为1－＝ ，占正方形ABCD面积的。
【点睛】这是一个关于计算不规则图形面积的题目，需要灵活运用之前学过的正方形、三角形以及与之底或高存在倍数关系的不规则图形面积的计算方法。
5．（2023·山西·小升初模拟）如图所示为某商品的商标，由两颗爱心组成，每颗爱心都是由一个正方形和两个半圆拼成，两个正方形的边长分别为40毫米和20毫米，则阴影部分的面积是多少平方毫米？（圆周率取3.14）
【答案】2142平方毫米
【分析】此题主要考查了组合图形的面积计算，观察图可知，两个大半圆可以组成一个整圆，两个小半圆也可以组成一个整圆；大正方形的面积＋大圆的面积－小正方形的面积－小圆的面积＝阴影部分的面积，据此列式解答。
【详解】40÷2＝20（毫米） 20÷2＝10（毫米）
40×40＋π×202－20×20－π×102＝1600＋400π－400－100π＝1200＋300π
＝1200＋300×3.14＝1200＋942＝2142（平方毫米）
答：阴影部分的面积是2142平方毫米。
【点睛】此题考查组合图形面积的巧算。通过切拼把不规则图形转化为规则图形，从而使计算简便。
6.（2023·成都市小升初模拟）如图，三角形的面积是1，点是的中点，点在上，且，与交于点。求四边形的面积。
【答案】
【分析】因为ΔBAE和ΔBCE的高相等，而且BD∶DC＝1∶2，E是AC的中点，然后连接FC，所以ΔBAE的面积是ΔBAC的面积的 ，进而分析解答即可。
【详解】如图所示，连接FC，设SΔBDF＝x，SΔCEF＝y，由于E是中点，D是3分点，所以SΔBCE＝SΔBAE＝；2SΔABD＝SΔADC＝ ；SΔCEF＝SΔEFA＝y，SΔDCF＝2x，SΔBFC＝SΔBFA＝3x，SΔABE＝SΔBFA＋SΔAFE，即3x＋y＝ ，SΔABD＝SΔBFA＋SΔAFE，即3x＋x＝ ，可得：x＝ ，y＝ 所以SΔDCF＝2x＝ ，所以四边形的面积是：SΔDCF＋SΔCEF＝ 答：四边形DFEC的面积是。
【点睛】解答此题的关键是如果三角形的高相等，那么三角形的底的比就等于三角形的面积比，适当画辅助线更好的找出三角形面积之间的关系。
7．（2022重庆·六年级期中）如图，一个闹钟内圆的面积是30平方厘米，阴影部分的积是多少平方厘米？
【答案】15平方厘米
【详解】试题分析：由图意可知：阴影部分是由三个完全一样的小阴影组成，我们只考虑其中一个的面积．在图2中：Ⅱ+Ⅳ=内圆的面积；Ⅰ+小阴影+Ⅲ=内圆的面积；又因为：Ⅰ=Ⅱ；Ⅲ=Ⅳ，所以Ⅰ+Ⅲ=Ⅱ+Ⅳ=内圆的面积．那么小阴影面积=内圆的面积﹣内圆的面积=内圆的面积．原题中阴影部分的面积为内圆的面积×3=内圆的面积，内圆的面积已知，从而问题得解．
阴影面积为15平方厘米．解：在图2中：Ⅱ+Ⅳ=内圆的面积；
Ⅰ+小阴影+Ⅲ=内圆的面积；
又因为：Ⅰ=Ⅱ；Ⅲ=Ⅳ，所以Ⅰ+Ⅲ=Ⅱ+Ⅳ=内圆的面积．
那么小阴影面积=内圆的面积﹣内圆的面积=内圆的面积．
原题中阴影部分的面积为内圆的面积×3=内圆的面积，闹钟内圆的面积是30平方厘米，
所以阴影面积为30×=15（平方厘米）．答：阴影部分的面积是15平方厘米．
点评：解答此题的关键是：先求出其中一部分的阴影的面积，推导出阴影部分与内圆的面积的关系，进而就可以求出阴影部分的面积．
8．（2022·上海普陀·六年级期末）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域。有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（下图所示）是司机视线的盲区。卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区，为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线。
下图是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测址后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，圆心角，求此“右转危险区”的面积和周长。
【答案】面积18.06平方米，周长33.98米
【分析】观察图形可知，“右转危险区”的面积＝六边形O1DCO2BA的面积＋扇形O2BC的面积－扇形O1AD的面积；“右转危险区”的周长＝弧AD长度＋AB＋CD＋弧BC的长度，据此解答。
【详解】10×10－4×4＋3.14×42× －3.14×102×＝100－16＋12.56－78.5＝18.06（平方米）；
3.14×10×2×＋（10－4）×2＋3.14×4×2×＝3.14×5＋12＋3.14×2＝21.98＋12＝33.98（米）
答：“右转危险区”的面积是18.06平方米，周长是33.98米。
【点睛】此题考查了有关扇形的周长和面积计算，找出面积和周长都包含哪些部分，认真计算即可。
9．（2022·全国·期中）如图，已知等腰三角形ABC，D为AC中点，AB=BC=2厘米，，分别是以B、A为圆心的弧．那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】1平方厘米
【详解】试题分析：如图所示，连接BD，三角形ABC、三角形BDC和三角形DBA都是等腰直角三角形，且AD=DC=BD，所以扇形BDE与扇形ADF的面积相等，于是可将扇形BDE平移到扇形ADF的位置，则阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半，又因三角形的AB=BC=2厘米，所以可以求出阴影部分的面积．
解：如图所示，将扇形②平移到扇形①的位置，
阴影部分的面积=三角形ABC的面积；即阴影部分的面积：2×2÷2÷2=4÷2÷2，=2÷2，=1（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是1平方厘米．
点评：解答此题的关键是作出辅助线，求得：阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半．
10.（2023·成都小升初模拟）如图，点P是正方形ABCD内部的一点，连接PA、PB、PC。将绕着点B顺时针旋转90°到的位置。设，，，求旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。
【答案】π（m²－n²）
【分析】因为将绕点B顺时针旋转90°到，所以和形状大小均相等，所以的面积＝的面积，则阴影部分的面积等于以AB为半径的圆的面积减去以PB为半径的圆的面积。据此即可求解。
【详解】以AB为半径的圆的面积：×π×m×m＝πm²；
以PB为半径的圆的面积：×π×n×n＝πn²；阴影部分面积＝πm²－πn²＝π（m²－n²）。
答：旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积是π（m²－n²）。
【点睛】利用旋转后图形的大小和形状都不改变这个关键。再根据面积之间的关系求出阴影部分面积。
11．（2022春·浙江温州·六年级统考期中）图中阴影部分的面积是24平方厘米，求半圆环的面积。
【答案】37.68平方厘米
【分析】看图，阴影部分的面积＝大正方形面积－小正方形面积，其中大正方形的边长是圆环外圆的半径，小正方形的边长是圆环内圆的半径。圆的面积＝3.14×半径2，正方形面积＝边长×边长，圆环面积＝外圆面积－内圆面积。所以，将阴影部分面积乘圆周率3.14，即可求出圆环的面积，再将其除以2，即可求出半圆环的面积。
【详解】3.14×24÷2＝37.68（平方厘米）所以半圆环的面积是37.68平方厘米。
12.（2023·成都市小升初模拟）已知△ABC的面积是1，把它的各边按照如图所示的方式延长1倍后得到△。（1）△的面积为（ ）；（直接写出答案）
（2）若按照之前的方式再把△的各边延长2倍得到△，试求△的面积。
【答案】（1）7；（2）19
【分析】连接A1B，CB1，AC1，如下图：
根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，
得三角形A1B1C1的面积是三角形ABC面积的倍数为3×1×（1＋1）＋1＝7（倍）；
依此类推三角形A2B2C2的面积是△ABC的倍数为：3×2×（2＋1）＋1＝19（倍）
【详解】（1）由分析可得：三角形的面积为三角形ABC面积的7倍，
所以三角形面积为7×1＝7；
三角形面积是三角形ABC面积的19倍，所以三角形面积为19×1＝19
【点睛】找出三角形面积之间的规律是解题的关键，上述规律推而广之可得：三角形AnBnCn的面积是三角形ABC面积的倍数为3n（n＋1）＋1＝3n2＋3n＋1（倍）。
专题04 平面图形的面积问题
在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理等等。难度自不必说，思维的层次也大为不同。甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。
求几何图形面积常见方法及运用：
1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）容斥原理（韦恩图）等。
公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。
割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。
和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。
等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比来表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的是抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或者随便求出直角边的平方。
考点1、割补法求面积（一）平移与对称
【解题技巧】常见模型
图形
转化后的图形
秘籍计算方法
例1．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】8平方厘米
【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米）
例2．（2022春·吉林·六年级统考期末）如图：求阴影部分的面积。（取3.14，单位：厘米）
【答案】4平方厘米
【分析】通过观察图形可知，把阴影部分通过“旋转”或“割补”法，把阴影部分拼成三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出大三角形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积。
【详解】如图：4×4÷2÷2＝16÷2÷2＝8÷2＝4（平方厘米）
变式1．（2023秋·北京西城·五年级统考期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（ ）cm2。
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】如图：观察图形可知，三角形ABC左右两边的涂色小三角形完全一样，把左边的涂色小三角形平移至右边，与右边涂色小三角形组合成一个与①一样大的三角形；这样三角形ABC平均分成4份，涂色部分占其中的一份；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积，再除以4即是涂色部分的面积。
【详解】6×4÷2＝24÷2＝12（cm2） 12÷4＝3（cm2） 图中涂色部分的面积是3cm2。故答案为：D
【点睛】本题考查三角形面积公式的运用，关键是利用割补法，把涂色部分平移到一起，得出涂色部分与大三角形ABC面积之间的关系。
变式2．（2023春·全国·六年级专题练习）求阴影部分面积。（单位：厘米）
【答案】16平方厘米
【分析】把右边那个小块的阴影部分移到左边，两部分的阴影部分组合起来，如图：
形成一个平行四边形，平行四边形的底边长是4厘米，高等于圆的半径，也等于4厘米，再利用平行四边形的面积公式即可得解。
【详解】4×4＝16（平方厘米）
变式3．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·六年级统考期末）求下图中阴影部分的面积（单位：cm）。
【答案】39.25cm2
【分析】如图所示，右边阴影部分的面积和左边两个空白部分的面积相等，则整个阴影部分的面积等于直径10cm的圆面积的一半，据此解答。
【详解】3.14×（10÷2）2÷2＝3.14×25÷2＝78.5÷2＝39.25（cm2）
考点2、割补法求面积（二）旋转
【解题技巧】常见模型
图形
转化后的图形
秘籍计算方法
例1．（2023秋·四川绵阳·六年级校考期末）求阴影部分的面积。
【答案】
【分析】如上图，画出正方形的两条对角线，相交与O点，将1所在部分绕点O逆时针旋转到3的位置，将2所在的部分绕点O顺时针旋转到4的位置，可以发现，阴影部分的面积就是正方形面积的一半。据此解答。
【详解】＝ ＝ 阴影部分的面积是
例2．（2022春·浙江温州·六年级期末）求下图阴影部分面积。（单位：厘米）
【答案】22平方厘米
【分析】如图：通过平移，把上面的阴影部分补充到空白部分，下面的阴影部分可组成一个梯形，梯形的上底是4厘米，下底是7厘米，高是4厘米，根据梯形的面积公式，即可求出阴影部分的面积。
【详解】（4＋7）×4÷2＝11×4÷2＝22（平方厘米）
变式1．（2023春·山东青岛·六年级统考期末）求下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm）
（1） （2）
【答案】（1） 12.56cm2 （2） 28.26cm2
【分析】（1） 把右下角的三角形进行旋转，转到左上角，与左上角的阴影部分组成一个扇形，这样阴影部分的面积即是圆面积的。（2） 把右下角的三角形旋转至左上方，也就是把两块阴影部分转化成一个规则的图形——扇形，再计算面积。
【详解】（1）3.14×42×＝12.56（cm2） （2）3.14×62×＝28.26（cm2）
变式2．（2023春·江苏连云港·六年级专题练习）如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是( )平方厘米。
【答案】9
【分析】标注字母并作出辅助线，如图：根据正方形的性质可得OA＝OC，△AOB和△COD形状大小完全相同，可以将△COD割补到△AOB的位置，因此重叠部分面积就是正方形面积的。
【详解】根据分析可知，重叠部分面积：6×6＝36＝9（平方厘米）
如图，有两个边长是6厘米的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分的面积是9平方厘米。
【点睛】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答。
考点3、和差法求面积
【解题技巧】常见模型
图形
转化后的图形
秘籍计算方法
例1．（2022秋·新疆阿勒泰·六年级统考期末）如图所示，阴影部分的面积是______cm2。
【答案】8.41
【分析】如图：1的面积＋2的面积＋3的面积＝大圆的面积的一半，3的面积＋4的面积＋5的面积＝小圆的面积的一半，小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半＝1的面积＋2的面积＋3的面积×2＋4的面积＋5的面积，阴影部分的面积＝1的面积＋3的面积＋5的面积，小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半－（2的面积＋3的面积＋4的面积）＝1的面积＋3的面积＋5的面积＝阴影部分的面积，而2的面积＋3的面积＋4的面积＝三角形的面积，所以阴影部分的面积＝小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半－三角形的面积，据此解答。
【详解】3.14×（6÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2－6×4÷2＝3.14×32÷2＋3.14×22÷2－24÷2
＝3.14×9÷2＋3.14×4÷2－12＝14.13＋6.28－12＝20.41－12＝8.41（平方厘米）
即阴影部分的面积是8.41平方厘米。
【点睛】此题整体较难，关键是找到阴影部分的面积与圆的面积、三角形的面积之间的关系，利用圆的面积和三角形的面积公式，求出结果。
例2．（2022秋·陕西咸阳·六年级校考期末）计算下面图形阴影部分的面积。
【答案】32.25cm2
【分析】由图可知，阴影部分的面积＝圆的面积－中间空白的面积＋两个拐角部分的面积，圆的面积公式：S＝πr2，中间空白部分面积＝半径为10cm的半圆的面积－正方形的面积，两个拐角的面积＝（正方形的面积－圆的面积）÷2，正方形的面积＝边长×边长，据此解答即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝21.5＋10.75
＝32.25（cm2）
变式1．（2023秋·四川乐山·六年级统考期末）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圆的直径，A为扇形ADC的圆心，求阴影部分的面积是多少平方厘米。（结果用π表示）
【答案】（4π－8）平方厘米
【分析】如图：
通过图形可知，①＋②＝一个半径是4厘米，圆心角是45°的扇形面积，②＋③＋④＝一个直径是4厘米的半圆面积，①＋②＋③＝底和高都是4厘米的等腰直角三角形面积，阴影部分面积＝②＋④，（①＋②）＋（②＋③＋④）－（①＋②＋③）＝②＋④，通过推算可知，阴影部分的面积＝一个半径是4厘米，圆心角是45°的扇形面积＋一个直径是4厘米的半圆面积－底和高都是4厘米的等腰直角三角形面积，根据扇形面积＝πr2×，圆面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2，用π×42×＋π×（4÷2）2×－4×4÷2即可求出阴影部分的面积。
【详解】π×42×＋π×（4÷2）2×－4×4÷2＝π×42×＋π×22×－4×4÷2
＝π×42×＋π×22×－4×4÷2＝π×16×＋π×4×－4×4÷2＝2π＋2π－8＝（4π－8）平方厘米
阴影部分的面积是（4π－8）平方厘米。
【点睛】明确阴影部分的面积可以由哪些规则图形计算得出是解答本题的关键。
变式2．（2022·辽宁沈阳·六年级校考期末）直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，厘米，AB有多长？
【答案】32.8厘米
【分析】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圆的一部分，甲乙分别加上空白部分，差不变。阴影甲比乙的面积大28平方厘米，所以三角形ABC比半圆面积多28平方厘米。求出三角形ABC面积，利用三角形面积公式倒推AB边长度即可。
【详解】3.14×（）2＝1256（平方厘米）
1256÷2＝628（平方厘米）
628＋28＝656（平方厘米）
656×2＝1312（平方厘米）
1312÷40＝32.8（厘米）
答：AB有32.8厘米长。
【点睛】本题的关键是结合同加同减差不变的规律找出规则图形的面积差，把不规则转换成规则。
变式3．（2023秋·河南南阳·六年级统考期末）如图，半圆的圆心为O，AB＝4厘米，以A为圆心，AB为半径画一个圆心角为45°的扇形，图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】1.14
【分析】阴影部分的面积＝AB为半径的扇形面积－圆的面积－等腰直角三角形的面积，据此列式计算。
【详解】3.14×42×－3.14×（4÷2）2×－（4÷2）×（4÷2）÷2
＝3.14×16×－3.14×22×－2×2÷2
＝6.28－3.14×4×－2
＝6.28－3.14－2
＝1.14（平方厘米）
图中阴影部分的面积是1.14平方厘米。
【点睛】关键是看懂图示，掌握并灵活运用扇形面积公式。
考点4、整体代换法
【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。
例1．（2022秋·湖北武汉·六年级统考期末）如图中阴影部分的面积是40平方厘米，图中大圆的面积比小圆的面积大( )平方厘米。
【答案】251.2
【分析】假设大圆的半径为R，小圆的半径为r，用含有字母的算式表示图中阴影部分的面积，求出R2－r2的差，进一步求出大圆面积比小圆面积大出的面积。
【详解】可以设大圆的半径为R，小圆的半径为r，
R2÷2－r2÷2＝40
（R2－r2）÷2＝40
（R2－r2）÷2×2＝40×2
R2－r2＝80
大圆面积比小圆面积大出的面积：
（R2－r2）×π
＝80×3.14
＝251.2（平方厘米）
大圆面积比小圆面积大251.2平方厘米.
【点睛】本题运用三角形的面积公式及圆的面积公式进行解答即可。
例2.（2021·四川成都·六年级期末）如图，已知阴影三角形的面积是50dm²，则圆的面积是( )dm²。
【答案】314
【详解】三角形的面积是50dm²，即r²÷2＝50，r²＝100。圆的面积为πr²＝3.14×100＝314（dm²）
例3．（2023·广东·六年级期中）如图：（1）若大正方形的面积是20平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。（2）若小正方形的面积是20平方厘米，则圆的面积是( )平方厘米。
【答案】 15.7 31.4
【分析】（1）圆的直径应该等于大正方形的边长，正方形的面积已知，从而可以求出半径的平方，进而可以求出圆的面积。（2）小正方形的对角线等于圆的直径，设圆的半径为r，则可以表示出正方形的面积，正方形的面积已知，进而求出正方形的面积与半径的关系，即可解决问题。
【详解】（1）3.14×（20÷4）＝3.14×5＝15.7（平方厘米）
（2）设圆的半径为r，则正方形的面积：2r×r÷2×2＝2r2
2r2＝20 r2＝10（厘米）
圆的面积：π＝3.14×10＝31.4（平方厘米）
【点睛】解答此题的关键是：弄清楚所求图形面积可以由哪些规则图形的面积和或差求解。
变式1．（2022·湖北武汉·六年级校考期末）下图中环形的面积是314平方厘米，阴影部分的面积是( )。
【答案】100平方厘米/100cm2
【分析】由图可知，大圆的半径等于大正方形的边长，小圆的半径等于小正方形的边长，利用环形的面积公式“”求出大圆半径的平方与小圆半径的平方的差，正方形的面积＝边长×边长，阴影部分的面积＝大圆半径的平方－小圆半径的平方，据此解答。
【详解】314÷3.14＝100（平方厘米）
所以，阴影部分的面积是100平方厘米。
【点睛】掌握并灵活运用环形的面积计算公式是解答题目的关键。
变式2．（2023·江苏常州·校考小升初模拟）在图中正方形的面积是5平方厘米，则图中阴影部分面积为（ ）平方厘米。
A．5－π B．5－π C．π D．π
【答案】A
【分析】阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；因为正方形的面积是5平方厘米，则圆的半径的平方等于5，据此解答。
【详解】5－×5＝5－（平方厘米）故答案为：A
【点睛】本题主要考查求不规则图形的面积，解答本题的关键是由正方形的面积是5平方厘米，得出圆的半径的平方等于5。
考点5、等积变换法求面积
【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。
例1．（2023春·广东广州·六年级专题练习）下图中三角形ABC的面积30平方厘米，高是6厘米，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】45平方厘米
【分析】阴影部分是一个梯形，先根据三角形的面积公式，用三角形ABC的面积×2÷6，求出三角形ABC的底边长BC的长度，即梯形的下底长度，再根据梯形的面积公式，代入数据即可求出阴影部分的面积。
【详解】30×2÷6＝10（厘米） （5＋10）×6÷2＝15×6÷2＝45（平方厘米）
即阴影部分的面积是45平方厘米。
例2．（2022·重庆沙坪坝·统考小升初真题）如图，在梯形ABCD中，上底长是下底长的一半，点E是CB的的中点，点F是AE线段的中点，阴影部分是梯形面积的几分之几？
【答案】
【分析】假设梯形的下底是10厘米，高为8厘米，因为上底长是下底长的一半，所以上底是（10÷2）厘米，根据三角形的面积公式，用10×8÷2即可求出△ABC的面积，已知点E是CB的的中点，则CE＝BE，所以△ABE和△ACE的底相等，高相同，根据三角形的面积公式，可知△ABE和△ACE的面积相等，因为△ABE的面积＋△ACE的面积＝△ABC的面积，所以用△ABC的面积÷2即可求出△ACE的面积；已知点F是AE线段的中点，则AF＝EF，所以△ACF和△CEF的底相等，高相同，根据三角形的面积公式，可知△ACF和△CEF的面积相等，因为△ACF的面积＋△CEF的面积＝△ACE的面积，所以用△ACE的面积÷2即可求出△ACF的面积；再根据梯形的面积公式求出梯形ABCD的面积，最后根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用△ACF的面积除以梯形ABCD的面积，即可求出阴影部分是梯形面积的几分之几。
【详解】假设梯形的下底是10厘米，高为8厘米，上底： 10÷2＝5（厘米）
△ABC的面积：10×8÷2＝40（平方厘米） △ACE的面积：40÷2＝20（平方厘米）
△ACF的面积：20÷2＝10（平方厘米） 梯形的面积：（10＋5）×8÷2＝15×8÷2＝60（平方厘米）
10÷60＝ 答：阴影部分是梯形面积的。
【点睛】本题可用假设法解决问题，然后根据三角形的面积公式和梯形的面积公式解答即可。
变式1．（2023春·浙江·六年级专题练习）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是( )平方厘米。
【答案】6
【分析】如图：根据题意得BD＝BC＝6厘米，AD＝AB－BD＝10－6＝4厘米，因为三角形ADE的面积＝×AD×DE，三角形BDE的面积＝×BD×DE，所以三角形ADE的面积∶三角形BDE的面积＝AD∶BD＝4∶6＝2∶3，又因为三角形ABC的面积＝×6×8＝24（平方厘米），所以三角形ADE的面积＝＝6（平方厘米）。
【详解】根据分析得，BD＝6（厘米） AD＝10－6＝4（厘米）
三角形ADE的面积∶三角形BDE的面积∶三角形BCE＝AD∶BD∶BC＝4∶6∶6＝2∶3∶3
三角形ABC的面积＝×6×8＝24（平方厘米） 三角形ADE的面积＝＝6（平方厘米）
【点睛】此题主要考查等底等高的三角形面积相等，关键是找准面积的比。
变式2．（2023春·湖北黄冈·六年级校考期中）如图，的面积为14平方厘米，，，阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】6
【分析】如图，连接DF，因为AE＝ED，所以三角形AEF与三角形DEF的面积相等，即阴影部分的面积就是三角形FDC的面积。同理，三角形ACE与三角形DCE的面积相等。
所以三角形CDF与三角形CAF的面积相等。因为，所以三角形CDF的面积是三角形BDF的面积的3倍，所以三角形ABC的面积是三角形BDF的面积的7倍，阴影部分面积占三角形ABC面积的，根据分数乘法的意义，求出阴影部分的面积即可。
【详解】14×＝6（平方厘米） 阴影部分的面积是6平方厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用三角形面积公式，通过辅助线确定阴影部分和三角形ABC的关系，整体数量×部分对应分率＝部分数量。
变式3．（2023·河北·小升初模拟）在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形EFGO的面积是9平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】69平方厘米
【详解】试题分析：由图示得：其中△DBF和△AFC是等高的三角形，所以2个三角形面积和=（BF+CF）×AB÷2=BC×AB÷2，又因为四边形EFGO在两个三角形中，重复减了两次，要再加上一次，阴影部分面积=长方形ABCD的面积﹣（△DBF的面积+△AFC的面积）+9．
解：15×8﹣15×8÷2+9=120﹣60+9=69（平方厘米）．
答：阴影部分的面积是69平方厘米．
点评：解决本题的关键是找到关系式：阴影部分面积=长方形ABCD的面积﹣（△DBF的面积+△AFC的面积）+9．
考点6、容斥原理（韦恩图）
【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。
例1.是边长为4的正方形，分别以、、、为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________
解析：根据容斥原理，观察可发现：计算四个半圆的面积和，阴影部分重叠计算一次，所以，四个半圆的面积和减去正方形面积即为阴影部分面积。阴影部分的面积为：
例2.（2022·河南南阳·六年级期末）如图，直角三角形三条边分别为3厘米、4厘米5厘米，分别以三边为直径画半圆，图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】6
【分析】如图：可先用大半圆的面积减去直角三角形的面积，得到的是①＋②的面积；再用中半圆与小半圆面积之和减去（①＋②）的面积，就是阴影部分面积。
【详解】S半中＝（）2×3.14÷2＝6.28（cm2） S半小＝（）2×3.14÷2＝3.5325（cm2）
S三角＝×3×4＝6（cm2） S半大＝（）2×3.14÷2＝9.8125（cm2）
S阴＝S半中＋S半小－（S半大－S三角）＝6.28＋3.5325－（9.8125－6）＝6（cm2）
【点睛】本题较为复杂，①＋②的面积既是大半圆面积的一部分，同时也是中半圆和小半圆面积的一部分，所以要先清楚几个半圆的面积的关系，再计算；同时计算量也很大，要有一定的耐心。
变式1.如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积．(取3)
解析：利用容斥原理(平方厘米)
变式2.在桌面上放置个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是平方厘米，盖住桌面的总面积是平方厘米，张纸片共同重叠的面积是平方厘米.那么图中个阴影部分的面积的和多少是平方厘米？
【解析】根据容斥原理得，所以（平方厘米）
A级（基础过关）
1．（2023秋·四川乐山·六年级统考期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，把一幅七巧板按如图①所示进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块。图②所示的“天鹅”是由这幅七巧板拼成的，“天鹅”头颈由3号和6号块构成，其面积为3，则图①大正方形的边长为（ ）。
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】由七巧板可知，6号块的面积是3号块面积的2倍，已知“天鹅”头颈由3号和6号块构成，其面积为3，则3号块的面积是1，6号块的面积是2；由此推出5号块面积是1，4号块和7号块的面积是2；可得出3、4、5、6、7号块的面积一共是（1＋2＋1＋2＋2）；它们的面积和正好是图①大正方形面积的一半，由此求出正方形的面积；然后根据正方形的面积＝边长×边长，推出正方形的边长。
【详解】已知“天鹅”头颈由3号和6号块构成，其面积为3，则3号块的面积是1，6号块的面积是2；
3、4、5、6、7号块的面积一共是1＋2＋1＋2＋2＝8；正方形的面积是：8×2＝16
因为16＝4×4，所以图①大正方形的边长为4。故答案为：C
【点睛】发现七巧板各部分之间的面积关系是解题的关键。
2．（2023春·江苏南京·六年级专题练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，则图中涂色部分的面积占原正方形面积的（ ）。
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，涂色部分的面积＝正方形的面积－三角形ADE的面积－三角形EFC的面积－三角形ABF的面积；假设正方形的边长为2，那么三角形ADE的高为2，底为2÷2＝1；三角形EFC的高为2÷2＝1，底为2÷2＝1；三角形ABF的高为2，底为2÷2＝1；根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，求出阴影部分的面积，然后再除以正方形的面积即可。
【详解】假设正方形的边长为2；
阴影部分的面积：2×2－（2÷2）×2÷2－（2÷2）×（2÷2）÷2－（2÷2）×2÷2
＝4－1×2÷2－1×1÷2－1×2÷2＝4－1－0.5－1＝1.5
1.5÷（2×2）＝1.5÷4 涂色部分的面积占原正方形面积的。 故答案为：D
【点睛】解答求组合图形的面积，关键是观察分析图形是由那几部分组成的，是求各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答。
3．（2022·北京丰台·六年级统考期末）如图，计算阴影部分面积，下面列式正确的是（ ）。（图中每个小正方形格的边长是1）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图中可得到：外面大圆的直径是6个小正方形方格，即为6；大圆中的两个白色半圆可旋转拼接为一个圆形，直径为4个小正方形方格，即为4。根据圆形面积＝πr2，阴影部分面积＝大圆面积−小圆面积，即可得出答案。
【详解】根据图中可得到阴影部分面积：故答案为：B
【点睛】本题主要考查的是组合图形的面积，解题的关键是熟知圆面积计算公式及方格图中圆的直径，进而得出答案。
4．（2023·重庆·六年级期末）如图所示，将半径为4cm和5cm的两个半圆形叠放在一起，，为圆心。阴影部分的总周长为（ ）cm。
A．19.42 B．34.26 C．37.26 D．38.26
【答案】D
【分析】由图可知，阴影部分的周长＝小圆周长的一半＋小圆的半径＋大圆周长的一半＋大圆半径＋大圆半径与小圆半径的差，已知两圆各自的半径，用公式：圆周长的一半＝πr，分别计算出数量关系中的长度再相加即可，据此解答。
【详解】根据分析：4×3.14＋4＋5×3.14＋5＋（5－4）
＝12.56＋4＋15.7＋5＋1＝16.56＋15.7＋6＝32.26＋6＝38.26（cm）
所以，这个阴影部分的总周长为38.26cm。故答案为：D
【点睛】此题考查了求阴影部分的周长，关键计算时不能数漏边数。
5．（2023·江苏苏州·六年级小升初模拟）如图，在一个上底和下底分别是10、20的梯形中，阴影部分面积为40平方厘米，则空白部分的面积是（ ）平方厘米。
A．20 B．40 C．60
【答案】A
【分析】三角形的面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。
【详解】方法一：空白部分面积＝梯形面积－三角形面积
三角形面积：40平方厘米，梯形的高和三角形的高一样：40×2÷20＝4（厘米）
梯形面积：（10＋20）×4÷2＝60（平方厘米）
空白部分面积：60－40＝20（平方厘米）故答案为：A
【点睛】学生可以通过自己学习的水平选择一种方法来解答，可以按面积计算解答，也可以按比的知识解答。考查了学生各个基本平面图形面积计算知识。
6．（2022秋·山东滨州·六年级统考期末）我们在探究圆的面积公式时，经历了怎样的研究过程？（ ）
A．寻找关系→转化图形→推导公式 B．转化图形→推导公式→寻找关系
C．转化图形→寻找关系→推导公式 D．寻找关系→推导公式→转化图形
【答案】C
【分析】将圆分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形，然后寻找长方形的长、宽与圆的周长、半径之间的关系，长方形的面积等于圆的面积，由长方形的面积公式推导出圆的面积公式。
【详解】如图：
转化图形：把圆分成若干等份，剪开后再拼成一个近似的长方形；
寻找关系：拼成的长方形的长等于圆周长的一半，即πr；长方形的宽等于圆的半径r，长方形的面积等于圆的面积；推导公式：根据长方形的面积＝长×宽，可推导出圆的面积公式S＝πr×r＝πr2。
所以，在探究圆的面积公式时，经历了转化图形→寻找关系→推导公式。故答案为：C
【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程及运用。
7．（2022秋·辽宁沈阳·六年级校考期中）把一张圆形纸片剪拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是12.56厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。
A．25.12 B．50.24 C．100.48 D．200.96
【答案】B
【分析】把一个圆形纸片分成若干等份，然后拼成近似的长方形，长方形的长＝圆周长的一半，再根据圆周长的一半÷＝半径，代入数据先求出圆的半径，根据圆的面积公式：S＝，列式计算即可。
【详解】12.56÷3.14＝4（厘米） 3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）
即圆的面积是50.24平方厘米。故答案为：B
【点睛】关键是熟悉圆面积公式的推导过程，掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。
8．（2022秋·山东枣庄·六年级统考期末）下图阴影部分的面积是( )平方厘米。（单位：厘米）
【答案】32
【分析】如图作辅助线，把阴影部分面积转化为三角形的面积，则阴影部分面积是正方形面积的一半，据此解答。
【详解】由图可知，②和③面积相等，①和④面积相等
阴影部分面积是整个正方形面积的一半 8×8÷2＝64÷2＝32（平方厘米）
【点睛】分析图形把不规则图形的面积转化为基本图形的面积是解答题目的关键。
9．（2023·浙江宁波·五年级统考期末）计算下面阴影部分的面积。（单位：厘米）
（1） （2）
【答案】（1）63平方厘米（2）36平方厘米
【分析】（1）观察图形可知，阴影部分的面积合起来是一个梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。（2）观察图形可知，阴影部分是两个三角形，两个三角形的面积都等于一个底是6厘米、高是8厘米的大三角形的面积减去一个底是6厘米、高是2厘米的小三角形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个阴影三角形的面积，再乘2即可。
【详解】（1）（5＋13）×7÷2＝18×7÷2＝126÷2＝63（平方厘米）
阴影部分的面积是63平方厘米。
（2）6×8÷2－6×2÷2＝48÷2－12÷2＝24－6＝18（平方厘米）
18×2＝36（平方厘米） 阴影部分的面积是36平方厘米。
10．（2022春·湖南永州·六年级统考期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】9.42平方厘米
【分析】经过平移后，如图：大圆的半径为2厘米，空白小圆的半径为（2÷2）厘米，利用圆的面积公式，分别计算大圆和空白小圆的面积，用大圆的面积减去空白小圆的面积，即是阴影部分的面积。
【详解】3.14×22－3.14×（2÷2）2＝3.14×4－3.14×1＝12.56－3.14＝9.42（平方厘米）
11．（2023春·全国·六年级小升初模拟）求下图中阴影部分的面积。（π取3.14）
【答案】57cm2
【详解】观察图形可知，两个阴影部分的面积相等，一个阴影部分的面积＝×半径是10cm圆的面积－空白直角三角形的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此求出一个阴影部分的面积再乘2即可。
【解答】＝314×－100÷2＝78.5－50＝28.5（cm2） 28.5×2＝57（cm2）
12．（2023秋·河北邢台·六年级校联考期末）求图中涂色部分周长和面积。（单位：cm）
【答案】周长是26.28 cm，面积是27.44cm2。
【分析】涂色部分的周长等于半径是4 cm的圆的周长的加上两条（4＋6）cm的线段的长；面积等于长方形面积减去圆的面积的。
【详解】3.14×4×2×＋（4＋6）×2＝6.28＋20＝26.28（cm） 4＋6＝10（cm）
10×4－3.14×42×＝40－12.56＝27.44（cm2）
组合图形的周长是26.28 cm，面积是27.44 cm2。
13．（2023秋·湖北十堰·六年级统考期末）计算下面阴影部分面积。（单位：cm）
【答案】15.25cm2
【分析】阴影部分的面积＝半圆的面积－三角形的面积，根据半圆的面积＝πr2÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据进行计算即可。
【详解】3.14×（10÷2）2÷2－6×8÷2＝3.14×25÷2－48÷2＝78.5÷2－24＝39.25－24＝15.25（cm2）
阴影部分的面积是15.25cm2。
14．（2022·广西玉林·统考小升初真题）为了增加百姓的休闲活动空间，某社区准备新建一个口袋公园。右图左侧的正方形是口袋公园的平面设计图，空白部分为活动区域（是4个完全相同的扇形），阴影部分为绿植区域。
（1）以正方形中心O点为观测点，A点在正（ ）方向上，距离是（ ）米；B点在（ ）°方向上。
（2）绿植区域的图形共有（ ）条对称轴。绿植区域的面积是（ ）平方米。
（3）在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上面右侧正方形中用圆规画出你的新设计图（如没有新设计，也可以画出原设计图），并将绿植区域涂上阴影。
【答案】（1）北；10；东偏北45；（2）4；86；（3）见详解
【分析】（1）根据图上确定方向的方法：上北下南，左西右东，结合图示确定各点的位置，以正方形的中心点为观测点，A点在正北方向，距离为正方形边长的一半，即20÷2＝10（米），根据正方形的特点，以A点为观测点，根据方向和角度确定B点的位置，可得B点在东偏北45°方向上，据此解答即可。
（2）绿植部分的面积等于正方形面积减掉以20米为直径的圆的面积，利用正方形面积公式：S＝a2，以及圆的面积公式：S＝r2，计算其面积即可。根据图形的特点可知，它有4条对称轴。
（3）根据图形的特点，设计在正方形中去掉一个以正方形边长为直径的圆，作为绿植区域即可。
【详解】（1）20÷2＝10（米）
即以正方形中心O为观测点，A在正北方向上，距离是10米；B在东偏北45度方向上。
（2）20×20－3.14×（20÷2）2＝400－3.14×102＝400－3.14×100＝400－314＝86（平方米）
即绿植区域共有4条对称轴，它的面积是86平方米。
（3）如图：
【点睛】本题主要考查根据方向、距离确定物体的位置，同时考查阴影部分的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式计算。
15．（2022秋·河南南阳·六年级统考期末）图中平行四边形的面积是18平方厘米，高是3厘米，求图中阴影部分的面积是多少？
【答案】37.68平方厘米
【分析】观察图形可知，阴影部分是一个扇形，扇形的半径等于平行四边形高3厘米对应的底边长；根据平行四边形的底＝面积÷高，即可求出高3厘米对应的底边长，即扇形的半径。
从图中可知，扇形的圆心角是180°－60°＝120°，那么这个扇形占整个圆的，根据圆的面积公式S＝πr2，求出整个圆的面积，再乘，即是阴影部分的面积。
【详解】平行四边形的底（圆的半径）：18÷3＝6（厘米）
扇形的圆心角：180°－60°＝120°
扇形的面积：3.14×62×＝3.14×36×＝3.14×12＝37.68（平方厘米）
答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。
【点睛】本题考查平行四边形面积公式的灵活运用，以及扇形面积的计算；求出扇形的半径以及扇形面积占整个圆面积的几分之几是解题的关键。
16．（2023秋·重庆渝中·六年级统考期末）如下图，分别以长方形、平行四边形、梯形的四个顶点为圆心，画半径为2厘米的圆。琳琳说：这三个图形阴影部分的面积相等。你同意琳琳的说法吗？请说出你的理由。
【答案】同意；见详解
【分析】已知长方形、平行四边形、梯形的内角和都是360°，三个图形的阴影部分的圆心分别在长方形、平行四边形、梯形的四个顶点，都是半径为2厘米的扇形，正好可以组合成一个整圆，则三个图形阴影部分的面积都等于一个半径为2厘米圆的面积，据此解答。
【详解】三个图形阴影部分的面积都是：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）
答：我同意琳琳的说法。因为长方形、平行四边形、梯形的内角和都是360°，三个图形的阴影部分在四个角，角度和是360°，正好可以合成一个整圆，且半径均为2厘米，所
以三个图形阴影部分面积相等。
【点睛】根据四边形的内角和是360°，观察图形可知阴影部分可以合成一个圆是解题的关键。
17．（2022秋·陕西安康·六年级统考期末）计算下面图形阴影部分的周长和面积。
【答案】周长：50.24厘米；面积：50.24平方厘米
【分析】根据图可知，阴影部分的周长可以看作一个直径是8厘米的圆的周长和一个半径是8厘米的半圆弧的长度，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数代入公式即可求解；
阴影部分的面积可以看作一个半径是8厘米的半圆的面积减去一个直径是8厘米的圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数代入公式即可求解。
【详解】3.14×8＋3.14×8×2÷2＝25.12＋25.12＝50.24（厘米） 8÷2＝4（厘米）
3.14×8×8÷2－3.14×4×4＝100.48－50.24＝50.24（平方厘米）
所以阴影部分的周长是50.24厘米；面积是50.24平方厘米。
B级（能力提升）
1．（2023秋·福建龙岩·六年级统考期末）图中ABCD为正方形，E为AB的中点，阴影部分的面积是21cm2，正方形ABCD的面积是( )cm2。
【答案】56
【分析】如下图，把阴影部分分割成3个完全一样的小三角形，用阴影部分的面积除以3，求出一个小三角形的面积，然后乘4，即是正方形面积的一半，再乘2，求出正方形的面积。
【详解】如图：21÷3＝7（cm2） 7×4×2＝28×2＝56（cm2） 正方形ABCD的面积是56cm2。
【点睛】把求正方形的面积转化到求三角形的面积上，把阴影部分平均分成3个小三角形，而正方形的一半是4个同样的小三角形，求出一个小三角形的面积是解题的关键。
2．（2023秋·山东潍坊·六年级校考期末）下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填。
如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用π表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：三角形的底是圆的周长的（ ），表示为（ ），三角形的高是圆的半径的（ ）倍，表示为（ ），圆形和三角形的（ ）相等。请你根据三角形的面积公式推理出圆的面积公式，并写出推导过程。
【答案】；；4；4r；面积；见详解
【分析】从图中可以看出，拼成的近似三角形的底是圆周长的，根据圆的周长公式C＝2πr得出三角形的底是；三角形的高是圆的半径的4倍，即高是4r；因为圆的面积等于三角形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，即可推导出圆的面积公式。
【详解】如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用π表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：三角形的底是圆的周长的，表示为，三角形的高是圆的半径的4倍，表示为4r，圆形和三角形的面积相等。
三角形的面积＝底×高÷2 圆的面积＝×4r÷2＝πr2 所以，圆的面积S＝πr2。
【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程的应用，把圆剪拼成一个近似三角形，找出三角形的底、高与圆周长、半径的关系是解题的关键。
3．（2023春·江苏无锡·六年级专题练习）芳芳用一张长10厘米的长方形纸如右图进行翻折，折出的平行四边形面积比原来少了15平方厘米。这张长方形纸的宽是( )厘米，折成的平行四边形的面积是( )平方厘米。
【答案】 5 35
【分析】通过观察图形可知，折成的平行四边形比原来长方形的面积减少了15平方厘米，面积减少的部分是两个完全一样三角形的面积，已知每个三角形的底是3厘米，三角形的高等于原来长方形的宽，这两个完全一样的三角形可以拼一个长方形，根据长方形的面积＝长×宽，那么宽＝面积÷长，把数据代入公式求出长方形原来的宽，用原来长方形的面积减去15平方厘米就是折成的平行四边形的面积。
【详解】15÷3＝5（厘米） 10×5－15＝50－15＝35（平方厘米）
所以，这张长方形纸的宽是5厘米，折成的平行四边形的面积是35平方厘米。
【点睛】此题主要考查长方形的面积公式、平行四边形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。重点是求出原来长方形的宽。
4．（2023春· 重庆六年级月考）如图所示的纸带，( )是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，( )（填“能”或“不能”）吃到纸带内的面包屑。
【答案】 ② 不能
【分析】根据莫比乌斯带的特点：莫比乌斯带是把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈。可以判断，图②是莫比乌斯带；根据图①的特点，蚂蚁不爬过纸带的边缘，无法进入纸带的内部，也就无法吃到面包屑。据此解答。
【详解】如图所示的纸带，②是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，不能吃到纸带内的面包屑。
【点睛】此题考查了数学常识，应注意平时数学常识知识的积累。
5．（2023春·湖南邵阳·六年级统考期末）一个长30厘米、宽2分米的长方形，沿对角线对折后，得到下图所示几何图形，阴影部分的周长是( )厘米。
【答案】100
【分析】
如上图，因为图形沿BD对折，所以BE＝AB，DE＝AD，所以阴影部分的周长与长方形的周长相等。
【详解】2分米＝20厘米
根据分析可知：阴影部分的周长与长方形的周长相等，所以阴影部分的周长是：
（30＋20）×2＝50×2＝100（厘米）
【点睛】解答此题的关键是明白：阴影部分的周长就等于长方形的周长。
6．（2023春·江苏南通·六年级专题练习）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。
【答案】220
【分析】折叠后图形减少的面积等于三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽；据此解答即可。
【详解】20×22÷2＝440÷2＝220（平方厘米）
【点睛】本题考查了图形的折叠问题，动手折一折能更直观的看出减少部分面积就是三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽。
7．（2022·四川成都·成都嘉祥外国语学校校考小升初真题）如图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）
【答案】22.26平方厘米
【分析】通过观察0图形可知，阴影部分的面积等于底是（6＋4）厘米，高是6厘米的三角形面积减去空白部分①的面积，空白部分①的面积等于边长6厘米的正方形面积减去半径6厘米的圆的面积的，根据圆的面积公式：S＝r2，正方形的面积公式：S＝a2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答。
【详解】三角形面积：（6＋4）×6÷2＝10×6÷2＝60÷2＝30（平方厘米）
空白部分①的面积：6×6－3.14×62÷4＝36－28.26＝7.74（平方厘米）
阴影部分面积：30－7.74＝22.26（平方厘米）
阴影部分的面积是22.26平方厘米。
8．（2023秋·河南南阳·六年级统考期末）如图，大半圆的直径为8厘米，求图中阴影部分的面积。
【答案】9.12平方厘米
【分析】如图，把下面两个阴影分别平移至左面和右面的阴影中，那么阴影部分的面积等于一个半径为（8÷2）厘米的半圆的面积减去一个底为8厘米，高为（8÷2）厘米的三角形的面积，分别利用圆、三角形的面积公式求出这两个图形的面积，再相减即可求出图中阴影部分的面积。
【详解】3.14×（8÷2）2÷2－8×（8÷2）÷2
＝3.14×42÷2－8×4÷2
＝3.14×16÷2－32÷2
＝25.12－16
＝9.12（平方厘米）
即图中阴影部分的面积是9.12平方厘米。
9．（2023春·六年级单元测试）求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】平方厘米
【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝梯形面积－三角形面积－圆的面积的；根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2；三角形面积公式：底×高÷2；圆的面积公式：S＝πr2；代入数据，即可解答。
【详解】（4＋6）×（4＋6）÷2－6×6÷2－3.14×42×
＝10×10÷2－36÷2－3.14×16×
＝100÷2－18－50.24×
＝50－18－12.56
＝32－12.56
＝19.44（平方厘米）
10．（2023秋·浙江杭州·六年级统考期末）如图，一枚半径是1厘米的游戏币沿着边长是4厘米的等边三角形的边绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？
【答案】36.56平方厘米
【分析】如图，它扫过的面积是3个边长4厘米，宽1×2厘米的长方形和一个圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式解答。
【详解】1×2＝2（厘米）
2×4×3＋3.14×22
＝24＋3.14×4
＝24＋12.56
＝36.56（平方厘米）
答：它扫过的面积是36.56平方厘米。
【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用长方形和圆的面积公式。
11．（2022春·全国·六年级统考期末）如果将直角三角形ABC绕A点逆时针旋转90°，可以形成下图。请根据图中数据，计算阴影部分的面积。
【答案】6.56平方厘米
【分析】观察题意可知，阴影部分的面积＝一个半径是4厘米的圆面积的－底为4厘米、高为3厘米的三角形面积；根据圆面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，用3.14×42×－4×3÷2即可求出阴影部分的面积。
【详解】3.14×42×－4×3÷2
＝3.14×16×－4×3÷2
＝12.56－6
＝6.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是6.56平方厘米。
【点睛】本题考查了圆面积公式和三角形面积公式的灵活应用，明确三角形逆时针扫过的面积是解答本题的关键。
12．（2023秋·湖北襄阳·六年级统考期末）我们已经学习了“外方内圆”（如下图1）的问题，现在让你继续研究，你会有新的发现。
（1）图1的阴影部分面积是多少？（列式计算）（2）图2的阴影部分面积是多少？（列式计算）（3）通过上面两个图形的计算，你是否有所发现？按你的发现，那么如图3这样正方形中有16个小圆，阴影部分的面积是（ ）。
【答案】（1）13.76平方厘米（2）13.76平方厘米（3）13.76平方厘米
【分析】（1）阴影部分的面积＝正方形面积－圆的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，代入数据进行计算即可；
（2）观察图形可得：图2的阴影部分面积＝正方形的面积－圆的面积×4，正方形的边长是4×2＝8，圆的直径是4，根据正方形面积公式S＝a2和圆的面积公式：S＝πr2进行解答；
（3）通过上面两个图形的计算，我发现阴影部分的面积相等，也就是在一张正方形里面画内切圆，无论画几个圆，剩下的面积相等，据此解答。
【详解】（1）8×8－3.14×（）2＝64－3.14×16＝64－50.24＝13.76（平方厘米）
（2）8×8－3.14×2×4＝64－12.56×4＝64－50.24＝13.76（平方厘米）
（3）通过上面两个图形的计算，我发现阴影部分的面积相等，也就是在一张正方形里面画内切圆，无论画几个圆，剩下的面积相等。
那么如图3这样正方形中有16个小圆，阴影部分的面积是13.76平方厘米。
【点睛】此题主要考查了圆与组合图形问题的应用，解答此题的关键是熟练掌握圆的面积公式。
13．（2023春·江苏·六年级小升初模拟）如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米。那么长方形（阴影部分）的面积是多少平方厘米？
【答案】24平方厘米
【分析】半圆面积为39.25平方厘米，则半圆所在的圆面积就是（39.25×2）平方厘米，根据圆面积计算公式“S＝πr2”，r2＝39.25×2÷3.14＝25，由于52＝25，由此得出半圆的半径是5厘米，进而求出半圆的直径为5×2＝10（厘米）；圆的面积为28.26平方厘米，同理可求出圆的半径，进而求出圆的直径；圆直径是阴影长方形的长，半圆直径减圆直径是阴影长方形的宽，根据长方形面积计算公式“S＝ab”即可求出阴影部分面积。
【详解】39.25×2÷3.14＝78.5÷3.14＝25 因为52＝25所心半圆的半径为5厘米；
半圆直径为5×2＝10（厘米） 28.26÷3.14＝9 因为32＝9 所以圆的半径为3厘米；
圆的直径为3×2＝6（厘米） 6×（10－6）＝6×4＝24（平方厘米）
答：长方形（阴影部分）的面积是24平方厘米。
【点睛】阴影部分是一个长方形，求出这个长方形的长、宽是关键，也是难点。长方形的长为圆的直径，宽为半圆直径与圆直径之差，根据圆面积计算公式即可求出半圆、圆的半径，进而求出直径。
14．（2023春·广东广州·六年级专题练习）求阴影部分的面积。
【答案】15.4平方厘米；36平方厘米
【分析】（1）观察图形可知：阴影部分的面积＝大半圆的面积＋小半圆的面积－三角形的面积（长方形的面积的一半），将数据代入计算即可求解；
（2）由题意可知：空白三角形为直角三角形，已知两条直角边和斜边的长，于是可以求出斜边上的高，也就是梯形的高。再根据“阴影部分的面积＝梯形的面积－空白三角形的面积”即可求解。
【详解】（1）3.14×（8÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2－4×8÷2
＝3.14×42÷2＋3.14×22÷2－32÷2
＝3.14×16÷2＋3.14×4÷2－16
＝50.24÷2＋12.56÷2－16
＝25.12＋6.28－16
＝31.4－16
＝15.4（平方厘米）
（2）6×8÷2×2÷10
＝48÷2×2÷10
＝24×2÷10
＝48÷10
＝4.8（厘米）
（10＋15）×4.8÷2－6×8÷2
＝25×4.8÷2－48÷2
＝120÷2－24
＝60－24
＝36（平方厘米）
15．（2022秋·山东济南·六年级统考期末）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，以AD为弧的扇形的面积是它所在圆面积的，求阴影部分的面积？
【答案】4.56平方厘米
【分析】根据图意可知，三角形ABC的两条直角边长都是4厘米，以AD为弧的扇形的面积对应的是一个以4厘米为半径的圆的面积的，用圆的面积乘即可表示；阴影部分的面积用以AC为直径的半圆的面积加上以4厘米为半径、圆心角是45°的扇形的面积，再减去三角形ABC的面积即可。
【详解】3.14×（4÷2）2÷2＋×3.14×42－4×4÷2
＝3.14×22÷2＋×3.14×16－8
＝3.14×4÷2＋6.28－8
＝6.28＋6.28－8
＝4.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是4.56平方厘米。
【点睛】本题主要考查了圆与组合图形的面积，将要求的面积合理分割，转化为规则图形的面积差是本题解题的关键。
16．（2023秋·河北邢台·六年级校联考期末）已知涂色部分的面积是12cm2，求圆环的面积。
【答案】37.68平方厘米
【分析】通过观察图形可知，大正方形的边长等于外圆的半径，小正方形的边长等于内圆的半径，根据正方形的面积公式：面积＝边长×边长，阴影部分的面积等于大小正方形的面积差，也就是外圆半径与内圆半径平方的差，再根据环形面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），把数据代入公式解答。
【详解】3.14×12＝37.68（平方厘米）
C级（培优拓展）
1.（2022·成都外国语学校附属小学小升初模拟）如图，正方形ABCD的边AB＝1，弧BD和弧AC都是以1为半径的圆弧，则无阴影的两部分的面积之差为( )。
【答案】π－1
【分析】正方形面积＝边长×边长，圆面积＝半径×半径×π，分别设4块面积为，表达出所需面积，通过面积之间转化即可求解。
【详解】根据如下图两个阴影部分设为、，左边空白的部分设为，右边空白的部分设为。
正方形面积＝＝1×1＝1；两个扇形面积＝＝1×1×π×＝π；
两个扇形面积－正方形面积＝－（）
＝－＝＝π－1
【点睛】此题考查图形面积之间的转化关系，关键通过等式推导出无阴影部分的两部分的面积差即是阴影部分面积。
2．（2022·山东·六年级期中）如图，在长方形ABCD中，M是CD边中点，DN是以点A为圆心的一段弧，KN是以点B为圆心的一段弧，AN=3厘米，BN=2厘米．则图中阴影部分的面积是 平方厘米．（π取3.14）
【答案】3.545
分析：运用长方形的长是（3+2），宽是3，△KCM的底是KC是（3﹣2），高CM的长度是（3+2）÷2，用长方形的面积分别减去两个扇形的面积与一个三角形的面积．
【详解】（3+2）×3﹣3.14×32×﹣3.14×22×﹣（3﹣2）×（3+2）÷2÷2，
=15﹣7.065﹣3.14﹣1.25，=3.545（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是3.545平方厘米．故答案为3.545．
点评：本题运用长方形的面积公式及三角形，扇形的面积公式进行计算即可．
3．（2023·福建莆田·六年级期末）两个小朋友用圆做剪纸游戏，一个小朋友将圆拼成一个近似长方形，另一个小朋友将圆剪成两个半圆贴在长方形上，如下图，如果长方形周长为16.56cm，那么S②比S①大( )平方厘米．
【答案】1.72
【分析】根据圆面积公式推导的过程：把一个圆分成若干等份，拼成的图形近似于长方形，这个长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽就是圆的半径，设圆的半径为rcm，根据长方形的周长公式可得（3.14r＋r）×2＝16.56， 解方程可求得圆的半径；
由于两个半圆的面积等于这个长方形的面积，所以S②比S①大的面积就是左上角和右上角的面积，如下图所示③，所以用边长为圆半径的正方形的面积减去－圆的面积除以4的商后，再乘2就是S②比S①大的面积；据此解答。
【详解】设圆的半径为r厘米。
（3.14r＋ r）×2＝16.56
8.28r＝16.56
r＝2
2×2－3.14×22÷4 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米）
0.86×2＝1.72（平方厘米） S②比S①大1.72平方厘米。
【点睛】解答此题的关键是根据圆的周长与拼成的长方形周长之间的关系确定圆的半径，然后再根据圆的面积公式进行计算即可。
4．（2023·陕西西安·小升初模拟）在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，四边形AOCD的面积占正方形ABCD面积的( )。
【答案】
【分析】连接OB，设正方形的边长为1，求出各个三角形的面积，间接求出四边形AOCD的面积再除以正方形ABCD的面积即可。
【详解】设正方形的边长为1，连接OB，根据题意可知SΔOAE＝SΔOEB、SΔOCF＝SΔOFB，又根据正方形的对称性可知SΔOEB＝ SΔOFB，且SΔABF＝1× ÷2＝ ，所以SΔOAE＝SΔOEB＝SΔOCF＝SΔOFB＝÷3＝ 四边形OABC的面积为×4＝ ，那么四边形AOCD的面积为1－＝ ，占正方形ABCD面积的。
【点睛】这是一个关于计算不规则图形面积的题目，需要灵活运用之前学过的正方形、三角形以及与之底或高存在倍数关系的不规则图形面积的计算方法。
5．（2023·山西·小升初模拟）如图所示为某商品的商标，由两颗爱心组成，每颗爱心都是由一个正方形和两个半圆拼成，两个正方形的边长分别为40毫米和20毫米，则阴影部分的面积是多少平方毫米？（圆周率取3.14）
【答案】2142平方毫米
【分析】此题主要考查了组合图形的面积计算，观察图可知，两个大半圆可以组成一个整圆，两个小半圆也可以组成一个整圆；大正方形的面积＋大圆的面积－小正方形的面积－小圆的面积＝阴影部分的面积，据此列式解答。
【详解】40÷2＝20（毫米） 20÷2＝10（毫米）
40×40＋π×202－20×20－π×102＝1600＋400π－400－100π＝1200＋300π
＝1200＋300×3.14＝1200＋942＝2142（平方毫米）
答：阴影部分的面积是2142平方毫米。
【点睛】此题考查组合图形面积的巧算。通过切拼把不规则图形转化为规则图形，从而使计算简便。
6.（2023·成都市小升初模拟）如图，三角形的面积是1，点是的中点，点在上，且，与交于点。求四边形的面积。
【答案】
【分析】因为ΔBAE和ΔBCE的高相等，而且BD∶DC＝1∶2，E是AC的中点，然后连接FC，所以ΔBAE的面积是ΔBAC的面积的 ，进而分析解答即可。
【详解】如图所示，连接FC，设SΔBDF＝x，SΔCEF＝y，由于E是中点，D是3分点，所以SΔBCE＝SΔBAE＝；2SΔABD＝SΔADC＝ ；SΔCEF＝SΔEFA＝y，SΔDCF＝2x，SΔBFC＝SΔBFA＝3x，SΔABE＝SΔBFA＋SΔAFE，即3x＋y＝ ，SΔABD＝SΔBFA＋SΔAFE，即3x＋x＝ ，可得：x＝ ，y＝ 所以SΔDCF＝2x＝ ，所以四边形的面积是：SΔDCF＋SΔCEF＝ 答：四边形DFEC的面积是。
【点睛】解答此题的关键是如果三角形的高相等，那么三角形的底的比就等于三角形的面积比，适当画辅助线更好的找出三角形面积之间的关系。
7．（2022重庆·六年级期中）如图，一个闹钟内圆的面积是30平方厘米，阴影部分的积是多少平方厘米？
【答案】15平方厘米
【详解】试题分析：由图意可知：阴影部分是由三个完全一样的小阴影组成，我们只考虑其中一个的面积．在图2中：Ⅱ+Ⅳ=内圆的面积；Ⅰ+小阴影+Ⅲ=内圆的面积；又因为：Ⅰ=Ⅱ；Ⅲ=Ⅳ，所以Ⅰ+Ⅲ=Ⅱ+Ⅳ=内圆的面积．那么小阴影面积=内圆的面积﹣内圆的面积=内圆的面积．原题中阴影部分的面积为内圆的面积×3=内圆的面积，内圆的面积已知，从而问题得解．
阴影面积为15平方厘米．解：在图2中：Ⅱ+Ⅳ=内圆的面积；
Ⅰ+小阴影+Ⅲ=内圆的面积；
又因为：Ⅰ=Ⅱ；Ⅲ=Ⅳ，所以Ⅰ+Ⅲ=Ⅱ+Ⅳ=内圆的面积．
那么小阴影面积=内圆的面积﹣内圆的面积=内圆的面积．
原题中阴影部分的面积为内圆的面积×3=内圆的面积，闹钟内圆的面积是30平方厘米，
所以阴影面积为30×=15（平方厘米）．答：阴影部分的面积是15平方厘米．
点评：解答此题的关键是：先求出其中一部分的阴影的面积，推导出阴影部分与内圆的面积的关系，进而就可以求出阴影部分的面积．
8．（2022·上海普陀·六年级期末）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域。有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（下图所示）是司机视线的盲区。卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区，为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线。
下图是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测址后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，圆心角，求此“右转危险区”的面积和周长。
【答案】面积18.06平方米，周长33.98米
【分析】观察图形可知，“右转危险区”的面积＝六边形O1DCO2BA的面积＋扇形O2BC的面积－扇形O1AD的面积；“右转危险区”的周长＝弧AD长度＋AB＋CD＋弧BC的长度，据此解答。
【详解】10×10－4×4＋3.14×42× －3.14×102×＝100－16＋12.56－78.5＝18.06（平方米）；
3.14×10×2×＋（10－4）×2＋3.14×4×2×＝3.14×5＋12＋3.14×2＝21.98＋12＝33.98（米）
答：“右转危险区”的面积是18.06平方米，周长是33.98米。
【点睛】此题考查了有关扇形的周长和面积计算，找出面积和周长都包含哪些部分，认真计算即可。
9．（2022·全国·期中）如图，已知等腰三角形ABC，D为AC中点，AB=BC=2厘米，，分别是以B、A为圆心的弧．那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】1平方厘米
【详解】试题分析：如图所示，连接BD，三角形ABC、三角形BDC和三角形DBA都是等腰直角三角形，且AD=DC=BD，所以扇形BDE与扇形ADF的面积相等，于是可将扇形BDE平移到扇形ADF的位置，则阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半，又因三角形的AB=BC=2厘米，所以可以求出阴影部分的面积．
解：如图所示，将扇形②平移到扇形①的位置，
阴影部分的面积=三角形ABC的面积；即阴影部分的面积：2×2÷2÷2=4÷2÷2，=2÷2，=1（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是1平方厘米．
点评：解答此题的关键是作出辅助线，求得：阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半．
10.（2023·成都小升初模拟）如图，点P是正方形ABCD内部的一点，连接PA、PB、PC。将绕着点B顺时针旋转90°到的位置。设，，，求旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。
【答案】π（m²－n²）
【分析】因为将绕点B顺时针旋转90°到，所以和形状大小均相等，所以的面积＝的面积，则阴影部分的面积等于以AB为半径的圆的面积减去以PB为半径的圆的面积。据此即可求解。
【详解】以AB为半径的圆的面积：×π×m×m＝πm²；
以PB为半径的圆的面积：×π×n×n＝πn²；阴影部分面积＝πm²－πn²＝π（m²－n²）。
答：旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积是π（m²－n²）。
【点睛】利用旋转后图形的大小和形状都不改变这个关键。再根据面积之间的关系求出阴影部分面积。
11．（2022春·浙江温州·六年级统考期中）图中阴影部分的面积是24平方厘米，求半圆环的面积。
【答案】37.68平方厘米
【分析】看图，阴影部分的面积＝大正方形面积－小正方形面积，其中大正方形的边长是圆环外圆的半径，小正方形的边长是圆环内圆的半径。圆的面积＝3.14×半径2，正方形面积＝边长×边长，圆环面积＝外圆面积－内圆面积。所以，将阴影部分面积乘圆周率3.14，即可求出圆环的面积，再将其除以2，即可求出半圆环的面积。
【详解】3.14×24÷2＝37.68（平方厘米）所以半圆环的面积是37.68平方厘米。
12.（2023·成都市小升初模拟）已知△ABC的面积是1，把它的各边按照如图所示的方式延长1倍后得到△。（1）△的面积为（ ）；（直接写出答案）
（2）若按照之前的方式再把△的各边延长2倍得到△，试求△的面积。
【答案】（1）7；（2）19
【分析】连接A1B，CB1，AC1，如下图：
根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，
得三角形A1B1C1的面积是三角形ABC面积的倍数为3×1×（1＋1）＋1＝7（倍）；
依此类推三角形A2B2C2的面积是△ABC的倍数为：3×2×（2＋1）＋1＝19（倍）
【详解】（1）由分析可得：三角形的面积为三角形ABC面积的7倍，
所以三角形面积为7×1＝7；
三角形面积是三角形ABC面积的19倍，所以三角形面积为19×1＝19
【点睛】找出三角形面积之间的规律是解题的关键，上述规律推而广之可得：三角形AnBnCn的面积是三角形ABC面积的倍数为3n（n＋1）＋1＝3n2＋3n＋1（倍）。
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